1、微分方程模型微分方程模型 在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。求解微分方程有三种方法：1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。动态动态模型模型 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分微分方程方程建模
2、建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程建立微分方程模型的方法（1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，
3、再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。微分方程的建模步骤微分方程的建模步骤1、翻译或转化：、翻译或转化：在实际问题中许多表示导数的常用词，如在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率速率”、增长增长”(在生物学以及人口问题研究中在生物学以及人口问题研究中)，“衰变衰变”(在放射性问题中在放射性问题中)，以及，以及“边际的边际的”(在经在经济学中济学中)等等 2、建立瞬时表达式：、建立瞬时表达式：根据自变量有微小改变根据自变量有微小改变t时，因变量的增时，因变量的增量量W，建立起在时段，建立起在时段t上的增量表达式，令上的增量表达式，令t 0，即得到，即得到 的表达式的表达式
4、dtdW二、微分方程模型二、微分方程模型3、配备物理单位：、配备物理单位：在建模中应注意每一项采用同样的物理单位在建模中应注意每一项采用同样的物理单位 4、确定条件：、确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。案例案例1：假设女士每天摄入：假设女士每天摄入2500cal食物，食物，1200cal用于
5、基本新陈代谢用于基本新陈代谢(即自动消耗即自动消耗)，并以每千克体，并以每千克体重消耗重消耗16cal用于日常锻炼，其他的热量转变为身用于日常锻炼，其他的热量转变为身体的脂肪（设体的脂肪（设10000cal可转换成可转换成1kg脂肪）。星期脂肪）。星期天晚上，该女士的体重是天晚上，该女士的体重是57.1526kg，星期四那天，星期四那天她饱餐了一顿，共摄入了她饱餐了一顿，共摄入了3500cal的食物，要求建的食物，要求建立一个通过时间预测体重函数立一个通过时间预测体重函数W(t)的数学模型，的数学模型，并用它估计：并用它估计：（1）星期六晚上该女士的体重？）星期六晚上该女士的体重？（2）为了不
6、增重，每天她最多的摄入量是多少？）为了不增重，每天她最多的摄入量是多少？（3）若不进食，）若不进食，N周后她的体重是多少？周后她的体重是多少？二、微分方程案例分析二、微分方程案例分析解解1、翻译或转化：、翻译或转化：2、配备物理单位：、配备物理单位：3、建立表达式：、建立表达式：4、确定条件：、确定条件：1、“每天每天”：体重的变化输入一输出：体重的变化输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗吸收；输出是进行健身训练时的消耗2、上述陈述更好的表示结构式：、上述陈述更好的表示结构式：取天为计时单位，记取天为计时
7、单位，记W(t)为为t天时体重天时体重(kg)，则：，则：每天的净吸收量每天的净吸收量2500 1200 1300（cal)每天的净输出量每天的净输出量16(cal)W16W(cal)转换成脂肪量转换成脂肪量1300 16W（cal）3、体重的变化天、体重的变化天 (千克天千克天)tWdtdWt0建立表达式建立表达式1000016)12002500(WdtdW积分后可求得其通解为：积分后可求得其通解为：（1）当）当 时，每天体重的变化：时，每天体重的变化：03t 0.00161()81.25tW tC e初始条件为：初始条件为：,代入解出代入解出124.0974C 则则0.0016()81.2
8、524.0974tW te(3)57.26799Wkg1526.570W(3500 1200)1610000dWWdt(3)57.26799W积分后可求得其通解为：积分后可求得其通解为：（2）当）当 时，每天体重的变化：时，每天体重的变化：34t 0.00162()143.75tW tC e初始条件为：初始条件为：，代入解出，代入解出286.89812C 则则0.0016()81.2586.89812tW te(4)57.40625Wkg(2500 1200)1610000dWWdt(4)57.40625W积分后可求得其通解为：积分后可求得其通解为：（2）当）当 时，食物的摄入量恢复正常时，食
