1、 1 2015-2016 学年辽宁省大连二十中高三（上）期末数学试卷（理科） 一选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知全集 U=R，集合 A=x|2 x 4， B=x|x2 x 60 ，则 A （ ?RB）等于（ ） A（ 1， 2） B（ 3， 4） C（ 1， 3） D（ 1， 2） （ 3， 4） 2已知 z1=m+i， z2=1 2i，若 为实数，则实数 m的值为（ ） A 2 B 2 C D 3已知向量 ， 满足 ?（ + ） =2，且 | |=1， | |=2，则 与 的夹角为（ ） A B C D 4已知
2、，则 cos（ +2 ）的值为（ ） A B C D 5（ x3 ） 4的展开式中的常数项为（ ） A 32 B 64 C 32 D 64 6 “m=2” 是 “ 直线 3x+（ m+1） y（ m 7） =0与直线 mx+2y+3m=0平行 ” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7由直线 y=2x及曲线 y=4 2x2围成的封闭图形的面积为（ ） A 1 B 3 C 6 D 9 8某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（ ） A B 3 C D 9若执 行如图的程序框图，则输出的 k值
3、是（ ） 2 A 4 B 5 C 6 D 7 10从抛物线 y2=4x上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且 |PM|=5，设抛物线的焦点为 F，则 MPF 的面积为（ ） A 5 B 10 C 20 D 11实数 x， y满足条件 ，则 z=x y的最小值为（ ） A 2 B 1 C 0 D 1 12已知函数 y=f（ x 1）的图象关于点（ 1， 0）对称，且当 x （ ， 0）时， f（ x） +xf（ x） 0成立（其中 f （ x）是 f（ x）的导函数），若 a=（ 30.3） ?f（ 30.3）， b=（ log 3）?f（ log 3）， c=（ log3 ） ?f（
4、log3 ），则 a， b， c的大小关系是（ ） A a b c B c a b C c b a D a c b 二填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13等差数列 an的前 n项和为 sn，且 S3=6， a1=4，则公差 d等于 14已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线经过点（ 3， 6），则该渐近线与圆（ x 2） 2+y2=16相交所得的弦长为 15定义运算： ，例如： 3? 4=3，（ 2） ? 4=4，则函数 f（ x） =x2? （ 2x x2）的最大值为 3 16设 an是等比数列，公比 ， Sn为 an的前 n 项和记 设为数列 Tn的最大项
5、，则 n0= 三 .解答题（本大题共 5小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知 a， b， c分别为 ABC 三个内角 A， B， C所对的边长，且 acosB bcosA= c （ ）求 的值； （ ）若 A=60 ，求 的值 18为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织 “ 这个冬天不再冷 ” 冬衣募捐活动，共有 50名志愿者参与志愿者的工作内容有两项： 到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣； 整理、打包募捐上来的衣物每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作相关统计数据如下表所示： 到班级宣传 整理、打包衣物 总计 20人 30
6、 人 50人 （ ）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取 5人，再从这 5 人中选 2人，那么 “ 至少有 1人是参与班级宣传的志愿者 ” 的概率是多少？ （ ）若参与班级宣传的志愿者中有 12名男生， 8名女生，从中选出 2名志愿者，用 X表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量 X的分布列及数学期望 19如图，在四棱锥 P ABCD中，侧面 PAB 底面 ABCD，且 PAB=ABC=90 ， ADBC ，PA=AB=BC=2AD， E是 PC的中点 （ ）求证： DE 平面 PBC； （ ）求二面角 A PD E的余弦值 20平面直角坐标系 xOy中，经过椭圆 C： + =1
7、（ a b 0）的一个焦点的直线 x y =0与 C相交于 M， N两点， P为 MN 的中点，且 OP 斜率是 （ ）求椭圆 C的方程； （ ）直线 l分别与椭圆 C和圆 D： x2+y2=r2（ b r a）相切 于点 A， B，求 |AB|的最大值 21设函数 f（ x） =x alnx+ （ ）若 a 1，求函数 f（ x）的单调区间； 4 （ ）若 a 3，函数 g（ x） =a2x2+3，若存在 x1， x2 ， 2，使得 |f（ x1） g（ x2） | 9成立，求 a的取值范围 请考生在 22， 23， 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用 2B铅
8、笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑选修 4-1：几何证 明选讲 22如图，已知： C是以 AB 为直径的半圆 O上一点， CHAB 于点 H，直线 AC 与过 B点的切线相交于点 D， F为 BD 中点，连接 AF 交 CH于点 E， （ ）求证： BCF=CAB ； （ ）若 FB=FE=1，求 O 的半径 选修 4-4：坐标系与参数方程 23已知直线 l的参数方程为 （ t为参数），以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 2 4 （ sin+cos ） +4=0 （ ）写出直线 l的极坐标方程； （ ）求直线 l与曲线 C交点的极坐标（ 0 ， 0 2
