1、 - 1 - 2017-2018 学年高三第一学期期中考试 数学试卷（文科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150分考试时间 120分钟 第卷 （选择题 共 60分） 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分在每题选项中，只有一项是符合要求的 1. 已知复数 2(1 )z i i?(i 为虚数单位 )， z 的共轭复数为 z ，则 ?z z = A 4i B. 4i? C. 4 D. 4? 2若集合 ? ?1? xyyM ,集合 | sin N y y x?,则 MN? A 1,0? B. 1,1? C. 0,1 D.? 3 设等差数列 na 的 前 n 项和为
2、nS ，若327aa?，则 4S 的值为 A 15 B 14 C 13 D 12 4. 已知 0a? ，且 1a? ，则“函数 xya? 在 R 上是减函数”是“函数 3(2 )y a x? 在 R 上是增函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不 必要条件 5. 已知向量 ( 3 ,1 ) , ( 0 , 1 ) , ( , 3 )a b c k? ? ? ?，若（ 2ab）与 c 互相垂直，则 k 的值为 A 1 B. 1? C. 3 D. 3? 6.已知 exexf x ? ?)( 的导函数 )( xf ，则 ?)1(f A ee1?
3、 B. ee 1? C. e11? D. 0 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形 的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 8.已知 2 23)(22 ? ? x xxxf ，若 31)( ?af ，则 ?)( af A 31 B. 31? C. 35 D. 35? 9. 已知?)2()1()2(2)(3 xxxxxf ， 若关于 x 的方程 kxf ?)( 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是 A 1?k B. 1?k C. 10 ?k D. 10 ?k - 2 - 10.函数 ? ? ? ? ? xAxf sin
4、 （其 中 2,0 ? ?A ）的图像如图所示，为了 得到 ? ? xxg 2sin? 的图像，则只要将 ?xf 的图像 A. 向右平移 6? 个单位长度 B向右平移 3? 个单位长度 C. 向左平移 6? 个单位长度 D向左平移 3? 个单位长度 11已知球 O 是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为的 10 正四棱锥 S ABCD?与一个高为 8 的正四棱柱 1 1 1 1ABCD A BC D? 拼接而成，则球 O 的半径为 A. 24 B.5 C.4 D. 10 12. ()fx是定义在 R 上的函数， 2)0( ?f ，且对任意 xR? ，满足 ( 2) ( ) 2f x f
5、 x? ? ?，( 6) ( ) 6f x f x? ? ?，则 (2016)f ? （ ） A 2015 B 2016 C 2017 D 2018 第卷 （非选择题共 90分） 二、 填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 13.已知 实数 yx, 满足?140yyxyx ，则目标函数2z x y? 的最小值是 . 14.若函数 2)( 2 ? mxxxf 在区间 1,2 上有零点，则实数 m 的取值范围是 . 15. 三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅 “ 勾股圆方图 ” ，如图 所示的 “ 勾股圆方图 ” 中，四个相同的直角三角形与中间的 小正 方形拼成一个大正方形，若小正方形面积为 1
6、，大正方形面积 为 25，直角三角形中较大的锐角为 ? ，则 ? )4tan( ? _. 16.若点 P 是 ABC? 所在平面内一点， ?90?A ， tACtAB 1, ? ，且ACACABABAP 2? ，则 PCPB? 的最大值 是 _ - 3 - 三、 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 12分） 已知 等比数列 na 的各项均为正数，且 2 4?a ， 3424?aa （ ） 求数列 na 的通项公式； （ ）若 数列?b的 前 n 项和 ),(22 12 ? ? NnnnS nn 求证： 数列 ? ?nn ba? 是等差数列 . 18.（ 本小题满
7、分 12分）如图所示，在四边形 ABCD 中， BD ? 2 ,且 2?AD , 33cos,6 ? BCD . （ ） 求 ACD? 的面积； （ ） 若 34?BC ，求 AB 的长； 19（本小题满分 12 分） 如图，函数 2 9yx? ? 与 x 轴交于两点 ,AB，点 ,CD在抛物线上 （点 C 在第一象限），CD AB 记 ( , )Cx y ，梯形 ABCD 面积为 S （） 求面积 S 以 x 为自变量的函数解析式； （） 若 0,x ? 其中 ? 为常数且 03?， 求 S 的最大值 - 4 - 20. （本小题满分 12 分） 如图，四边形ABCD是边长为 2的正方形，
8、平面ABCD?平面 ABEF， / ,AF BE ,2AB BE AB BE? ? ?, 1AF? （）求证：AC?平面 BDE ； （ ）求三棱锥 C DEF? 的体积 21.（本小题满分 12分）已知 )(,ln)( Rmxmxxf ?（）求 )(xf 的单调区间； （ ） 当 1?m 时，证明：211)11()( eexxf x ? 22.（本小题满分 10分）选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中，倾斜角为 )2( ? ? 的直线 l 的参数方程为 1 cos ,sin ,xtyt ? ?（ t为参数）以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