9、物的摄入量恢复正常4t 0.00163()81.25tW tC e初始条件为：初始条件为：，代入解出，代入解出323.9968C 则则0.0016()81.2523.9968tW te0.00160.00160.001681.2524.0974,03()143.7586.8981,3481.2523.9968,4tttetW tetet 最后得到不同阶段的微分方程是：最后得到不同阶段的微分方程是：6t(16)/100000dWbWdt（1）代入对应方程，求得代入对应方程，求得现回答上述问题现回答上述问题(6)57.48247Wkg（2）要满足体重不增，即）要满足体重不增，即所以所以1616 5
10、7.1256914bW因此每天总卡路里摄取量是因此每天总卡路里摄取量是1200+9142114cal0.120.0016dWWdt 0.0016()132.152675tW te(cal)（3）由于每天不摄取能量，所以）由于每天不摄取能量，所以解得解得因此，因此，n周后的体重为周后的体重为(7).Wn 一截面积为常数A，高为H的水池内盛满了水，由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从小孔流出的速度为 ，求在任一时刻的水面高度和将水放空所需的时间。ghv2案例案例2 流入流入-流出问题流出问题BAhh h第一步列方程等量关系：水面1水面2设时刻 的水面高度为th 时的水面高度为tt hh 时间由水
11、面1 降到水面2所失去的水量等于从小孔流出的水量。t sBhA s 是水在 时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离t sBhA tsBthA limlimdtdsBdtdhAghABdtdh2初始条件Hh)(0可分离变量的方程。第二步解方程ghABdtdh2dtgABhdh2thHdtgABhdh02tgABHh222tgABHh22222tgABHh222tgABHh水面高度与时间的函数关系水流空所需时间为（令 h=0）gHBAt2 如图所示一个容量为如图所示一个容量为2000m3的小湖的示的小湖的示意图，通过小河意图，通过小河A水以水以0.1m3/s的速度流入，的速度流入，以相同的流量
12、湖水通过以相同的流量湖水通过B流出。在上午流出。在上午11:05时，时，因交通事故一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，因交通事故一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，从图中从图中A点处注入湖中。在采取紧急措施后，点处注入湖中。在采取紧急措施后，于于11:35事故得到控制，但数量不详事故得到控制，但数量不详案例案例3 湖泊污染问题湖泊污染问题的化学物质的化学物质Z已泻入湖中，初步估计已泻入湖中，初步估计Z的量在的量在520m3之间。之间。建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化并估计：并估计：（1）湖水何时到达污染高峰；）湖水何时到达污染高峰；（
13、2）何时污染程度可降至安全水平）何时污染程度可降至安全水平(0.05%)图图3 小湖示意图小湖示意图湖泊污染问题分析湖泊污染问题分析 设湖水在设湖水在t时的污染程度为时的污染程度为C=C(t)，即每立方米受污染的水中，即每立方米受污染的水中含有含有Cm3的化学物质和的化学物质和(1-C)m3的清的清洁水。用分钟作为时间洁水。用分钟作为时间t的单位。在的单位。在0t30的时间内，污染物流入湖中的时间内，污染物流入湖中小湖示意图小湖示意图的速率是的速率是Z/30(m3/min)，而排出湖外的污染物的速，而排出湖外的污染物的速率是率是600.1C(m3/min)，因为每立方流走的水中含，因为每立方流
14、走的水中含有有Cm3的污染物，而湖水始终保持的污染物，而湖水始终保持2000m3的容积不的容积不变，所以可列方程：变，所以可列方程：由初始条件：由初始条件：2000630dCZCdt(0)0C，可得微分方程的特解为，可得微分方程的特解为62000()(1)/180tC tZe显然，显然，t=30时，污染达到高峰，所以时，污染达到高峰，所以6 3042000(30)(1)/180(4.782 10)CZeZ 因污染源被截断，故微分方程变为因污染源被截断，故微分方程变为62000()(30)tC tCe20006dCCdt 它的解为它的解为：湖水中含污染物的瞬时变化率湖水中含污染物的瞬时变化率=污
