1、2021 年高三调研性检测理科试题参考答案 第 1 页 共 4 页 合肥市2021届高三调研性检测数学试题(理科) 合肥市2021届高三调研性检测数学试题(理科) 参考答案及评分标准 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.假 14.0 x 或4330 xy 15. 16.18 三、解答题： 17.(本小题满分10分) 三、解答题： 17.(本小题满分10分) 解:(1)由 1 3a ， 2 1a
2、得 1 3S ， 2 4S ， 1 3 1 S ， 2 2 2 S . 数列 n S n 为等差数列，31 14 n S nn n ，4 n Sn n. 当2n 时， 1 25 nnn aSSn . 当1n 时，25 n an也成立. 25 n an. 5分 (2) 1 11111 25232 25232 nn aannnn ， 111 2323 n T n . 1 1111 2 23212321 nn TT nnnn ， 当1n 时， 1nn TT ，即 21 TT； 当2n 时， 1nn TT ，即 2n TT； nN ， 2 2 3 n TT ， Nn ，都有 n Tm成立， 2 3 m
3、 . 10分 18.(本小题满分12分) 18.(本小题满分12分) 解:(1)设中位数估计值为x，根据频率分布直方图得， 0.2870 0.050.10.220.5 10 x ， 解得 9 7475 14 x . 高一年级传染病防控知识测试得分中位数的估计值为75.6分 (2)根据频率分布直方图得，得分在区间80，90)和90，100的频率分别为0.25，0.1，其比例为5:2， 所选的7人中，得分在80，90)的有5人，得分在90，100的有2人. 从7人中随机选3人，至少有一人得分在区间90，100上的概率为 3 5 3 7 5 1 7 C C . 12分 19.(本小题满分12分) 1
4、9.(本小题满分12分) 解: (1)3b ，sinsin2 3AaB，sinsinaBbA，sin3sin2 3AA， 3 sin 2 A . 当7a 时，由37ba得0 2 A ，.又 3 sin 2 A ， 3 A . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D D B A C D C C A D 2021 年高三调研性检测理科试题参考答案 第 2 页 共 4 页 D O P B C A y x z O D A C B P 由余弦定理得， 222 2cosabcbcA， 2 793cc，解得1c 或2c . 当1c 时，ABC的面积 13 3 sin 2
5、4 ABC SbcA ； 当2c 时，ABC的面积 13 3 sin 22 ABC SbcA . 6分 (2)ABC为锐角三角形， 3 sin 2 A ， 3 A ， 2 3 CB . 依题意得 0 2 2 0 32 B B ， 62 B . 23 sinsinsinsinsinsin3sin 3 3362 BCBBBBB ，. 12分 20.(本小题满分12分) 20.(本小题满分12分) 解: (1)证明:过点B作BOAC于O. 平面PAC平面ABC，平面PAC平面=ABC AC，BO平面ABC， BO平面PAC，BOPA. 又BC平面PAB，PA平面PAB，BCPA. 又BCBOB，BC
6、BO ，平面ABC， PA 平面ABC. 5分 (2)ABBC，BOAC，O为BC中点. 又D为PC的中点，DOPA. 由(1)知，PA 平面ABC，DO 平面ABC， DOBO，DOAO， 以O为原点，以 OA OB OD ，所在方向为xyz， ，轴正方向，建立空 间直角坐标系，如图. 设2ABBC， 则24ACPA， 则0 0 0O，1 0 0A ， 1 0 0C ，0 1 0B，1 0 4P，0 0 2D，. 设平面ABD的法向量为 1111 nxyz ， ， 1 nAB ， 1 nAD ， 1 0nAB ， 1 0nAD ，1 1 0AB ， 1 0 2AD ， 11 11 0 20
7、xy xz . 令 1 1z 得 1 2x ， 1 2y ， 1 2 2 1n ，. 设平面BCD的法向量为 2222 nxyz ， ， 2 nCB ， 2 nDB ， 2 0nCB ， 2 0nDB ，1 1 0CB ，0 12DB ， 22 22 0 20 xy yz .令 2 1z 得 2 2x ， 2 2y ， 2 2 2 1n ， 12 12 12 1 cos 9 n n n n n n ，. 二面角ABDC的平面角是钝角， 1 cos 9 . 12分 21.(本小题满分12分) 21.(本小题满分12分) 解: (1)设 1 F(1 0 ，)， 2 F(1，0)，依题意 22 22
8、 114xyxy， 21 4EFEF，且 12 42FF 2021 年高三调研性检测理科试题参考答案 第 3 页 共 4 页 点E的轨迹是以 1 F(1 0，)， 2 F(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆. 设椭圆的方程为 22 22 1 xy ab (0ab)，记 22 cab，则24a ，1c ， 2a ，1c ， 22 3bac， 曲线C的标准方程为 22 1 43 xy . 5分 (2)当直线l为0 x 时，不合题意. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为1ykx， 11 ()A xy， 22 ()B xy，. 联立 22 1 43 1 xy ykx ，消去y得 22 43880kx
9、kx. 则 22 =6432 430kk， 12 2 8 43 k xx k ， 12 2 8 43 x x k . 1212 1212 3355 2222 000 1111 PAPB yykxkx PMPNkk xxxx 1212 5 2()50 2 kx xkxx 2 5 1685(43)0 2 kk kk 2 41250kk， 1 2 k 或 5 2 k . 当 5 2 k 时，经检验点P与点A或点B重合，不符合题意，故舍去. 当 1 2 k 时，经检验符合题意，此时直线l的方程为 1 1 2 yx. 综上所述，直线l的方程为 1 1 2 yx. 12分 22.(本小题满分12分) 22
10、.(本小题满分12分) 解: (1) 2 lnf xxaxx， 2 121 21 axx fxax xx . 若0a ，则 2 21 0 axx fx x 在 0 +，上恒成立， 当0a 时， f x在0 +，上单调递增. 若0a ，令 2 ( )21h xaxx . 0a ，1 80a ， 2 210axx 有两个不相等的实数根，且两根一正一负. 设 0 11 8 4 a x a . 当 11 8 0 4 a x a ，时， 2 210h xaxx ， 当 11 8 4 a x a ，时， 2 210h xaxx ， 当 11 8 0 4 a x a ，时， 2 21 0 axx fx x
11、， 2021 年高三调研性检测理科试题参考答案 第 4 页 共 4 页 当 11 8 4 a x a ，时， 2 21 0 axx fx x ， 当0a 时，函数 f x在 11 8 0 4 a a ，上单调递增；在 11 8 4 a a ，上单调递减. 综合得： 当0a 时， f x在0 +，上单调递增； 当0a 时，函数 f x在 11 8 0 4 a a ，上单调递增；在 11 8 4 a a ，上单调递减. 6分 (2)由(1)知，当0a 时，函数 f x在0 +，上无极值； 当0a 时，函数 f x在0 +，上仅有极大值 2 0000 lnf xf xxaxx 极大 ， 其中 2 00 210axx ，即 0 2 0 1 2 x a x ， 00 000 11 lnln 222 xx f xxxx 极大 ， 0 0 x ，. 设 1 ( )ln 22 x g xx，0 +x，. 1 ln 22 x g xx在0 +，上单调递增，且 10g， 当且仅当 0 1x 时， 0f x 极大 ， 此时， 2 0 2 000 1111 0 1 22 x a xxx ， 当 0f x 极大 时，实数a的取值范围是(0，1). 12分