9、 ） 选修 4-5：不等式选讲 24已知 a 0， b 0， c 0，且 a+b+c=1 （ ）求证： a2+b2+c2 ； （ ）求证： 1 5 2015-2016 学年辽宁省大连二十中高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知全集 U=R，集合 A=x|2 x 4， B=x|x2 x 60 ，则 A （ ?RB）等于（ ） A（ 1， 2） B（ 3， 4） C（ 1， 3） D（ 1， 2） （ 3， 4） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出 B中不
10、等式的解集确定出 B，根据全集 U=R，求出 B的补集，找出 A与 B补集的交集即可 【解答】 解： 全集 U=R，集合 A=x|2 x 4=（ 2， 4）， B=x|x2 x 60= 2， 3， ?UB=（ ， 2） （ 3， + ）， 则 A （ ?UB） =（ 3， 4） 故选： B 2已知 z1=m+i， z2=1 2i，若 为实数，则实数 m的值为（ ） A 2 B 2 C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接把 z1=m+i， z2=1 2i，代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简，由 为实数，则虚部为 0，即可得到实数 m的值 【解答】 解： z 1=m+i， z
11、2=1 2i， = 若 为实数， 则 即 m= 故选： D 3已知向量 ， 满足 ?（ + ） =2，且 | |=1， | |=2，则 与 的 夹角为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由条件进行数量积的计算求出 ，从而得出 cos = ，这样即可得出 与 的夹角 6 【解答】 解：根据条件， = ； ； 与 的夹角为 故选： B 4已知 ，则 cos（ +2 ）的值为（ ） A B C D 【考点】 二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值 【分析】 利用诱导公式求出 ，同时化简 cos（ +2 ）为 cos 的形式，然后代入求解即可 【解答】 解：由 得 ， 故选
12、B 5（ x3 ） 4的展开式中的常数项为（ ） A 32 B 64 C 32 D 64 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据 二项式展开式的通项公式，列出方程求出 r的值即可得出展开式的常数项 【解答】 解：（ x3 ） 4的展开式中通项公式为 Tr+1= ?x3（ 4 r） ? =（ 2） r? ?x12 4r， 令 12 4r=0，解得 r=3； 所以展开式的常数项为 T4=（ 2） 3 = 32 故选： C 6 “m=2” 是 “ 直线 3x+（ m+1） y（ m 7） =0与直线 mx+2y+3m=0平行 ” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充
13、分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据两条直线平行的条件，建立关于 m的关系式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断 7 【解答】 解：当 m=2，两直线方程分别为： 3x+4y+5=0 与直线 2x+2y 6=0此时两直线平行，充分性成立 则当 m=0时，两直线方程分别为 3x+y+7=0 或 y=0，此时两直线不平行， 当 m0 ，若两直线平行，则 ， 即 m2+m=6且 ，解得 m=2或 m= 3，且 m 2，即 m=2或 m= 3，即必要性不成立， “m=2” 是 “ 直线 3x+（ m+1） y（ m 7） =0与直线 mx+2y+3m=0平行
14、” 的充分不必要条件， 故选： A 7由直线 y=2x及曲线 y=4 2x2围成的封闭图形的面积为（ ） A 1 B 3 C 6 D 9 【考点】 定积分在求面积中的应用 【分析】 根据题意，求出积分的上下限，即可得出结论 【解答】 解：由 ，得： 或 ， 所以直线 y=2x及曲线 y=4 2x2围成的封闭图形的面积为 S= =（ 4x ） =9 故选： D 8某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（ ） A B 3 C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1的 正方形，所以此四面体一定可以放在棱长为 1的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的体积 【解答】 解：由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1的正方形， 所以此四面体一定可以放在正方体中， 所以我们可以在正方体中寻找此四面体 如图所示，四面体 ABCD满足题意， 所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球， 由题意可知，正方体的棱长为 1，所以外接球的半径为 R= ， 8 所以此四面体的外接球的体积 V= = 故选 C 9若执行如图的程序框图，则输出的 k值是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 程序框图 【分析】 执行程序框