15、染物流入量污染物排出量污染物流入量污染物排出量 当达到安全水平，即当达到安全水平，即C(t)=0.0005时，可求出时，可求出此时的此时的t即即(2000/6)ln(0.0005/(30)tC 30(2000/6)ln(0.9564)TZ解得解得Z取不同值时的浓度取不同值时的浓度C(30)和时间和时间T3/Z m3(30)/Cm/minT51015200.002390.004780.007170.00956552738918101462000()(30)tC tCe6 3042000(30)(1)/180(4.782 10)CZeZ 案例案例4 在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代在一个巴基斯
16、坦洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带到实验室，作碳到实验室，作碳14年代测定。分析表明年代测定。分析表明C14与与C12的的比例仅仅是活组织内的比例仅仅是活组织内的6.24，此人生活在多少年，此人生活在多少年前？前？（碳（碳14年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素C14。这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引。这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活组织中，直到在生物体起的，经过一系列交换过程进入活组织中，直到在生物体中达到平衡
17、浓度。这意味着在活体中，中达到平衡浓度。这意味着在活体中，C14的数量与稳定的的数量与稳定的C12的数量成定比。生物体死亡后，交换过程就停止了，放的数量成定比。生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一的速度减少）射性碳便以每年八千分之一的速度减少）（1 1）问题分析与模型的建立）问题分析与模型的建立1、放射性衰变的这种性质还可描述为、放射性衰变的这种性质还可描述为“放射性物放射性物质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量成比例成比例”。而。而C14的比例数为每年八千分之一。的比例数为每年八千分之一。2、碳、碳14年代测定可计算出生物
18、体的死亡时间；所年代测定可计算出生物体的死亡时间；所以，我们问题实际上就是：以，我们问题实际上就是：“这人死去多久了？这人死去多久了？”若设若设t为死后年数，为死后年数，y(t)为比例数，则为比例数，则y(t)=C14/C12(mgC14/mgC12)，则上文中最后一句话就给出了我，则上文中最后一句话就给出了我们的微分方程，单位为们的微分方程，单位为mgC14/mgC12/yr(与关键词与关键词“速率速率”相当相当)8000dyydt（2 2）解）解微分方程的通解为：微分方程的通解为：8000tyke由初始条件由初始条件0ky，故有，故有80000tyy e由问题，当由问题，当00.0624y
19、y8000000.0624tyy e，代入原方程，代入原方程8000ln0.062422400t （年）确定连接两定点 A，B 的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由 A 滑至 B 点（忽略摩擦力和阻力）。A B 五五 最速降线问题最速降线问题1.模型分析：模型分析：也许有人认为速降线应是连接A和B的直线段，其实不然。牛顿做过实验：在铅锤平面内，取同样的两个球，其中一个沿圆弧从A滑到B，另一个沿直线从A滑到B，结果发现沿圆弧的球先到B。伽利略也研究过该问题，他认为速降线是圆弧线。AoxyB2.模型建立：模型建立：如上图取坐标系，并设想质点（象光线那样）能选择它从A滑到B的路径，使所需时间尽可能
