1、 1 福建省龙海市 2018届高三数学上学期期中试题 理 总分： 150分 时间： 120分钟 一、选择题（本大题共 12小题，共 60 分） 1. 设集合 A=x|x（ x+1） 0 ，集合 B=x|2x 1，则集合 A B等于（ ） A. x|x0 B. x|x -1 C. x|x 0 D. x|x -1 2. 已知复数 z= （其中 i为虚数单位）的虚部与实部相等，则实数 a的值为（ ） A. 1 B. C. -1 D. 3. 角 的终边经过点 （ 2， -1） ，则 sin+cos 的值为（ ） A. - B. C. - D. 4. 设 ， 是向量，则 “ | |=| |” 是 “ |
2、 + |=| - |” 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知数列 an为等差数列，且 a2016+a2018= dx，则 a2017的值为（ ） A. B. 2 C. 2 D. 6. 函数 y= 的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数 f（ x） = ，则 f（ 27） +f（ -log43） 的值为（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 8. 在 ABC中，若 acosC+ccosA=bsinB，则此三角形为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰
3、直角三角形 9. 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有的点（ ） 2 A. 横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度 B. 横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度 C. 横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变 ），再向左平行移动 个单位长度 10. 已知函数 f（ x）是定义在 R上的偶函数，若任意的 x0 ，都有 f（ x+2） =-f（ x） ，当 x0 ， 1时， f（ x） =2x-1，则 f（ -2017） +f（ 2018） =（ ） A. 1 B. -
4、1 C. 0 D. 2 11. 已知 ，则 的值等于（ ） A. B. C. D. 12. 已知定义域为 R的奇函数 y=f（ x） 的导函数为 y=f （ x） ， 当 x0 时， xf （ x） -f（ x） 0，若 ， ， ，则 a， b， c的大小关系正确的是（ ） A. a b c B. b c a C. a c b D. c a b 二、填空题（本大题共 4小题，共 20 分） 13. 向量 ， 若 与 共线（其中 m， n R且 n0 ），则 等于 _ 14. 设 Sn为等差数列 an的前 n项和，且 a3=5， S6=42，则 S9= _ 15. 在 ABC中，内角 A、 B、
5、 C的对边分别为 a、 b、 c，已知， 则角 A= _ （用弧度制表示） 16. 已知函数 f（ x） = ，若函数 g（ x） =f（ x） -ax-1有 4个零点，则实数 a的取值范围为 _ 三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分） 17. （本小题 10 分） 已知 （ I）求 sin 的值； （ II）求 的值 18. （本小题 12 分） 已知向量 ， ， 3 函数 （ 1）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ 2）已知 a， b， c分别为 ABC内角 A， B， C的对边，其中 A为锐角， ，c=1，且 f（ A） =1，求 ABC的面积 S 19. （本小题 12 分）
6、 已知数列 an的前 n项和为 ，且 ， （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）若 ，设数列 bn的前 n项和为 ，证明 20. 近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响 ，如何改善空气质量已成为当今的热点问题某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器 x（百台），其总成本为 P（ x）（万元），其中固定成本为 12万元，并且每生产 1百台的生产成本为 10 万元（总成本 =固定成本 +生产成本）销售收入 Q（ x）（万元）满足 Q（ x） = ，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），
7、根据以述统计规律，请完成下列问题： （ 1）求利润函数 y=f（ x）的解析式（利润 =销售收入 -总成本）； （ 2）工厂生产多少百 台产品时，可使利润最多？ 21. 已知数列 an满足： a1=1， an+1=2an+1 （ 1）求证：数列 an+1是等比数列； （ 2）求数列 an的通项公式； 4 （ 3）设 ，求数列 cn的前 n 项和 Tn的取值范围 22. 已知函数 ， a R （ ）当 a=0 时，求函数 f（ x） 在 （ 1， f（ 1） 处的切线方程； （ ）令 g（ x） =f（ x） -ax+1，求函数 g（ x） 的极值； （ ）若 a=-2，正实数 x1， x2满足
8、 f（ x1） +f（ x2） +x1x2=0，证明： 高三理科 数学期中考试题 答案和解析 【答案】 1. B 2. C 3. D 4. D 5. A 6. C 7. A 8. C 9. B 10. A 11. B 12. D 13. 14. 117 15. 16. （ 0， 1） 17. 解（ I） ， ， 0 + ， cos= ， sin= ， sin（ + ） = ， 那么： sin=sin （ + ） -=sin （ + ） cos -cos（ + ） sin= ； （ II）由（ I） sin= ， cos= ， 那么 sin2=2sincos= ， cos2= ， cos2=1
