1、 1 北京市海淀区 2018 届高三数学上学期期中试题 理 本试卷 共 4 页 ， 150 分。考试 时长 120 分钟 。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上 作答无效。考试 结束后 ，将答题纸交回 。 第一部分 （ 选择题 ，共 40 分 ） 一 、 选择题 共 8 小题 ，每小题 5 分 ，共 40 分。在 每小题列出的四个选项中，选 出 符合题目要求的一项 。 （ 1） 若集合 ， ，则 （ ） （ A） （ B） （ C） （ D） （ 2） 下列函数中，既是偶函数又在 区间 上单调递增的是 （ ） （ A） （ B） （ C） （ D） （ 3） 已知向量 ， ，则 （ ） （ A
2、） （ B） （ C） （ D） （ 4） 已知数列 满足 ，则 （ ） （ A） （ B） （ C） （ D） （ 5） 将 的图象向左平移 个单位，则所得 图象 的函数解析式为 （ ） （ A） （ B） （ C） （ D） （ 6） 设 ， 则 “ 是 第一象限角 ” 是 “ ” 的 （ ） （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充分必要条件 （ D）既不充分也不必要条件 2 （ 7） 设 （ ），则下列说法不正确的是 （ ） （ A） 为 上偶函数 （ B） 为 的一个周期 （ C） 为 的一个极小值点 （ D） 在区间 上 单调递减 （ 8） 已知非空集合 满足
3、以下两个条件： （） ， ； （） 的元素个数不是 中的元素， 的元素个数不是 中的元素， 则有序集合对 的个数为 （ ） （ A） （ B） （ C） （ D） 第二部分 （ 非选择 题，共 110 分 ） 二 、填空题共 6 小题 ，每小题 5 分 ，共 30 分 。 （ 9） 定积分 的值等于 （ 10） 设在 海拔 （单位 ： m） 处的大气压强 （单位 ： kPa） ， 与 的函数关系 可 近似表示为 ，已知在 海拔 1000 m 处 的大气压强为 90 kPa，则 根据 函数关系式 ，在 海拔2000 m 处 的大气压强为 kPa （ 11） 能够说明 “ 设 是实数 若 ， 则
4、” 是假命题的一个实数 的值为 （ 12）已知 是 边长为 2 的 正三角形， ， 分别为边 ， 的中点，则 ； 若 ，则 （ 13） 已知函数 （ 其中 ， ）的部分图象如图所示，则， （ 14） 已知函数 是定义在 上的奇函数， 3 当 时， ， 其中 ； 若 的值域是 ，则 的取值范围是 三 、 解答题 共 6 小题 ，共 80 分 。解答 应 写出文字说明，验算 步骤 或证明过程。 （ 15） （本小题 13 分） 已知函数 （ ） 求 的 值； （ ） 求 在 区间 上的最大值和 最小值 （ 16） （本小题 13 分） 已知 是等比数列，满足 ， ， 数列 满足 ， 且是公差为 2
5、 的等差数列 （ ）求数列 和 的通项公式； （ ）求数列 的前 项和 （ 17）（本小题 13 分） 已知函数 ，其中 （）当 时 ，求 曲线 在点 处 的切线方程 ； （）求 在 区间 上 的最小值 （其中 是 自然对数的底数 ） （ 18）（本小题 13 分） 如图 ， 在 四边形 中 ， ，且 为 正三角形 . 4 （）求 的 值； （）若 ， ，求 和 的 长 . 5 （ 19）（本小题 14 分） 已知函数 （ ）， （ ） （）求 的单调区间； （ ）求证： 1 是 的唯一极小值点； （）若存在 ， ，满足 ，求 的取值范围 .（只需写出结论） （ 20） （本小题 14 分）
6、若数列 ： ， ， ? ， （ ）中 （ ） 且 对 任意的 恒 成立 ， 则称数列 为“ 数列 ” （）若数列 ， ， ， 为“ 数列 ”，写出 所有可能的 ， ； （）若“ 数列 ” ： ， ， ? ， 中 ， ， ， 求 的 最大值 ； （）设 为给定 的偶数 ， 对所有可能 的 “ 数列 ” ： ， ， ? ， ， 记 ，其中 表示 ， ， ? ， 这 个 数 中 最大的 数 ， 求 的 最小值 6 海淀区高 三 年级第 一 学期期 中 练习参考答案 2017.11 数 学 （理科） 阅卷须知 : 1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数 . 2.其它正确解法可以参照
7、评分标准按相应步骤给分 . 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 C A D D B C D A 二、填空题 :本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 .(有两空的小题第一空 3 分 ) 9 0 10 81 11 2 12 （ 1） （ 2） 13 ， 14 （ 1） （ 2） 三、解答题 : 本大题共 6 小题，共 80 分 . 15 （本题 13 分） 解 ：（ ）因为 ?1 分 ?2 分 ?3 分 （ ） ?4 分 ?8 分 （一个公式 2 分） 7 ?10 分 因为 ， 所以 ?11 分 所以 故 当 即
8、 时， 有最大值 当 即 时， 有最小值 ? 13 分 （函数最大值和最小值结果正 确 1 分，写出取得最大值和最小值时对应自变量的取值 1 分） 16 （本题 13 分） 解 ：（ ） 设 数列 的 公比为 ， 则 ?2 分 解得 ， ?3 分 所以 ， ?5 分 令 ， 则 ?7 分 ?9 分 （ ） ?13 分 （分组求和，每组求对给 2 分） 17 （本题 13 分） 解 ： （）当 时 ， ， ，? 1 分 此时 ， ， ， ?2 分 8 故 曲线 在 点 处 的切 线 方 程 为 ?3 分 （） 的 定义域为 ?4分 ?5 分 令 得 ， 或 ?6 分 当 时， 对任意的 ， ，
9、在 上 单调递增 ?7 分 ? 8 分 当 时 0 极小 ?10 分 ?11 分 当 时， 对任意的 ， ， 在 上 单调递 减 ?12 分 ? 13 分 由、可知， 18 （本题 13 分） 解：（）因为 ， 9 所以 ? 2 分 （没写角取值范围的扣 1 分 ） 所以 ?4 分 ? 6 分 （）设 ， ，在 和 中 由余弦定理 得 ?10 分 （每个公式给 2 分 ） . 代入得 解得 或 （舍） 即 ， ?13 分 19 （本题 14 分） 解：（） 因为 ?2 分 令 ， 得 10 因为 ， 所以 ? 3 分 当 变化时， ， 的变化情况如下： 极大值 ? 5 分 故 的单调 递增区间为 ， 的单调递减区间为 ? 6 分 （）证明： （ ）， ? 7 分 设 ，则 故 在 是单调递增函数， ? 8 分 又 ，故方程 只有唯一实根 ?10 分 当 变化时， ， 的变化情况如下： 1 极小值 ? ?12 分 故 在 时取得极小值 ， 即 1 是 的唯一极小值点 . （） ?14 分 20（本题 14 分） 解 ： （） ， 或 ? 3 分