20、短，按照光学原理（史奈尔折射定律）得出cvsin（常数）据能量守恒原理，质点在一高度处的速度，完全由其到达该高度处所损失的势能确定，而与所经路线无关，设质点质量为m，重力加速度为g，质点从A下滑至yxP,点时速度为v则mgymv 221或gyv2从这里的几何关系得AoxyBp 2111yseccossin这些方程分别来自光学、力学、微积分，结合起来，得到 0012ycyy这就是速降线的数学模型。3.模型求解：模型求解：我们要求解上面微分方程，将上式变形为dyycydx21AoxyBp令tycytan21从而，tdttcdytcycossin,sin22故dttctdtctdydx2122cos
21、sintan积分后得到1222cttcxsin这曲线过原点，故由上面第一式得，0t时，0 yx于是，01c。这样ttcx222sin而tctcy2122cossin若令tca22,，则联立上两式得cossin1ayax这是摆线的标准参数方程，这种曲线是半径为a的圆周上一点沿x轴滚动产生的。见图。oyxa2yx,tctcy2122cossinttcx222sin需指出，使上图中摆线第一拱通过B点的a值只有一个，因若让a从0增到，这一拱弧就逐渐膨大，扫过整个第一象限，因而若适当选取a，就能使它通过B。5.模型评价：模型评价：这是伯努利对速降线问题的解法，非常奇妙，表现出惊人的想象能力。速降线问题除
22、内在的价值外，还有巨大的意义。它是变分法的历史根源，变分法是近代分析的极有用的分支，它深刻揭示出物理世界核心里隐藏的简单性。4.结论：结论：又由弧长微分 21yds得 gydxygydsvdsdt2122从而整个下降时间是vdsdt 的积分，故需取极小值的积分是 dxgyyxytx10221这是泛函的极值问题，令6.模型的进一步思考：模型的进一步思考：用变分法同样可以得到速降线的数学模型。以s表示曲线从A点算起到yxP,的弧长，有gydtdsv21cfyyf即122211cyyyyy这可化简为 cyy21这和伯努利解法的结果相同。由变分法理论知，上面极小值的积分方程的解所满足的欧拉方程为：gy
23、yyyf212,以前，美国原子能委员会把浓缩的放射性废料装入密封的圆桶里，然后仍到水深为300英尺的海里。1 问题（这是一场笔墨官司）问题（这是一场笔墨官司）:生态学家和科学家提出生态学家和科学家提出：圆桶是否会在运输过圆桶是否会在运输过程中破裂而造成放射性污染？程中破裂而造成放射性污染？美国原子能委员会：美国原子能委员会：不会破裂（用实验证明）。不会破裂（用实验证明）。又有几位工程师提出：又有几位工程师提出：圆桶扔到海洋中时是否圆桶扔到海洋中时是否会因与海底碰撞而破裂？会因与海底碰撞而破裂？美国原子能委员会：美国原子能委员会：决不会。决不会。六六 放射性核废料处理问题放射性核废料处理问题圆桶
24、与海底的碰撞时的速度会不会超过圆桶与海底的碰撞时的速度会不会超过4040英英尺尺/秒？秒？若圆桶与海底碰撞时的速度超过若圆桶与海底碰撞时的速度超过4040英尺英尺/秒时，秒时，就会因碰撞而破裂。就会因碰撞而破裂。这几位工程师通过大量的实验证明:通过建立数学模型来解决这一问题。,/.,.,/.3329963357232436527英尺磅英尺秒英尺磅，海水VgG一些参数及假设：一些参数及假设：08.0,ccvf假设圆筒下沉时，所受海水的阻力与其速度成正比，即受力分析：fFGF浮xyGf浮Fo2 建模与求解建模与求解,/99.63,35.733英尺磅英尺海水V磅，436.527G,327.47035
25、.799.63磅浮F08.0,ccvf根据牛顿第二定理1)(/mctecFGtv浮可解得：极限速度为：0)0(vmcvmFgdtdv浮秒英尺浮/86.713cFGv将速度将速度 v 看成位置看成位置 y 的函数的函数 v(y)，由于，由于dydvvdtdydydvdtdv0)0(vmcvmFgdtdv浮代入：代入：00)(vmcvmFgdydvv浮mcvmFgdydvv浮012mycvFGcvcFG)ln(浮浮其解为：仍未解出 v 是 y 的显函数。1300300300)()()(),()(vvFGcvvv浮2)1ln(2xxx012mycvFGcvcFG)ln(浮浮030023002mFGv
26、)()(浮由近似公式由近似公式秒英尺浮/.)()(7453002300GFGgv3 结论：结论：若圆桶与海底的碰撞速度超过40英尺/秒，会因碰撞而破裂。这一模型科学的论证了美国原子能委员会过去处理核废料的方法是错误的。现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物抛到海里，改为在废弃的煤矿中修建放置核废料的深井。我国政府决定在甘肃、广西等地修建深井放置核废料，防止放射性污染。4 注意：注意：求解过程求解过程方程变形，近似计算方程变形，近似计算讨论讨论 1972年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时，年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时，对其棺外主要用以防潮吸水用的木炭分析了它含对其棺外主要用以防潮
