1、2013-2014 考试题型：1、线性空间的定义及判别2、矩阵函数eA ,sin A, cos A 的计算3、函数矩阵的微分、积分的计算4、矩阵四种范数的定义、计算5、Hamite-Caylay 定理 f ( x) = lE - A f ( A) = 0可用于解逆矩阵6、V 上两组基之间的过渡矩阵计算7、线性空间，线性变换在基下的矩阵的计算8、向量在基下的坐标（就是求解线性方程组）9、约当标准型的计算（P 的计算）10、Smith 标准型的计算11、schmit 正交化方法（化成标准正交基）12、最小二乘解 Ax=b（ AT Ax = ATb ）2014-2015 考试题型：一、判断：1 线性
2、空间的判定2 矩阵级数的敛散性二、计算：1、最小二乘法解方程组2、标准正交基的判定3、矩阵的约当标准型4、变换称为线性变换的证明（项、和、维数） 5、smith 标准型6、矩阵函数（含参数 t 的矩阵函数）7、矩阵范数的计算8、矩阵特征值的分布范围9、 A+ 的计算10、标准正交基之间的性质定理证明自我补充题型：11、求过渡矩阵12、求向量在一组基下的坐标13、求约当标准型用的 P题型总结：参考书目矩阵分析引论（第五版）罗家洪【1】线性空间的判定：是否满足加法、数乘封闭。满足 8 条规则：（1） 加法交换（2） 加法结合（3） 零元素（4） 负元素（5） 数 1 乘等于本身（6） 数乘交换（7
3、） 数乘结合（8） 数乘分配 111 1 12-13 考题一 集合 S = x x R3, Ax = b, A = 222 , b = 2 是否为线性空间 3333 解：设 x R3, x S, y R3, y S, Ax = b, Ay = b ，所以 A(x + y ) = 2b b, (b 0) ，不满足加法封闭，所以不是线性空间。【2】矩阵级数的敛散性lim A= A lim a(k) = a1、矩阵收敛 的一个充分条件：A 1。矩阵收敛的定义： k kk ijij Ak2、矩阵级数 定义： k =1= A1 + A2 +L+ Ak +L矩阵级数的部分和为：NSN = Ak = A1
4、+ A2 +L+ ANk =1lim SN = A矩阵级数的收敛性：如果矩阵级数的部分和序列收敛于 A，即 N ， Ak = A.则称矩阵级数收敛于A，记做 k =1矩阵级数收敛的等价定义：矩阵级数收敛当且仅当相应的 mn 个数项级数是收A = (a(k) ), A = (a ) A = A a(k ) = a敛的。即设 kijkij 则 k =1ijijk =1矩阵级数收敛的性质：若矩阵级数 Ak 收敛，则lim Ak = 0k =1k 绝对收敛：如果矩阵级数相应的每个数项级数是绝对收敛的，则称该矩阵级数是绝对收敛的。a Ak = a I + a A+ a A2 +L+ aAk +Lkkk
5、=1012k3、方阵幂级数 定义：A Cnn , a Ck矩阵复幂级数收敛定理：若复幂级数a Ak 的收敛半径为R，而方阵 ACnn 的谱半k =1径为 r ( A) ，则：（1）当 r ( A) Rkk =1ak +1 ak时，方阵幂级数a Ak 发散。其中 R 由式lim= 1 得。kk =1k R【3】最小二乘法解方程组 AT AX = AT BP32 例 2-9x1 + x2 = 1x + x = 2 13用最小二乘法解方程组x + x + x = 0 123x + 2x - x= -1 123110 101 11 11 1 2 解：由于 A = ， AT = 10 12 ， B =
6、111 01 1-1 0 12-1 -1所以 441 x1 2 AT AX = 46-1 x = -1 = AT B 2 1-13 x 3 于是求得最小二乘解为3 x = 17 , x= - 13 , x = - 4162636【4】标准正交基的判定定义：内积空间中，两两正交的一组非零向量，称为正交组。正交组是线性无关的。在 n 维欧式空间中，由正交组构成的基称为正交基；如果正交基中每个向量的长度都等于单位长度， 则此正交基便称为标准正交基。（或称单位正交基）1、标准正交基的判定()0, i jP46 6 方法：验证 ai , aj = 1, i = j2、求标准正交基：先求得基础解系（即空间
7、的一个基），再将其正交化，单位化即所求的标准正交基。基础解系的求法：我们只要找到齐次线性方程组的 各自有未知量，就可以获得它的基础解系。具体地说， 我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩。把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余 个未知量移到等式右端，再令右端 个未知量其中的一个为 1，其余为零，这样可以得到 个解向量，这 个解向量构成了方程组的基础解系。, n -1)施密特 正交化b = a+ l b+ l b+ lbl = - (an , bi ) , (i = 1, 2,nn1 122n-1n-1 ， i(bi , bi )例求数域K
8、上的齐次线性方程组x1 +x2- 3x4 -x5 = 0,x -x + 2x -x= 0,1234 4x - 2x + 6x + 3x - 4x= 0,12345 2x + 4x - 2x + 4x - 7x= 0.的一个基础解系。1234510-3-1110-3-1-12-10 02-2-2-1 -263-40003-14-24-700000 解 用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形：1142x1+ x2-3x4- x5=02x- 2x- 2x3x- x- x=00移项，得x1+ x2-3x4=x5,2x- 2x=2x+ x,3x=x.于是 r( A) = 3 ，基础解系中有 n - r(A)
