1、双曲线中的斜率和（积）问题例 1.（2022 新高考 1 卷）已知点 A(2,1) 在双曲线 C : x 2(2) - = 1(a 1) 上，直线 l 交 C 于 P ，a a - 1Q 两点，直线 AP ， AQ 的斜率之和为 0 求 l 的斜率.（2）若 tan 经PAQ = 2 2 ，求 PAQ 的面积 .x2 2解法 1：（设点解点） 设直线 AP 的方程为 y = k (x - 2) +1，与双曲线 C 的方程 - y = 12联立，消去 y得到 (1- 2k 2 )x2 + 4k (2k - 1)x - 8k 2 + 8k - 4 = 0 ，根据韦达定理，得xA xP =- 8k
2、2 + 8k - 41- 2k 2,故 xP =4k 2 - 4k + 22k 2 - 1,从而 yP = k (xP - 2) +1=2k 2 - 4k +1.1- 2k 2因为直线 AP、AQ 的斜率之和为 0 ，所以直线 AQ 的方程为 y = -k (x - 2) +1 ，同理，可得：xQ =4k 2 + 4k + 22k 2 - 1, y Q =2k 2 + 4k +1.1- 2k 22k 2 - 4k +1 - 2k 2 + 4k +1所以直线 l的斜率为 x(y)P(P) - x(y)Q(Q) = 4k2(1)- 4(2)k(k)2+ 2 - 4k2(1)4k(2k2)+ 2 =
3、 -12k 2 - 1 2k 2 - 1解法 2：设 P(x1 , y1 ), Q(x2 , y2 ) ，由点 P, Q, A 都在双曲线 C 上，得x1(2) - 2 x2(2) 2 y1 = 1, - y2 = 1 ，2 2kPA = = ，y1 - 1 x1 + 2x1 - 2 2(y1 +1)即kPA = -k QA ，所以，22 - 2 1 = 1 ，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得：2kQA = = . 因为直线 AP、AQ 的斜率之和为 0 ，y2 - 1 x2 + 2x2 - 2 2(y2 +1)x1 - 2 2(y2 +1)由 y1 - 1 = - x2 + 2 得2(y
4、1 y2 + y1 - y2 - 1) = -(x1x2 + 2x1 - 2x2 - 4) . x2 - 2 2(y1 +1)由 y2 - 1 = x1 + 2 得2(y1 y2 + y2 - y1 - 1) = -(x1x2 + 2x2 - 2x1 - 4) . y1 - y21 2由-,得 y1 - y2 = x2 - x1 ，从而kPQ = x - x = - 1 ，即 l的斜率为 - 1 .4 1解法 3： （设而不求）将点 A 代入双曲线方程得 -2 - 2 = 1 ，化简得 a4 - 4a2 + 4 = 0 ，a a - 1: a2 = 2，故双曲线方程为 x2 - y2 = 1
5、，由题显然直线 l 的斜率存在， 设 l : y = kx + m ，设 P(x1 ， 2y1 )Q(x2 ， y2 ) ，则联立双曲线得： (2k2 - 1)x2 + 4kmx + 2m2 + 2 = 0 ，故 x1 + x2 = - ，2k - 12m2 + 2 y1 - 1 y2 - 1 kx1 + m - 1 kx2 + m - 12k2 - 1 x1 - 2 x2 - 2 x1 - 2 x2 - 2x1x2 = ， kAP + kAQ = + = + = 0 ，化简得： 2kx1x2 + (m - 1 - 2k)(x1 + x2 ) - 4(m - 1) = 0 ，故 2k(2m2
6、+ 2) + (m - 1- 2k)(- 4km ) - 4(m - 1) = 0 ，2k2 - 1 2k2 - 1即 (k + 1)(m+ 2k - 1) = 0 ，当 m+ 2k - 1 = 0 时，直线 l : y = k(x - 2)+1过点 A，不合题意，舍去.,故 k = -1 .方法 4. （同构双斜率）设过点 A的直线方程为 y = k(x - 2)+1 ，直线 l 的方程为 y = k0 x + m ，联立解得k - k0 k - k0 2xP = m + 2k - 1 , y P = 2kk0 - k0 + mk ， 代 入 双 曲 线 C 的 方 程 x2 - y2 =
7、1 中 ， 整 理 得4 - 2(2k0 + m)2 - 2k 2 + 4(m - 1) + k0 (2k0 + m) + k0 k + (m - 1)2 - 4k0(2) = 0 ，这是关于k 的一元二次方程，方程的两根 k1、k2 分别为直线 AP、AQ 的斜率.因为直线 AP、AQ 的斜率之和为 0 ，即 k1 + k2 = 0 ，所以(m - 1) + k0 (2k0 + m) + k0 = 0 ，整理后分解得(k0 +1)(2k0 + m - 1) = 0 . 因为直线 l 不经过点 A，所以 2k0 + m 子 1 ，从而k0 = - 1 ，即 l 的斜率为 - 1 .方法 5 （
8、齐次化联立）双曲线方程为 x2 - y2 = 1 ，设 P(x1 , y1 ), Q (x2 , y2 )，2AP,AQ 的斜率之和为 0， k1 + k2 =x2故将双曲线方程为 - y2 = 1 变形为： 2且设直线 l : m(x - 2)+ n (y - 1)= 1，y1-1 + y2 - 1 = 0，x1 - 2 x2 - 2(x - 2 + 2)2 -2(y - 1 + 1)2 = 1 (*)，由 (*)式有： (x - 2)2 - 2 (y - 1)2 + 4(x - 2)- (y - 1) = 0常 (x - 2)2 - 2 (y - 1)2 + 4(x - 2)- (y -