27、吸水用的木炭分析了它含碳碳-C14的量约为大气中的的量约为大气中的0.7757倍，据此，你能推倍，据此，你能推断出此女尸下葬的年代吗？断出此女尸下葬的年代吗？已知碳已知碳-C14的半衰期为的半衰期为5730年。年。第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所有的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始伪造Vermeer的画耶稣在学者中间。当他的工作快完成时，
28、又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证。七七 范范.梅格伦（梅格伦（Van Meegren）伪造名画案伪造名画案 为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最先进的科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹。这样，伪造罪成立，Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为，Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆
29、大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。原理原理著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：物质的放射性正比于现存物质的原子数。设 时刻的原子数为 ，则有t)(tNNdtdN为物质的衰变常数。初始条件00NNtt)()(00tteNtNNNtt001lnNNtt001ln半衰期21lnT年5568T碳-14亿年45T铀-238年1600T镭-226年22T铅-210能测出或算出，只要知道 就可算出)(,tN0N这正是问题的难处，下面是间接确定 的方法。0N断代。油画中的放射性物质油画中的放射性物质 白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb21
30、0)和更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时，Pb210的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。铀238镭226铅210钋210铅206亿年45T年1600T年22T天138T（放射性）（无放射性）假设假设（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟镭的衰变数可视为常数，用 表示。（2）钋的半衰期为138天容易测定，铅210的半衰期
31、为22年，对要鉴别的300多年的颜料来说，每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数可视为相等。r建模建模设 时刻每克白铅中含铅210的数量为 ，t)(ty0y为制造时刻 每克白铅中含铅210的数量。0t为铅210的衰变常数。则油画中铅210含量00ytyrydtdy)(求解求解)()()(0001tttteyerty)()()(1000tttteretyyrty),(,均可测出。可算出白铅中铅的衰变率 ，再于当时的矿物比较，以鉴别真伪。0y矿石中铀的最大含量可能 23%，若白铅中铅210每分钟衰变超过3 万个原子，则矿石中含铀量超过 4%。测定结果与分析测定结果与分析画名画名钋钋210衰变
32、原子数衰变原子数镭镭226衰变原子数衰变原子数Emmaus的信徒们8.50.82洗足12.60.26读乐谱的妇人10.30.3弹曼陀林的妇人8.20.17做花边的人1.51.4欢笑的女孩5.26.0若第一幅画是真品，3000tt)()()(1000tttteretyy)(1300300erety222ln111502223002300lnee)(.1282058211150111500y每分钟每克个/98050每分钟每克个/30000铅210每分钟每克衰变不合理，为赝品。同理可检验第2，3，4幅画亦为赝品，而后两幅画为真品。某大楼人员的安全疏散问题某大楼人员的安全疏散问题1 大楼所容纳的人数全
