1、 1 北京市朝阳区 2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试 数学试卷（文史类） （考试时间 120分钟 满分 150分） 本试卷分为选择题（共 40分）和非选择题（共 110分）两部分 第一部分（选择题 共 40分） 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . 1. 已知 全集 U?R ，集合 ? ?1A x x?， ? ?20B x x? ? ?，则 ()U AB? A. | 2xx? B. |1 2xx? C. ? ?12xx? D. | 2xx? 2.复数 ?i12 A. 2? i B. 2? 2i C. 1+i
2、 D. 1? i 3 已知 非零实数 a ， b 满足 ab? ，则下列不等式中一定成立的是 A. 0ab? B. 11ab? C. 2ab b? D. 330ab? 4. 已知平面向量 (1,0)?a ， 13( , )22?b ，则 a 与 ?ab的夹角为 A.6? B 3? C. 3? D. 6? 5.已知 0a? ，且 1a? ，则“函数 xya? 在 R 上是减函数”是“函数 3(2 )y a x? 在 R 上是增函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知双曲线 12222 ?byax 0( ?a ， )0
3、?b 的左、右焦点分别是 1F ， 2F ， M是双曲线上的一点，且 | 1MF | 3? ， | 2MF |=1， ? 3021FMF ，则 该 双曲线的离心率是 2 A 13? B 13? C 213? D 13? 或 213? 7 某 四棱锥 的三视图如图所示， 其俯视图为等腰直角三角形， 则 该四棱锥 的 体积 为 A. 23 B.23 C.43 D. 2 8某校高三（ 1）班 32名学生参加跳远和掷实心球两项测试。跳远和 掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为 26人和 23人，这两项成绩均不合格的有 3人，则这两项成绩均合格的人数是 A.23 B. 20 C. 21 D.19 第 二
4、部分 （非选择题 共 110分） 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 .把答案填在答题卡上 . 9 已知等差数列 na 前 n 项和 为 nS .若 1 2a? ， 32 aS? ，则 2a =_， 10S? . 10 圆 C： 22 2 2 2 0x y x y? ? ? ? ?的圆心到直线 3 4 14 0xy? ? ? 的距离是 11执行 如图所示的程序框图，则输出 S 的结果为 _. 12 在 ABC 中，已知 4 5 , 2B A C B C? ? ? ?，则 C? . 13设 D 为不等式组 0,0,+3 3xyxyxy?表示的平面区域，对于区域 D内 除原点外
5、 的任一点 (, )Axy ，则 2xy?的最大值是 _，22xyxy? 的取值范围是 _. 14. 甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖 。 有人走访了四位歌手，甲说： “ 乙或1 2 俯视图 正视图 侧视图 1 开始 0, 1Si? 是 否 6?i? 输出 S 结束 2ii? 2S S i? 3 丙获奖 ” ； 乙说： “ 甲、丙都未获奖 ” ； 丙说： “ 丁获奖 ” ； 丁说： “ 丙说的不对 ” 。若 四位歌 手中 只有一个人说 的是 真话，则获奖的歌手是 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分 .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 . 15. （本小题满分 1
6、3 分） 已知函数 2( ) 2 3 s i n c o s 2 c o s 1f x x x x? ? ?. （ ）求 ()fx的最小正周期 ； （ ）求 ()fx在区间 , 64? 上的最大值和最小值 . 16. （本小题满分 13分） 已知 等比数列 na 的各项均为正数，且 2 4?a ， 3424?aa （ ） 求数列 na 的通项公式； （ ） 若 数列?nb满足1 3?，2 6， 且? ?nnba?是 等 差 数列 ， 求 数列 nb 的 前 n 项和 . 17. （本小题满分 13分） 甲、乙两位学生参加数学 文化知识 竞赛培训 。 在培训期间，他们参 加的 5次 测试 成绩记
7、录如下： 甲： 82 82 79 95 87 乙： 95 75 80 90 85 （ ）用茎叶图表示这两组数据； （ ）从甲、乙两人的 这 5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率； （ ）现要从 甲、乙两位同学 中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位同学参加合适？并说明理由 18. （本小题满分 14分） 如图， 四边形ABCD是边长为 2的 正方形，平面ABCD?平面 ABEF， / ,AF BE ,2A B B E A B B E? ? ?, 1AF? （）求证：AC?平面 BDE ； （）求证：/平面 DEF ； （）求三棱锥 C DEF? 的体积 1
8、9. （本小题满分 13分） F A D C B E 4 在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 与两定点 ( 2,0)A? , (2,0)B 连线的斜率乘积为 12? ，记点P 的轨迹为曲线 C . （） 求曲线 C 的方程； （）若 曲线 C 上的两点 ,MN满足 /OM PA , /ON PB ，求证： OMN? 的面积为定值 . 20. （本小题满分 14分） 设函数 2( ) ( 1 ) e ,xf x x a x a? ? ? ? R. （） 当 1a? 时，求曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线方程； （） 若函数 ()fx有两个零点，试求 a 的取值范围 ;
9、 (III)设函数 ( ) ln e 1,xg x x x? ? ? ?当 0a? 时，证明 ( ) ( ) 0f x g x?. 北京市朝阳区 2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试 数学答案（文史类） 2017.1 一、选择题：（满分 40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D B A D C B 二、填空题： （满分 30分） 题号 9 10 11 12 13 14 答案 4 ， 110 3 30 105? 94 ， 2,0? 甲 （注：两空的填空，第 一空 3分，第二空 2分） 三、解答题： （满分 80分） 15. （本小题满分 13分） 解 : 解：
10、（ ）因为 2( ) 2 3 s i n c o s 2 c o s 1f x x x x? ? ? 5 xx 2cos2sin3 ? 2sin(2 )6x ?. 所以 )(xf 的最小正周期为 ? . ? 7分 （ ）因为 2, 2 .6 4 6 6 3xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所 以 - 当 2,6 2 6xx? ? ? ? ?即 时， )(xf 取得最大值 2 ； 当 2 , , ( )6 6 6x x f x? ? ? ? ? ? ?即 时取得最小值 1? . ? 13 分 16. （本小题满分 13分） 解： ( ）解： 设等比数列 na 的公比为 q ，依题意 0q
11、? 因为 123114, 24,? ?aqa q a q两式相除得 ： 2 60qq?， 解得 2q? ， 3q? (舍去 ) 所以 21 2?aa q 所以 数列 na 的通项公式为 11 2? ? ?nnna a q ? ? ? ? ? 6分 （） 解 :由已知可得 113 2 1? ? ? ?ba ， 22 6 4 2? ? ? ?ba ， 因为? ?为等差数列， 所以 数列 是首项为 1，公差为 1?d 的等差数列 所以 1 ( 1)? ? ? ? ?b a n n. 则 2nnbn? . 因此数列 nb 的 前 n 项和： 231 2 2 2 3 2 2 nnTn? ? ? ? ?