9、1) 根 m (x - 2)+ n (y - 1) = 0常 (4m+1)(x - 2)2 - (4n+ 2)(y - 1)2 - (4m - 4n)(x - 2)(y - 1)= 0(x - 2) x - 2常 (4n+ 2) (y - 1)2(2) + (4m - 4n) y - 1 - (4m+1)= 0 , （两边同除以 (x - 2)2 ），即 (4n+ 2)k2 + (4m - 4n)k - (4m+1)= 0 ，而 k1 , k2 是此方程的两根.4n - 4m k1 + k2 = = 0 常m = n ，故直线 l 斜率为1.4n+ 2方法 6：（曲线系）点 A 处的切线方程为
10、 x - y - 1 = 0，设直线 AP 的方程为 y - 1 = k1 (x - 2)， AQ 的方程为 y - 1 = k2 (x - 2) ， PQ 的方程 y = kx + b ，则过这四条直线交点的二次曲线方程为 (kx- y - b)(x - y - 1) + k1 (x - 1) - y +1 . k2 (x - 1) - y +1 = 0 .又因为双曲线过这些交点，比较 xy 的系数得 - k - 1+(-k1 - k2 ) = 0 .又由 k1 + k2 = 0 ，所以 k = -1 .这样的话， 本文就展示了这道题目的 6 种解法， 其实无所谓好坏之分， 都是很好的方法，
11、 都体现了对运算对象和运算规则较为精准的把握 . 但是，在考场时间如此紧张的条件 下，又快又准的解题却是关键，方法 1,3 为通法，是多数考生的选择，这样的方法就是 套路感强，我们练习的最多，但是过多的沉迷于这些方法会让我们对解析几何的理解就 定位在“暴力运算”，我觉得，如果时间允许，去探寻思考方法 2 和方法 4 也是不错的选择.方法 5,6 就是所谓的“秒杀神技”，但是我个人觉得这两个方法还是有风险的，因为它 们技巧性很强， 可能对很多学生而言都很难想清楚这个平移坐标系究竟是个什么“梗”，这两个方法很多人都可能学个“四不像”，徒劳无功！所以， 对解析几何运算的核心还在于去思考， 理解运算对
12、象， 这个板块的特点就是翻译： 几何问题代数化，代数问题坐标化，不同的理解就会有不同的处理思路，我们要基于常 见的二级结论，首先对问题有一个宏观认知，其次的关键就是理解， 一些传统的几何问 题正变着花样出现，比如 2020 年山东卷 22 题. 给学生多一些动手练习，思考探寻不同解法的机会，让他们在探寻各种解法的过程中慢慢提升对解析几何的理解和热爱 .把解析几何理解为一门关于运算的艺术，我想才是破解这个板块的核心密码！例 2.（2021 新高考 1 卷）在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 F1 (一 17 ,0), F2 ( 17 ,0) ，且动点 M 满足： | MF1 | 一 | MF2
13、 |= 2 ，点 M 的轨迹为 C .（1）求 C 的方程；1（2）设点 T 在直线 x = - 上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A, B 两点和 P, Q 两点，且满足 2| TA | . | TB |=| TP | . | TQ | ，求直线 AB 与直线 PQ 的斜率之和.解析：（1）因为 MF1 一 MF2 = 2 0, b 0)，则 2a = 2 ，可得 a = 1 ， b = 17 一 a2 = 4，所以，轨迹 C 的方程为x2 一 16(y2) = 1(x 之 1) .（2）1 1设T( , n) ，设直线 AB 的方程为 y 一 n = k1 (x 一 ), A(x1 ,
14、 y1 ), B(x2 , y2 ) .2 2( 1联立 2 ，化简得(16 一 k1 )x + (k1 一 2k1n)x 一 k1 一 n + k1n 一 16 = 0 ，则|y 一 n = k1 (x 一 2) 2 2 2 1 2 2x2 一 1(y)6 = 1 41 2 2x1 + x2 = k1(2) 2一 2k1n , x1x2 = 4 k1 + 一 k1n +16 故| TA |= 1+ k1(2) (x1 一 2(1), | TB |= 1+ k1(2) (x2 一 2(1) .k1 一 16 k1 一 161 2 2 k1(2) 一 16则| TA | . | TB |= (1+ k2 )(x1 一 1)(x2 一 1) = (n2 + 12)(1 + k1(2) .1 (n2 + 12)(1 + k2(2)2 k2 一 16设PQ 的方程为 y 一 n = k2 (x 一 -) ，同理| TP | . | TQ |= 2 .k1 一 16 k2 一 16 k1 一 16 k2 一 16因为 TA . TB = TP . TQ ，所以 = ，化简得1+ = 1+ ，所以k1(2) 一 16 = k2(2) 一 16 ，即k1(2) = k2(2) 因为k1 子 k1 ，所以k1 + k2 = 0 .