33、部走出所用的时间？2 两大因素：人走出的速度？出口的设置？八八 人口模型人口模型l简单模型简单模型lMalthus 模型模型lLogistic模型模型 人口问题人口问题1 问题的提出问题的提出 人口、工业化的资金、粮食、不可再生资源、环境污染是人类在地球上生存所面临的五大问题，而人口问题是这五大问题之首。人口在不断的增长，其增长有无规律可循？目标：预测人口发展趋势；控制人口增长。2建模准备建模准备 资料报告，公元前世界人口已接近3亿（粗略估计）。近一千年人口统计比较精细。看下图。180010人口（亿）年1930201960301974401987501999602033100我国人满为患的情况
34、更令人担忧。据资料记载：17602人口（亿）年19004195361974计划生育9.2199011.6200513联合国从1988年起，把7月11日定为世界人口日。世界人口日。198911199512三三 建立模型建立模型1 简单模型要预报未来若干年的人口数，两个重要因素：当前的人口数人口数 ，今后这些年的增长率增长率（出生率-死亡率）0 xr一年后，人数增加到)1(0001rxrxxx20002)1()1()1(rxrrxrxxk 年后，人口数为kkrxx)1(0若想知道任何时刻的人口数，怎么办？对时间连续化！两年后，2 Malthus 模型模型马尔萨斯(Malthus 1766-1834
35、)是英国的人口学家。他根据百余年的人口统计资料，于1798年提出著名的 人口指数增长模型。人口指数增长模型。基本假设：基本假设：人口净相对增长率为常数。人口净相对增长率为常数。净相对增长率是单位时间内的人口的增长量占当时的人口总数的比例。设 净相对增长率为 ，时刻人口总数为 。rt)(tN经 时间后人口总数为 t)(ttNrttNtNttN)()()()()()(trNttNttN0t)()(trNdttdNMalthus 模型模型00)()()(NtNtrNdttdN求解求解rdtNdNdtrNdNCrttN)(lnCtreCCetN )(000)(,NtNtt0 0treNC )()(00
36、ttreNtNotNN00)0(,0NNt分析分析数据表明，在17001961年期间，世界人口吻合较好。在此期间，人口约35年增长一倍。,02.0r按模型计算，取 2.02000teNN 02.02lnt 2ln50t34.6 639.050t问题：利用此模型能预测未来吗？1）1960年世界人口总数为30亿，按Malthus 模型计算，到2692年人口总数将增至151063.5地表面积为1510586.5平方英尺，其中只有28%的陆地表明给每人1 平方英尺（约为9.3 平方分米）的站立面积，那么，能容纳总人口必须把人堆放3 层以上。2）资源能否提供保证如此多人口的需要？以上两点说明，Malth
37、us 模型只适用于人口相对少时的情形，当人口增多时与实际不吻合。其原因，随着人口的增加，自然资源、环境等因素对人口的继续增长的阻滞作用愈来愈明显。如果当人口较少时（相对资源而言）人口相对增长率可以视为常数，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随人口的继续增加而减少。为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改Malthus 模型中的人口相对增长率为常数的假设。3 Logistic模型（阻滞增长模型）模型（阻滞增长模型）假设人口相对增长率随人口的增加而线性减少。假设人口相对增长率随人口的增加而线性减少。sNrNr)(,)(0rNrN 时，当r 表示人口的自然增长率。rNrN)(,0
38、令Nm为人口的最大容纳量，那么0,)(,0)(mmNrNrNN即时，当,0 msNr mNrs 即)1()(mmNNrNNrrtNr阻滞因子Logisitic模型模型00)()1()(NtNNNNrdttdNm求解求解rdtNNNdNm)1(rdtdNNNNm)11(CrtNNNmlnCtrmeCCeNNN ,0 00trmeNNNCtrtrmCeeCNtN 1)()(0)1(1)(ttrmmeNNNtN，取0 0toNdtdNNNNrdttdNm)1()(2mNrmN4tNoN0NmNm/2tm人口增长最快点结论：结论：在人 口总数达到极限值Nm的一半以前是加速生长期，过了这一点以后，生长率