9、= 5 - 3 = 2 个向量。写出阶梯形矩阵所对应的方程组234545（1）、取 x3= 1,243545x5 = 0 ，得一个解向量h1 = (-1,1,1, 0, 0) ；（2）、取 x3 = 0,x5 = 1，得另一解向量h = (7 , 5 , 0, 1 ,1) . 26 63h1,h2 即为方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示为解毕。k1h1 + k2h2(k1, k2 K) .2x1 + x2 - x3 + x4 - 3x5 = 05P46 7 求齐次线性方程组x + x- x + x = 0的解空间（作为 R 的子空间）的一个 1235标准正交基。解：用初等变换把系数矩阵
10、化为行阶梯形：【P26 例 2-5】【5】矩阵的约当标准型将lE - A 化成对角阵，得出初级因子，将特征值作为对角元素，写出约当标准型。P55【6】变换称为线性变换的证明（项、和、维数）定义：保持向量加法、数量乘法的变换。T (a + b ) = T (a ) + T (b ) ， T (ka ) = kT (a )说明：线性变换就是保持线性组合的对应的变换。典型线性变换：(3) 如果九(p) = l，那么兀是个变换，但不是线性变换T1(p+q)= 1,但九(p) + T1 (q) =1 +1 = 2,所以九(p + q) 九 (p) + T1(q).例 3定义在闭区间上的全体连续函数组成实
11、数域上的一个线性空间 V, 在这个空间中变换T(J (x) = f J 心是一个线性变换r证明 设J (x) E V, g(x)E V.则有 Tf (x)+ g( x)=f(t)+ g(tlt寸ax f 心 t + f g(t ;lt= TJ(x)+ Tg(x)T(kf(x) = t叭 tit = kt f 心 t = kT/(x)l故命题得证例4线性空间 V中的恒等变换（或称单位变换）E :E(a ) = a , a E V.是线性变换证明 设 a , f) E V则有 E(a + /3） a + /3 E (a ) + E (/3） E (ka ) = ka = kE(a).所以恒等变换E
12、 是线性变换例 5线性空间V 中的零变换0 : o(a)= 0是线性变换证明设 a , p E V, 则有o(a + P)= o = o+o = o(a)+o(p) O(ka)= 0 = kO = kO(a).所以零变换是线性变换 例6在矿中定义变换T(x., x2 , x3 ) （= 对，X2 + X3 , 0)则T不是 R初 一个线性变换证明 /a= (a.,a2a31P = (b.,b2,b3) E R3, T(a + p) = T(a1 + h.,a2 + b2,a3 + b3)（亿矿 ，a2 + a3 + b2 + b3,0J#（叶，a2 + a3 , 0)（+; , b2 + b3
13、,0)= T(a)+ T(p).证毕【7】Smith 标准型。注意做行列式变换，不能除带l 整式多项式，可以乘。方法一：用初等行变换。用于复杂形式的矩阵，即元素比较多，非零子式比较多时，因为 33 的矩阵的 2 级子式就有 9 个了，根本算不过来。技巧，先把边角都消成 0，再在子式里做行列调换，把次数小的换到左上角。方法二：用行列式因子、不变因子。用于简单形式的矩阵，特别是对角阵时。12-13 考题六 求多项式矩阵：(l -1)(l + 2)0(l + 2)(l +1)0000(l -1)(l +1)0000100000000 0 G (l ) = 0 的史密斯标准型0 1 解：由题知： D1
14、 (l ) = D2 (l ) = 1(l -1)(l + 2)(l -1)(l + 2)(l + 2)(l +1) ，(l + 2)(l +1)(l -1)(l +1)1(l -1)(l + 2)(l + 2)(l +1)(l -1)(l +1)，(l -1)(l +1)11，(l -1)(l + 2)(l + 2)(l +1)(l -1)(l +1)1 ， 1 ， 1111所以 3 级行列式因子 D3 (l ) = 1。（当然这样写很麻烦，可以写成如下形式：）非零 3 级子式有：，所以 3 级行列式因子：D3 (l ) = (l -1)(l + 2)(l +1),(l -1)(l + 2)
15、,(l + 2)(l +1), (l -1)(l +1) =1（根据课本 P52 例题，这种运算的意义是取括号内各多项式元素的公因式）4 级行列式因子 D4 (l ) = (l -1)(l + 2)(l +1)55 级行列式因子 D (l ) = (l -1)2 (l + 2)2 (l +1)2所以不变因子：d1 (l ) = d2 (l ) = d3 (l )( )4d (l ) = D4 (l ) = (l -1)(l + 2)(l +1)D3 l5d (l ) = D5 (l ) = (l -1)(l + 2)(l +1)D4 (l )所以史密斯标准型为： d10000 10000 0d
