1、 - 1 - 2018 年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测 理科数学试题 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 集合 ， ，则下列结论正确的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ， ， ， 且 ， ，故选 A. 2. 已知复数满足 ，则的共轭复数在复平面内对应的点在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 D 【解析】 ， ， 的共轭复数在复平面内对应点坐标为 ， 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 ， 故选 D. 3. 已知平
2、面向量 ， ，且 ，则 ( ) A. B. C. D. 10 【答案】 C 【解析】 ， ， 故选 C. 4. 设 ， ，则 的值是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ， ， ， 故选A. 5. 已知圆 与抛物线 的准线相切，则的值是 ( ) A. 0 B. 2 C. 或 1 D. 0 或 2 - 2 - 【答案】 D 【解析】 的准线方程为 的圆心 到 的距离为圆 相切 ， 或 ，故选D. 6. 执行下面的程序框图，若输出结果为 273，则判断框处应补充的条件可以为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】试题分析：经过第一次循环得到 ；经过第二次循环得到
3、 ；经过第三次循环得到 ；此时，需要输出结果，此时的满足判断框中的条件，故选 B 考点：程序框图 7. 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入 .若该高校 2017 年全年投入科研经费1300 万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长 ，则该高校全年投入的科研经费开始超过 2000 万元的年份是 ( )(参考数据： ， ) A. 2020 年 B. 2021 年 C. 2022 年 D. 2023 年 【答案】 B 【解析】若 年是第一年，则第 年科研费为 ， 由 ， 可得，得 ，即 年后，到 年科研经费超过 万元，故选 B. 8. 已知函数 的部分图象如图所示，则将 的图象向
4、左平移 个单位后，得到的图象对应的函数解析式为 ( ) - 3 - A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由图知， ， 得 ， 由 最大值为 ， 得 ，将 代入可得 ， 向左平移 ， 可得， 故选 C. 9. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为 2 的半圆，则该圆锥的外接球的表面积是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】设圆锥底面半径为 ， 则底面周长等于半圆周， 圆锥轴截面为边长为 的正三角形，圆锥外接球球心是正三角形中心，外接球半径是正三角形外接圆半径， 球表面积为 ，故选 C. 10. 函数 的大致图象是 ( ) A. B. - 4 - C. D. 【答案】 D
5、【解析】因为 ， 所以函数 是奇函数，图象关于原点对称，可排除 ；由 ,可排除 ， 故选 D. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题 . 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循 .解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除 . 11. 如图，网格纸上的 小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由三视图
6、可知，该多面体是底面为棱长为 的正方形，一条长为 的侧棱与底面垂直的四棱锥， 四条底棱为 ， 四条侧棱分别为 ， 故最长棱长为 ， 故选 B. - 5 - 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题 .三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点 .观察三视图并将其 “ 翻译 ” 成直观图 是解题的关键，不但要注意三视图的三要素 “ 高平齐，长对正，宽相等 ” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状 . 12. 若一个四面
7、体的四个侧面是全等的三角形，则称这样的四面体为 “ 完美四面体 ” ，现给出四个不同的四面体 ，记 的三个内角分别为 ， ， ，其中一定不是 “ 完美四面体 ” 的为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】若 ， 由正弦定理可得， ， 设， 因为 “ 完美四面体 ” 的四个侧面是全等的三角形 ， 把该四面体顶点当成长方体的四个顶点 ， 四条棱当作长方体的四条面对角线，则长方体面上对角线长为 ， 设长方体棱长为 ， 则， 以上方程组无解，即这样的四面体不存在， 四个侧面不全等，故一定不是完美的四面体 ， 故选 B. 【方法点睛】本题考查四面体的性质以及长方体的性质、新定义问题，属