39、逐渐减小，并且趋于零。-Logisitic模型模型001NtNNNrNdttdNm)()()(调整 ，可使阻滞因子变大或缩小。更复杂的人口模型更复杂的人口模型 Gompertz模型模型mNNNdtdNln人口模型的推广人口模型的推广放射性元素的衰变规律（检验名画的真伪，考古年代的判断）经济领域（通货膨胀，利率，新产品的销售，广告宣传等）动植物生长规律（96年的全国大学生数学建模竞赛题）浓度的扩散（人体内药物的吸收，传染病的传播与流行等）Malthus 模型和 Logistic模型都是确定性模型，只考虑人口总数的连续时间模型。在研究过程中还发展了随机性模型，考虑人口年龄分布的模型等。Usher模
40、型模型001NtNNNNdttdNm)()()(生物种群模型生物种群模型1 简介简介种群种群(Population)：是指在特定时间里占据一定空间的同一物种的有机体集合。种群生态学：种群生态学：主要研究种群的时间动态及调节机理。种群分为单种群单种群和多种群。多种群。单种群的数学模型：单种群的数学模型：1)马尔萨斯马尔萨斯(Malthus)模型模型rNdtdN 表示 时刻的种群数量，称为内禀增长率。Ntr2)罗杰斯特罗杰斯特(Logistic)模型模型rNdtdN)(00)()(ttretNtNNKNrdtdN)1(表示该种群的最大容纳量。K)()()(0001)(ttrtNtNKeKtN应用广
41、泛：应用广泛：细菌繁殖，元素的放射性，岩石的剥蚀与沉积，高山的隆升，新产品的推销，流行病的传播，谣言的传播等问题。2 两种群的一般模型两种群的一般模型 两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。设甲、乙两种群在 时刻的数量为 ，则线性化，得 t)(),(tytx)()()()(222111ygxfrydtdyygxfrxdtdx)()(222120121110yaxaaydtdyyaxaaxdtdx)()(222120121110yaxaaydtdyyaxaaxdtdx1)表示甲（乙）种群的自然生长率；2)表示甲（乙）种群为非密度制约，表示甲（乙）种群为密度制
42、约；3)表示甲、乙种群相互竞争；4)表示甲、乙种群相互依存；5)表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。)(2010aa0,02211aa0,02211aa02112aa0,02112aa0,02112aa3 三种群的一般模型三种群的一般模型三种群相互之间的作用要比两种群更复杂，但建立模型的思想和方法是相同的。在三种群中每两个种群之间的关系仍可归结为：相互竞争、相互依存、弱肉强食。三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的数学模型。这些模型用方程组表示，或用图形表示。记三个种群分别为123并约定 1）种群 供食于种群 表示为 12122）种群 为密度制约可表示为113）种群 不主要靠吃本系统（
43、1，2，3个种群组成的系统）为生，114）种群 与种群 相互竞争：12125）种群 与种群 互惠共存：1212）如，设A，B，C三种群为捕食与被捕食关系，则三者关系有三种：两个食饵种群，一个捕食者种群。一个食饵种群，两个捕食者种群。捕食链。CBACBACBA下面对于食饵种群增长是线性密度制约，两种群间的影响都是线性的，建立其相互作用的数学模型（Volterra模型）（1）两个食饵种群A，B，一个捕食者种群C。设 A，B，C t 时刻的密度分别为)(),(),(txtxtx321 假设：C 种群主要以A，B种群为食饵，A，B不存在时，C 要逐渐绝灭，C 不是密度制约的；A，B种群不靠本系统为生，
44、它们为密度制约且相互竞争。图示如下：CBA（）)()()(232131303332322212120223132121111011xaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdx3210,jiaij（2）一个食饵种群A，两个捕食者种群B，C。ACB（）)()()(333232131303332322212120223132121011xaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaaxdtdx3210,jiaij)()()(232131303332312120223132121111011xaxaaxdtdxxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdx3210,ji