9、-2sin2= ， = 18. 解：（ 1） = = = = =sin（ 2x- ）， 由 （ k z）， 5 函数 f（ x）的单调递增区间为 （ k z） （ 2） ， 因为 ， ，所以 . ， ， 又 a2=b2+c2-2bccosA，则 b=2， 从而 19. 解：（ 1）当 n=1 时 ，得 a1=1， 当 n2 时， 得 an=3an-1， 所以 ， （ 2）由（ 1）得： ， 又 得 两式相减得： ， 故 ， 所以 Tn= - 20. 解：（ 1）由题意得 P（ x） =12+10x， 则 f（ x） =Q（ x） -P（ x） = 即为 f（ x） = （ 2）当 x 16时，
10、函数 f（ x）递减，即有 f（ x） f（ 16） =212-160=52万元 当 0 x16 时，函数 f（ x） =-0.5x2+12x-12 =-0.5（ x-12） 2+60， 当 x=12时， f（ x）有最大值 60万元 所以当工厂生产 12百台时，可使利润最大为 60 万元 21. （ 1）证明： an+1=2an+1， an+1+1=2（ an+1）， 数列 an+1是等比数列 （ 2）解：由（ 1）及已知 an+1是等比数列，公比 q=2，首项为 a1+1=2， an+1=2?2n-1=2n， （ 3）解： = - ， = 1， 设 f（ n） =1- ，则 f（ n）是增
11、函数， 当 n=1时， f（ n）取得最小值 f（ 1） = Tn的取值范围是 ， 1） 6 22. 解：（ ）当 a=0时， f（ x） =lnx+x，则 f（ 1） =1，所以切点为（ 1， 1）， 又 ，则切线斜率 f（ 1） =2， 故切线 方程为 y-1=2（ x-1），即 2x-y-1=0 （ ） g（ x） =f（ x） -（ ax-1） = ， 则 = ， 当 a0 时， x 0， g（ x） 0 g（ x）在（ 0， + ）上是递增函数，函数 g（ x）无极值点， 当 a 0时， = ， 令 g（ x） =0得 ， 当 时， g（ x） 0；当 时， g（ x） 0 因此 g
12、（ x）在 上是增函数，在 上是减函数 时， g（ x）有极大值 综上，当 a0 时，函数 g（ x）无极值；当 a 0时，函数 g（ x）有极大值 ； （ ）证明：当 a=-2时， f（ x） =lnx+x2+x， x 0， 由 f（ x1） +f（ x2） +x1x2=0， 即 ， 从而 =x1x2-ln（ x1x2）， 令 t=x1x2，则 （ t） =t-lnt，得 （ t） = ， 可知 （ x）在区间（ 0， 1）上单调递减，在区间（ 1， + ）上单调递增， （ t） （ 1） =1， ， 因为 x1 0， x2 0 【解析】 1. 解： A=x|x（ x+1） 0= -1， 0
13、， B=x|2x 1=（ 0， + ）， A B=-1， + ） 故选： B 2. 解： z= = ， 则 ，即 a=-1 故选： C 3. 解： 已知角 的终边经过点（ 2， -1），则 x=2， y=-1， r= ， sin= - ， cos= ， sin+cos= - ， 故选 D 4. 解：若 “ | |=| |” ，则以 ， 为邻边的平行四边形是菱形； 若 “ | + |=| - |” ，则以 ， 为邻边的平行四边形是矩形； 故 “ | |=| |” 是 “ | + |=| - |” 的既不充分也不必要条件； 故选： D 根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案 本题考
14、查的知识点是充要条件，向量的模，分析出 “ | |=| |” 与 “ | + |=| - |” 表示的几何意义，是解答的关键 7 5. 解： dx表示以原点为圆心，以 2为半径的圆的面积的四分之一， 则 a2016+a2018= dx= ， 数列 an为等差数列， a2017= （ a2016+a2018） = ， 故选： A 根据定积分的几何意义求出 a2016+a2018= dx= ，再根据等差中项的性质即可求出 6. 解：函数 y= = ， 可知函数是奇函数，排除选项 B， 当 x= 时， f（ ） = = ，排除 A， x= 时， f（ ） =0，排除 D 故选： C 7. 解： f（
15、 27） =log927= = ， f（ -log43） = + =3+ ， 则 f（ 27） +f（ -log43） = +3+ =6， 故选： A 8. 解：在 ABC中，由 acosC+ccosA=bsinB以及正弦定理可知， sinAcosC+sinCcosA=sin2B， 即 sin（ A+C） =sinB=sin2B 0 B ， sinB0 ， sinB=1， B= 故选： C 9. 解：要得到函数 = cos（ x- ）的图象，只需将函数 的图象上所有的点的横坐标变为原来的 2倍， 再再向右平行移动 个单位长度，即可， 故选： B 10. 解：任意的 x0 ，都有 f（ x+2）
16、 =-f（ x），可得 f（ x+4） =-f（ x+2） =f（ x），函数的周期为 4， 函数 f（ x）是定义在 R上的偶函数，当 x 0， 1时， f（ x） =2x-1， 则 f（ -2017） +f（ 2018） =f（ 2017） +f（ 2018） =f（ 1） +f（ 2） =f（ 1） -f（ 0） =2-1+1-1=1 故选： A 11. 解： ， cos -（ +2 ） =-cos（ +2 ） =-cos2（ + ）=-1-2sin2（ + ） =- ，解得： sin2（ + ） = ， = 故选： B 12. 解：构造函数 g（ x） = ， g （ x） = ， xf （ x） -f（ x） 0， g （ x） 0， 函数 g（ x）在（ - ， 0）和（ 0， + ）单调递减 函数 f（ x）为奇