8、于难题 . 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的 迁移，达到灵活解题的目的 .遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求， “ 照章办事 ” ，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决 .本题通过定义 “ 完美四面体 ” 达到考查四面体的性质以及长方体的性质的目的 . 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知样本容量为 200，在样本的频率分布直方图中，共有 个小矩形，若中间一个小矩形的面
9、积等于其余 个小矩形面积和的 ，则该组的频数为 _. - 6 - 【答案】 50 【解析】设 个小矩形面积和为 ， 则中间小矩形面积的 ,根据直方图的性质可得,中间一个小矩形的面积等于 ，即该组的频数为 ，故答案为 . 14. 若二项式 展开式中各项系数的和为 64，则该展开式中常数项为 _. 【答案】 15 【解析】 二项式 展开式中各项系数的和为 64， 令 ，得 的通项为 ，令 ，常数项为 ，故答案为 . 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项、系数及各项系数和的求法，属于简单题 . 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题
10、：（ 1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（ 2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（ 3）二项展开式定理的应用 . 15. 若直线 上存在点 满足约束条件 ，则实数 的取值范围是_. 【答案】 【解析】 - 7 - 直线 上存在点 满足约束条件 ， 等价于直线 与可行域有交点 ， 画出约束条件 表示的可行域，如图，由 ， 得 ； 由， 得 ， 直线 过定点 ， ， 由图知，要使直线 可行域有交点 ， 则 ， 实数 的取值范围是 ， 故答案为 . 16. 已知双曲线 的焦点为 ， ， 为双曲线 上的一点且 的内切圆半径为1，则 的面积为 _. 【答案】 【
11、解析】 如图，设 的内切圆与 轴相切于实点 ， 根据切线性质及双曲线的定义可得,结合 ， 解得 ,所以的内切圆与 轴相切于实轴端点 ， 因为 ， 故 ， 可得， 轴，从而双曲线方程中令 得 ， 故答案为 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知数列 的首项为 ，且 ， . (1)求证：数列 是等差数列； - 8 - (2)设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】 (1)见解析 (2) 【解析】试题分析： (1)由 可得 ，从而可得数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列； (2) 由 (1)可知 ， ， 利用裂项相消法可求得
12、数列 的前 项和 . 试题解析： (1) ， 数列 是以 为首项，以 1 为公差的等差数列； (2)由 (1)可知， ， ， ， . 【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题 . 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧： (1) ；（ 2） ； （ 3） ；（ 4） ；此外 ，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误 . 18. 某种产品的质量以其 “ 无故障使用时间 (单位：小时 )” 衡量，无故障使用时间越大表明产品质量越好，且无故障
13、使用时间大于 3 小时的产品为优质品，从某企业生产的这种产品中抽取 100 件，并记录了每件产品的无故障使用时间，得到下面试验结果： - 9 - 无故障使用时间 (小时 ) 频数 20 40 40 以试验结果中无故障使用时间落入各组的频率作为一件产品的无故障使用时间落入相应组的概率 . (1)从该企业任取两件这种产品，求至少有一件是 优质品的概率； (2)若该企业生产的这种产品每件销售利润 (单位：元 )与其无故障使用时间的关系式为 从该企业任取两件这种产品，其利润记为 (单位：元 )，求 的分布列与数学期望 . 【答案】 (1)0.64(2) (元 ) 【解析】试题分析： (1) 由古典概型
14、概率公式可知，从该企业任取一件这种产品是优质品的概率的是 ，根据对立事件及独立事件的概率公式即可得到从该企业任取两件这种产品，至少有一件是优质产品的概率； (2) 由题意知， 的可能取值为 ，根据独立事件率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而 利用期望公式可得 的数学期望 . 试题解析： (1)由题意可知，从该企业任取一件这种产品是优质品的概率的是 ，所以从该企业任取两件这种产品，至少有一件是优质产品的概率为 ； (2)由题意知， 的分布列为 0 10 20 30 40 所以 的数学期望 (元 ). 19. 如图，正三棱柱 中， ， ， 为棱 上靠近 的三等分点，点在棱 上且 面 . - 10 - (1)求 的长； (2)求二面角 的余弦值 . 【答案】 (1) (2) 【解析】试题分析： (1) 作 与 交于点 ，根据线 面平行的性质定理可得， ， 于是在平行四边形 中， ； (2) 取 的中点 ，由 (1)知， ，从而 面 ，于是二面角 的平面角为，在直角三角形 中，可得二面角 的余弦值为 . 试题解析： (1)如图，作 与 交于点 ， ， ，面 面 ， 面 ， ， 于是在平行四边形 中， . (2)取 的中点 ， 是正三棱
