1、 1 石景山区 2016 2017 学年第一学期高三年级期末试卷 数 学（理） 第一部分 （选择题 共 40分） 一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 已知集合 2, 1, 0, 1, 2A ? ? ? , | 0 1B x x? ,那么 AB等于 （ ） A 0 B 1 C 0,1 D 0,1 2若 34iz i? ，则 |z? （ ） A 2 B 3 C 4 D 5 3 执行 如图所示的程序框图， 输出的 k 值是 （ ） A 5 B 3 C 9 D 7 4 下列 函数中 既是 奇函 数又在区间 (0, )? 上 单调递减的是
2、（ ） A xye? B ln( )yx? C 3yx? D 1y x? 5 由直线 10xy? ? ? ， 50xy? ? ? 和 1x? 所围成的三角形 区域（包括边界），用不等式组可表示为（ ） A 1 0,5 0,1xyxyx? ? ? ? ?B 1 0,5 0,1xyxyx? ? ? ? ?C 1 0,5 0,1xyxyx? ? ? ? ?D 1 0,5 0,1xyxyx? ? ? ? ?1k ?ab ?2kk ?2ka ?2bk 输 出 k 是 否 开始 结束 2 6一个几何体的三视图如 右 图所示 已知这个几何体的体积为 8 ，则 h? （ ） A 1 B 2 C 3 D 6 7
3、 将函数 2( 3)yx?图象 上的点 2( ,( 3) )P t t? 向左 平移 m(m 0)个 单位长度得到 点 Q 若 Q 位于 函数 2yx? 的 图象上，则 以下 说 法正确的是 （ ） A 当 2t? 时 ， m 的 最小值为 3 B 当 3t? 时 ， m一定 为 3 C 当 4t? 时 ， m 的 最 大 值为 3 D t?R ， m一定 为 3 8 六名同学 A、 B、 C、 D、 E、 F举行象棋比赛，采取单循环赛制，即 参加比赛的 每两个人之间仅 赛一 局第一天， A、 B各参加了 3 局比赛， C、 D各参加了 4 局比赛， E参加了 2 局比赛，且 A 与 C 没有
4、比赛过， B 与 D 也没有比赛过，那么 F 在第一天参加的 比赛 局数 为 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 第二部分（非选择题共 110分） 二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分 9 在 7( 3)x? 的展开式中， 5x 的系数是 （结果用数值表示） 10 已知 ABC 中， =3AB ， =1BC ， sin = 3cosCC，则 ABC 的面积为 11 若双曲线 2214xym?的渐近线方程为 32yx? ，则双曲线的焦点坐标是 12 等差数列 na 中， 1 2a? ，公差不为零，且 1a ， 3a ， 11a 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于
5、13 有以下 4 个条件： ab? ； | | | |ab? ； a 与 b 的方向相反； a 与 b 都是单位向量其中a /b 的充分不必要条件有 （填正确的序号） 侧视图 正视图 4 h 俯视图 3 3 14 已知 函数 1 1, 1,() 4ln , 1xxfxxx? ? ?， 方程 ()f x x? 有 _个 根； 若 方程 ()f x ax? 恰有 两个不同实数根，则实数 a 的 取值范围是 _ 三、 解答题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （本小题共 13分） 已知函数 ( ) 2 s i n ( ) s i n 3 c o s 22f x x x
6、 x? ? ? ? （ ） 求 ()fx的最小正周期； （ ） 求 ()fx在 , 12 6? 上的 最大值 16 （本小题共 13 分） 2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破 9.27 亿微信用户平均年龄只有 26 岁， 97.7% 的用户在 50岁以下， 86.2% 的用户在 18-36岁之间为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从 北京市大学生中随机抽取 100位同学进行了抽样调查，结果如下： 微信群数量 频数 频率 0至 5个 0 0 6至 10 个 30 0.3 11至 15 个 30 0.3 16至 20 个 a c 20 个以上 5 b 合计
7、100 1 （ ） 求 a ， b ， c 的 值； （ ） 若从这 100位同学中随机抽取 2 人，求这 2 人中恰有 1 人微信群个数超过 15个的概率； （ ） 以这 100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从 全市 大学生 中 随机抽取 3 人，记 X 表示抽到的是微信群个数超过 15个的人数，求 X 的分布列和数学期望 EX 4 17（本小题共 14分） 如图 1，等腰梯形 BCDP 中， BC PD ， BA PD? 于点 A ， 3PD BC? ，且 1AB BC? 沿 AB 把 PAB 折起到 PAB? 的 位置 （如图 2），使 90PAD? ? ? （
8、） 求证： CD 平面 PAC? ； （ ） 求二面角 A PD C?的余弦值； （ ） 线段 PA? 上是否存在点 M ，使得 BM 平面 PCD? 若存在 ， 指出点 M 的位置并证明；若不存在，请说明理由 图 1图 2 18 （本小题共 13分） 已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的离心率为 32， 点 (2,0) 在椭圆 C 上 （）求椭圆 C 的标准方程； （）过点 (1,0)P 的直线（不与坐标轴 垂直 ）与 椭圆交于 AB、 两点，设点 B 关于 x 轴的对称点为B? 直线 BA? 与 x 轴 的交点 Q 是否为 定点 ？请 说明 理由 19（本小题共