16、000 010002G (l ) = 00d300 = 00100 000d0 000(l -1)(l + 2)(l +1)04 0000d 00005(l -1)(l + 2)(l +1)【8】矩阵函数的计算（含参数 t）1、矩阵的微分与积分：将矩阵内函数分别微积分。注意积分常数项不能相同。 ln te5tdA(t )212-13 考题七 设： A(t ) = t -1arctan t ，求： dt, A(t )dt, 1A(t )dt 。解：dA(t )15e5t tdA(t )dt= 11 t -1 21+ t2 5 t ln t - t + C1 e5t + C122 A(t )dt
17、= 23134 (t -1)2 + C3t arctan t -ln (1+ t 2 ) + C2 2 ln 2 -15 A(t )dt =1 (e10 - e5 )122(arctan 2 - arctan1) - 1 (ln 5 - ln 2)32 e2t矩阵分析模拟题七 设 A(t ) = e-ttet2e2t0 ，求 dA(t ) ,A(t )dt,1A(t )dt1 dt0 2t00 2e2t(t +1)et0 dA(t )解：0dt= -e-t4e2t 200 1 e2t + C(t -1)et + Ct + C 2123 A(t )dt= -e-t+ C4e2t+ C5C6 78
18、9 t 2 + CCC 21 1 (e2 -1)11 A(t )dt =1- e-1e2 -10 0100 2、求eA, eAt ,sin A, cos A t3、求微分方程组的解【9】矩阵范数的计算 a = max xi1in n向量范数： a 1 = xiapi=1= n i=1 1x p p (1 p )i1 A = A =max l A(H A)=矩阵范数： A2ni, j =1aij2tr ( AH A)最大列模和最大行模和 A F =【10】矩阵特征值的分布范围特征值的界的估计：P128A + AH aij + aji B = (bij )=nn bij =22C = (cij )
19、A - AH = cij =aij - aji nn22nn l 2 n a 2kk =11i, jnmax aijlk ni=1ijj =1;1i, jnmax bijRe(lk ) n1i, jnmax cijlm(lk ) nn (n -1)2lm(l ) max ck圆盘定理：P1291i, jn ijz - att Rt【11】 A+ 的计算A 行满秩： A+ = AH ( AAH )-1A 列满秩： A+ = ( AAH )-1 AH12-13 考题九 求下列矩阵的 M-P 广义逆矩阵【12】标准正交基之间的性质定理证明【13】求 A 到 B 的过渡矩阵 C：根据定义 B=AC，所
20、以C = A-1B ，解可得。P5 例 1-5 设 线性空间 R3中 有向量： a1 = (1 , 0 ,) 0a2, =(1) , 1a,3 0=( ,，.)b1 = (1, 2,3), b2 = (2,3,1), b3 = (3,1, 2)（1）求a = (a, b, c) 在基a1 ，a2 ，a3 下的坐标；（2）求从基a1 ，a2 ，a3 到基 b1 ， b2 ， b3 的过渡矩阵。123123解：（1）由线性代数可知，a 在基a ，a ，a 下的坐标即为线性方程组(aT ,aT ,aT aT ) 111 a 的解。因为(a T ,a T ,a T a T ) = 011 b 行变换
21、100 a - b 010 b - c ，故a 在123 00 1 c 001c基a1 ，a2 ， a3 下的坐标为(a- b, b- c, c) ；（2）由过渡矩阵定义知，过渡矩阵的第 j 列元素为 b j 在基a1 ，a2 ，a3 下的坐标。 11 1 123 100 -1-12 因(a T ,a T ,a Tb T , b T , b T ) = 01 1 231 = 010 -12-1123123 00 1 312 001 312 三个线性方程组系数矩阵相同，可同时用初等行变换求解，第 4 列为第一个方程组的解，第 5 列为第二个方程组的解，第 6 列为第三个方程组的解。所以从基a1
22、，a2 ，a3 到基 b1 ， b2 ， b3 的过渡矩阵为 -1-12 -12-1 312 12-13 考题三 设线性变换T 在基 x1 = (1, 0,1), x2 = (1,1,1), x3 = (1, 2,3) 下的矩阵为 102 A = 231 ,求 T 在基e = (1, 0, 0), e = (0,1, 0), e = (0, 0,1) 下的矩阵。 024 123解，由题知：根据线性变换有【14】求向量在一组基下的坐标12-13 年考题四 求向量 a=（2，5，3，1）在基b1 = (1,1,1, 0)，b2 = (1,1, 0,1) ，b3 = (1, 0,1,1) ，b3 = (0,1,1,1) 下的坐标。解：设坐标为( x1, x2, x3, x4 ) ，则满足 x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 = a解方程组， 增广矩阵为： 11A = 10008 31102 1015 0113 1111 01002 3 4 10010-03 5 00013 3 33 3 所以坐标为： 8 , 2 , - 4 , 5 【15】求约当标准型所用的 P