9、 C的极坐标方程是 0sin4cos 2 ? ? （） 写出直线 l 的普通方程和曲线 C的直角坐标方程； （） 已知点 )0,1(P 若点 M 的极坐标为（ 1， 2? ），直线 l 经过点 M 且与曲线 C相交于 BA, 两点，设线段 AB 的中点为 Q ，求 PQ 的值 文科数学参考答案及评分标准 一、选择题： 1.A 2.C 3.B 4.A 5.D 6.A 7.C 8.C 9.D 10.B 11.B 12.D 二、填空题： F A D C B E - 5 - 13. 5 14. 2 2,3 15. 71 16. 225? 二、解答题： 17.（ ）解：设等比数列 的公比为 ，依题意 因
10、为 两式相除得： ， ? 2分 解得 ， (舍去 )所以 ? 4分 所以数列 的通项公式为 ? 6分 （ ）解：由已知 当 1?n 时， 41?b当 2?n 时，nnnnn nnnnSSb 2)1()1(2 2121 ? ?nn 22 ? 又1b符合 nn nb 22 ? ?10分 设 nbacnnn 2?，当 2?n 时， 21 ? ?nn cc ?11 分 ?nc? 即 ? ?nn ba? 是等差数列 . ? 12 分 18.解： （ ） 33co s,2 ? BBD? ,? .311c o s22c o sc o s 2 ? BBD2分? ?,0?D ， ? .3 22c o s1s i
11、n 2 ? DD ? 3分 因为 6,2 ? CDAD ， 所以 ACD? 的面积 .243 226221s in21 ? DCDADS ? 6分 （ ） 在 ACD? 中， 12c o s2222 ? DDCADDCADAC , ? .34?AC ? 8分 BBACBC ? ,34? ， ? 9分 ? ?BABA C BABBACABC 2s ins ins in ? ?中，.8?AB ? 12 分 - 6 - 19解：（）依题意 点 C 的横坐标为 x ， 点 C 的纵坐标为 2 9yx? ? ? 1分 点 B 的横坐标 Bx 满足方程 2 90Bx? ? ? ， 解得 3Bx? ， ?
12、2分 所以 2211( | | | |) ( 2 2 3 ) ( 9 ) ( 3 ) ( 9 )22CS C D A B y x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4分 由点 C 在第一象限，得 03x? 所以 S 关于 x 的函数式为 2( 3)( 9)S x x? ? ? ?， 03x? ? 5分 （）记 2( ) ( 3 ) ( 9 ) , 0f x x x x ? ? ? ? ? ?， 2( ) 3 6 9 3 ( 1 ) ( 3 )f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 分 令 ( ) 0fx? ? ，得 1x? ? 7分 若 1
13、? ，即 13?时， ()fx? 与 ()fx的变化情况如下： x (0,1) 1 (1, )? ()fx? ? 0 ? ()fx 极大值 所以，当 1x? 时， ()fx取得最大值，且最大值为 (1) 32f ? ? 9分 若 1? ，即 01?时， ( ) 0fx? ? 恒成立， 所以， ()fx的最大值为 2( ) (3 )(9 )f ? ? ? ? ? ? 11分 综上， 13?时， S 的 最大值为 32 ； 01?时， S 的最大值为 2( ) (3 )(9 )f ? ? ? ? ? ? 12 分 20. 解（ ） ?平面 平面 ， 平面 平面 ， ?BE 平面 ABEF, 且，
14、? 平面 . ? 2分 又因为 平面 ， ? ? 3分 又因为四边形 为正方形， ? ?BEBD,? 平面 BDE, ， ? 5分 所以 平面 ? 6分 - 7 - （ ）设 ，因为四边形 为正方形， O是 BD 中点 设 G 是 DE 中点，连接 FGOG, ，则BEOGBEOG 21,/ ?又BEAFBEAF 21,/ ?OGAFOGAF ? ,/ 所以四边形 AOGF 是平行四边形 ?点 C到平面 DEF距离等于点 A到平面 DEF距离 ? 9分 3231 ? ? ADSVVV AEFAEFDD E FAD E FC所以体积为32? 12分 21.（）解： 0?x? ， xmxxmxf
15、11)( ?1分 当 0?m 时， 0)( ?xf ， )(xf 的单调递减区间 ),0( ? ，没有递增区间； ? 3分 当 0?m 时，若 ),1( ? mx ，则 0)( ?xf ， )(xf 的单调递减区间 ),1( ?m ； 若 )1,0( mx? ，则 0)( ?xf ， )(xf 的单调递增区间 ),1( ?m 。 ? 5分 （ ） 证明： 0?x? ， xxxf ln)( ? ，设xexxg 11)( ?，则由 011)( ? xxf ，得 1?x ， ? 6分 当 )1,0(?x 时， )(,0)( xfxf ? 递减，当 ),1( ?x 时， )(,0)( xfxf ? 递增， ? 1)1()( ? fxf ，当且仅当 1?x 时取等号； ? 7分 又 ?xxxx exe exexg 2)1()(2 ? ?8分当 )2,0(?x 时， )(,0)( xgxg ? 递减， 当 ),2( ?x 时， )(,0)( xgxg ? 递增，? 211)2()( egxg ?，当且仅当 2?x 时取等号； ? 10分 又 ? )(),( xgxf 不能同时取等号，211)()( exgxf ?即不等式成立 ? 12分 22. 解： （） 由已知得直线 l 的普通方程： )1(tan ? xy ? ? 2分 曲线 C