9、 14分） 已知函数2( ) 11xfx x?， 2( ) ( 0)axg x x e a? （） 求函数 ()fx的单调区间； （）若对任意 12, 0, 2xx? ， 12( ) ( )f x g x? 恒成立，求 a 的取值范围 B C A P D B A C P A B C D 5 20（本小题共 13分） 集合 M 的若干个子集的集合 称 为集合 M 的一个子集族 对于集合 1,2,3 n 的一个子 集族 D 满足如下条件 ：若 ,A D B A?， 则 BD? ， 则称子集族 D 是 “向下封闭”的 （）写出一个含有集合 1,2 的 “向下封闭”的子集族 D 并计算此时 ( 1)A
10、AD? ?的值 （其中 A 表示集合 A 中元素的个数 ，约定 0? ；AD?表示对子集族 D 中所有成员 A 求和 ）； （） D 是集合 1,2,3 n 的 任一“向下封闭的”子集族， 对 AD? ,记 maxkA? ，( ) m ax ( 1) AADfk ? （其中 max表示最大值）， （）求 (2)f ； （）若 k 是偶数 ， 求 ()fk 石景山区 2016 2017学年第一学期期末考试 高三数学（理科） 参考答案 一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A D A B B D 二、填空题共 6小题，每小题 5分，共
11、30分 三、解答题共 6小题，共 80分 15 （本小题共 13分） 解：（ ）( ) 2 c os si n 3 c os 2f x x x x? ? ?1 分 si n 2 3 cos 2xx?2 分 2sin(2 )3x， ?4 分 题号 9 10 11 12 13 14 答案 189 32 ( 7,0)? 4 1, 11 , )4e 6 因此)(xf的最小正周期为 ?6 分 （ ） 当 , 12 6x?时， 226 3 3x? ? ?， ?8 分 当 2 32x?，sin(2 )3x?有最大值 1 ?10 分 即12x?时，()fx的最大值为 2 ?13 分 16（本小题共 13分）
12、解： （ ） 0 3 0 3 0 5 1 0 0a? ? ? ? ?解得 35a ， 51100 20b?， 35 7100 20c? ? 3分 （ ） 记 “ 2 人中恰有 1人微信群个数超过 15个 ” 为事件 A ， 则 1140 602100 16() 33CCPA C? 所以， 2 人中恰有 1人微信群个数超过 15个的概率为 1633 ? 7分 （ ）依题意可知，微信群个数超过 15个的概率为 25P? X 的所有可能取值 0 ， 1， 2 ， 3 ? 8分 则 ? ? 0 0 33 270 ( ) (1 )2255 125P X C? ? ? ?， ? ? 1 1 23 541
13、( ) (1 )2255 125P X C? ? ? ?， ? ? 2 2 13 362 ( ) (1 )2255 125P X C? ? ? ?， ? ? 333 0 83 ( ) (22551) 125P X C? ? ? ? 其分布列如下： X 0 1 2 3 P 27125 54125 36125 8125 所以， 2 7 5 4 3 6 8 60 1 2 31 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 5EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?13 分 17（本小题共 14分） 解： （ ） 因为 90PAD? ? ? ， 所以 PA? AD 因为 在等腰梯形中， AB AP
14、， 所以 在四棱锥中， AB AP? 又 AD AB A?， 所以 PA? 面 ABCD 因为 CD ? 面 ABCD ， 所以 PA? CD ?3 分 因为 等腰梯 形 BCDE 中， AB BC? ， 3PD BC? ，且 1AB BC? 7 所以 2AC? ， 2CD? ， 2AD? 所以 2 2 2AC CD AD? 所以 AC CD 因为 PA? ? AC =A , 所以 CD 平面 PAC? ?5 分 （ ）由 （ ） 知， PA? 面 ABCD ， AB AD ， 如图，建立空间直角坐标系， A ? ?0,0,0 ， B ? ?1,0,0 ， C ? ?1,1,0 ， D ? ?
15、0,2,0 ， P? ? ?0,0,1 ?5 分 所以 (1,0,0)AB? ， (1,1, 1)PC? ? 由 （ ） 知，平面 PAD? 的法向量为 (1,0,0)AB? ， 设 ( , , )n x y z? 为平面 PCD? 的一个法向量，则 00n CDn PC? ?,即 00xyx y z? ? ? ? ? ?， 再令 1y? ，得 (1,1,2)n? cos ,AB n = ABnABn?= 66 所以二面角 A PD C?的余弦 值为 66 ?9 分 （ ）若 线段 PA? 上存在点 M ，使得 BM 平面 PCD? 依题意可设 AM AP? ? ,其中 01?所以 (0,0,
16、 )M ? ， ( 1, 0, )BM ? 由（ ）知，平面 PCD? 的一个法向量 (1,1,2)n? 因为 BM 平面 PCD? ，所以 BM n? ， 所以 1 2 0B M n ? ? ? ? ?，解得 12? 所以 ，线段 PA? 上 存在点 M ，使得 BM 平面 PCD? ?14 分 18（本小题共 13分） 解： （ ）因为点（ 2,0 ）在椭圆 C 上，所以 2a? 又因为 32ce a? ，所以 3c? ， 221b a c? ? ? 所以椭圆 C 的标准方程为： 2 2 14x y? ?5 分 P? B A C P A B C D x y z 8 （ ） 设 1 1 2
17、2 2 2( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , 0 )A x y B x y B x y Q n? ? 设直线 AB ： ( 1)( 0)y k x k? ? ? ?6 分 联立 22( 1 ) 4 4 0y k x x y? ? ? ? ?和 ，得： 2 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x k x k? ? ? ? ? 所以 212 2814kxx k?， 212 24414kxx k? ? ?8 分 直线 AB? 的方程为121112 ()yyy y x xxx? ? ? ， ?9 分 令 0y? ，解得 1 1 2 1 2 2 111 2 1 2()y x x x y x ynxy y y y? ? ? ?