45、aijACB）)()()(333232303332322212120222121111011xaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaaxdtdx3210,jiaijACB）（2）捕食链：A是B的食饵，B是C的食饵。)()()(333232131303332322212120223132121111011xaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdx3210,jiaijACB）)()()(333232131303332322212120223132121111011xaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdx3210,jiaijA
46、CB）)()()(333232131303332322212120223132121111011xaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdx3210,jiaijACB）3 竞争系统竞争系统问题：问题：甲、乙两种群，生活在同一自然环境下，争夺有限 的同一种食物。试建立数学模型，预测演变的最后结局。假设 甲、乙两种群服从Logistic规律，则其模型为)()(12222222111111xxNxNrdtdxxxNxNrdtdx 分别表示甲、乙两种群的最大容纳量，表示一个乙（甲）消耗的资源相当于 个甲（乙）所消耗的资源。令 ，若 表明竞争 非常激烈。21,NN)()(1
47、1 )1()()(21222222111111xxNxNrdtdxxxNxNrdtdx4 分析讨论（用定性理论方法）分析讨论（用定性理论方法）1)易求得奇点为2)考察对应的线性系统),0(),0,(),0,0(22110NPNPP)2,1,0(),(212121ixxxxAxxiPiiPNrNrNrNrNrNrPxxxxPxxrxxxxriggffxxA2222212121 21222222111111i2121 )2,1,0(),(21221112121212120),0(,0)0,(,)0,0(rrNArrrNArrArNNrNNr 的特征值为 均大于零，是不稳定的结点；的特征值为 ，所以
48、，当即 ，为稳定的结点；当 ，为鞍点；的特征值为 ，所以，当 为稳定的结点，为鞍点。)0,(1NA)0,0(A21,rr)0,0(0P)1(,2121NNrr0121NN12NN)0,(11NP12NN)0,(11NP),0(2NA21),1(12rrNN21NN),0(22NP21NN),0(22NPo1x2x)0,(11NP),0(22NP鞍点稳定结点不稳定结点)0,0(P21NN奇点的性态和轨线走向奇点的性态和轨线走向21NN奇点的性态和轨线走向奇点的性态和轨线走向1x2xo),0(22NP)0,(11NP)0,0(P不稳定结点鞍点稳定结点综合考虑，当 时，当 时，3)考虑原竞争系统(1
49、)由一次近似理论的定理，系统(1)与其 线性系统在奇点的性态相同。结论结论：当两种生物在同一生存环境中相互竞争时，且 其结果必是一种生物灭绝，而另一种趋于环境容许的最大数量，具体结果则取决于 的大小，条件 表明：在一个乙的存在对资源的消耗相当于 个甲的条件下，资源所能供养的甲的最大数量大于能供养乙的最大数量的 倍，即甲对资源的竞争能力超过乙时，甲占优势，最终获胜。21NN21NN0)(lim,)(lim211txNtxtt221)(lim,0)(limNtxtxtt1 21NN21,NN 思考题思考题1 对于竞争系统讨论 的情形。)()(12222222111111xxNxNrdtdxxxNx
50、Nrdtdx1 天然草原的生息繁衍，已形成自身特有的生物链，且对人类生存起着重要作用。长期以来，人为破坏（如过度放牧、猎杀动物及采挖草药等）使草原生态每况愈下，日渐衰竭。据2000年8月6日北京晚报载：“受利益驱使，有些人不顾国家法律和当地政府禁令，在呼伦贝尔草原大肆采挖中草药，致使草原严重受损。据此，有关专家推断，10年之内，该草原将变成荒漠。”2 草原命运草原命运为了天然草原的生息繁衍和可持续发展，完成以下工作：（1）建立草原自然生长规律模型，描述人为破坏对草原生长的影响过程;（2）论证或驳斥报载消息中专家的推断，如果立即停止对草原的一切破坏，10年后的情形如何？（3）寻找导致草原消失的临