12、? ? ? ? 23(1 2 3 ) ( 2 2 2 2 )nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1222 nnn ? ? ?. ? ? ? ? ? ? ? ? 13分 17. （本小题满分 13分） 6 解：（ ）作出茎叶图如下； ? 4分 （ ）记甲被抽到的成绩为 x ，乙被抽到成绩为 y ，用数对 ? ?,xy 表示基本事件： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?8 2 , 9 5 , 8 2 , 7 5 , 8 2 , 8 0 ,
13、8 2 , 9 0 , 8 2 , 8 5 ,8 2 , 9 5 , 8 2 , 7 5 , 8 2 , 8 0 , 8 2 , 9 0 , 8 2 , 8 5 ,7 9 , 9 5 , 7 9 , 7 5 , 7 9 , 8 0 , 7 9 , 9 0 , 7 9 , 8 5 ,9 5 , 9 5 , 9 5 , 7 5 , 9 5 , 8 0 , 9 5 , 9 0 , 9 5 , 8 5 ,8 7 , 9 5 , 8 7 , 7 5 , 8 7 , 8 0 , 8 7 , 9 0 , 8 7 , 8 5 ,基本事件总数 25n? 设 “ 甲的成绩比乙高 ” 为事件 A,事件 A包含的基本
14、事件： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?8 2 , 7 5 , 8 2 , 8 0 , 8 2 , 7 5 , 8 2 , 8 0 , 7 9 , 7 5 , 9 5 , 7 5 ,9 5 , 8 0 , 9 5 , 9 0 , 9 5 , 8 5 , 8 7 , 7 5 , 8 7 , 8 0 , 8 7 , 8 5 , 事件 A包含的基本事件数 12m? 所以， ? ? 1225mPA n? ? 9分 （ ）派甲参赛比较合适，理由如下： 1 7 0 1 8 0 3 9 0 1 9 2 2 7 5 8 55x? ? ? ? ? ? ?
15、 ? ? ? ? ? ?甲 （ ）， 1 (7 0 1 8 0 2 9 0 2 5 0 5 0 5 ) 8 55x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?乙2 2 2 2 2 21 (7 9 8 5 ) ( 8 2 8 5 ) ( 8 2 8 5 ) ( 8 7 8 5 ) ( 9 5 8 5 ) 3 1 . 65S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?甲 2 2 2 2 2 21 (7 5 8 5 ) ( 8 0 8 5 ) ( 8 0 8 5 ) ( 9 0 8 5 ) ( 9 5 8 5 ) 5 05S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?乙因为 22,x x s
16、s?甲 乙 甲 乙， 所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适 ? 13分 18. （本小题满分 14 分） 证明 ：（）因为平面ABCD?平面 ABEF， 平面 平面 EF AB?，且 AB BE? ， 所以 BE? 平面ABC. 因为 AC? 平面CD，所以 BE AC? 又因为 四边形ABCD为 正方形，所以 AC BD? 甲 乙97 2 25505057897 因为 BD BE B? ，所以AC?平面 BDE ? 4 分 （）设 AC BD O? ， 因为 四边形ABCD为 正方形， 所以 O 为 BD 中点 设 G 为 DE 的中点，连结 ,OGFG ， 则 /OG BE ，且 12O
17、G BE? 由已知 /AF BE ，且 12AF BE? ， 则 / ,AF OG 且 .AF OG?所以 四边形AOGF为 平行四边形 . 所以/FG， 即/AC 因为AC?平面 DEF ，FG?平面 DEF ， 所以/平面 DEF ? 9 分 （）由（）可知 BE? 平面ABCD， 因为 /AF BE ， 所以 AF? 平面 ， 所以 ,A F A B A F A D? 又因为 四边形ABCD为 正方形，所以 AB AD? ， 所以 AD? 平面 ABEF 由（）可知，/AC平面 DEF ， 所以， 点 C 到平面 DEF 的距离等于 A 点到平面 DEF 的距离， 所以 C DEF A
