1、 2021 届高三年级上学期 9 月第一次模拟考试 数学（理科）试卷 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答 题卡） 1. 设复数 1 1zi ， 2 1zi ，则 12 11 zz （ ） A. 1 B. -1 C. i D. i 2. 已知集合|ln1Mx yx， | x Ny ye，则MN （ ） A. 1,0 B. 1, C. 0, D. R 3. 为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分 为 5 分， 分值高者为优） ， 根据测验情况绘制了
2、如图所示的六大素养指标雷达图， 则下面叙述不正确的是 （ ） A. 甲的数据分析素养优于乙 B. 乙的数据分析素养与数学建模素养相同 C. 甲的六大素养整体水平优于乙 D. 甲的六大素养中数学运算最强 4. 若, 2 ， 7 cos2 25 ，则 sin 3 sin 2 （ ） A. 3 4 B. 3 4 C. 4 3 D. 4 3 5. 已知 123 ,x x xR， 123 xxx，设 12 1 2 xx y ， 23 2 2 xx y ， 31 3 2 xx y ， 12 1 2 yy z ， 23 2 2 yy z ， 31 3 2 yy z ，若随机变量X，Y，Z满足： iii P
3、XxP YyP Zz 1 (1,2,3) 3 i，则（ ） A. ()( )( )D XD YD Z B. ()( )( )D XD YD Z C. ()( )( )D XD ZD Y D. ()( )( )D XD ZD Y 6. 函数coslnyxx的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行 为正方形“E”形视标，且从视力 5.2 的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E” 边长的1010倍，若视力 4.1 的视标边长为a，则视力 4.9 的视标边长为（ ） A. 4 5 10
4、 a B. 9 10 10 a C. 4 5 1 10 a D. 9 10 1 10 a 8. 已知 1 F， 2 F为椭圆C： 2 2 1(0) x ym m 的两个焦点，若C上存在点M满足 12 MFMF，则实数m 取值范围是（ ） A. 1 0, 2 B. 2, C. 1 0,2, 2 D. 1 ,11,2 2 9. 已知函数 2sinf xx和 2cos0g xx图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一 个等腰直角三角形的顶点，为了得到 yg x的图象，只需把 yf x的图象（ ） A. 向左平移 1 个单位 B. 向左平移 2 个单位 C. 向右平移 1 个单位 D. 向右平移 2
5、个单位 10. 已知函数 2 121f xaxxaxaR 的最小值为 0，则a（ ） A. 1 2 B. -1 C. 1 D. 1 2 11. 如图，在棱长为 3 的正方体 1111 ABCDABC D中，点P是平面 11 ABC内一个动点，且满足 1 213DPPB，则直线 1 B P与直线 1 AD所成角的余弦值的取值范围为（ ） A. 1 0, 2 B. 1 0, 3 C. 12 , 22 D. 13 , 22 12. 已知双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为C上一点， 且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交于点M（异于P，F）
6、，与y轴交于点N，直线MB与y轴 交于点H，若3HNOH（O为坐标原点） ，则C的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（共 4 题，每题 5 分） 13. 已知平面向量a与b的夹角为45，1,1a ，1b ，则ab_. 14. 在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连 续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”.过去 10 日，A、B、C、D四地新增疑似病例数据信息如下： A地：中位数为 2，极差为 5；B地：总体平均数为 2，众数为 2； C地：总体平均数为 1，总体方差大于
7、0；D地：总体平均数为 2，总体方差为 3. 则以上四地中，一定符合没有发生大规模群体感染标志的所有选项是_（填A、B、C、D） 15. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3 cos3 cos5 sinbCcBaA，且A为锐角， 则当 2 a bc 取得最小值时， a bc 的值为_. 16. 在空间直角坐标系Oxyz中，正四面体PABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上移动，若该正四 面体的棱长为 2，则OP的取值范围是_. 三、解答题： （本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 如 图 ， 四 棱 锥SABCD中 ， 二 面 角SAB
8、D为 直 二 面 角 ，E为 线 段SB的 中 点 ， 3390DABCBAASBABS ， 1 tan 2 ASD，4AB . （1）求证：平面DAE 平面SBC； （2）求二面角CAED的大小. 18. 数列 n a， n b定义如下： 1 1a ， 1 2b ， 1 2 nnn aab ， 1 2 nnn bab . （1）求数列 nn ab的通项公式； （2）求数列 n a和 n b的通项公式. 19. 已知抛物线 1 C： 2 20 xpy p上的点到焦点的距离最小值为 1. （1）求p的值； （2）若点 00 ,P x y在曲线 2 C： 2 1 1 4 yx上，且在曲线 1 C上
9、存在三点A，B，C，使得四边形PABC 为平行四边形.求三角形PAC的面积S的最小值. 20. 已知函数 2 1 x a ex f x x ，且曲线 yf x在 2,2f处的切线斜率为 1. （1）求实数a的值； （2）证明：当0 x时， 1f x ； （3）若数列 n x满足 1n x n ef x ，且 1 1 3 x ，证明：211 n xn e. 21. 系统中每个元件正常工作的概率都是01pp，各个元件正常工作的事件相互独立，如果系统中有 多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作.系统正常工作的概率称为系统的可靠性. （1）某系统配置有21k个元件，k为正整数，求该系统正常工作概率
10、k P的表达式. （2）现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件，试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性. 选做题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 已知平面直角坐标系中， 曲线 1 C的参数方程为 2 21 1 22 2 xt ytt （t为参数，tR） ， 以原点O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为2sin02. （1）求曲线 1 C的极坐标方程； （2）射线l的极方程为0,0 ，若射线l与曲线 1 C， 2 C分别交于异于极点的A，B两 点，且4OAOB，求的值. 23. 已知 22
11、f xxxa. （）当2a时，求不等式 5f x 的解集； （）设不等式 21f xx的解集为B，若3,6B，求a的取值范围. 答答 案案 一、选择题（共 12 小题） 1-5：ACDBB 6-10：ACCAC 11-12：AB 1. A 解： 12 111111 1 11(1)(1) ii zziiii .故选：A. 2. C 解：|1Mx x，|0Ny y，0,MN ，故选：C. 3. D 解：甲乙的六大素养指标 A：甲的数据分析素养优于乙，故 A 正确； B：乙的数据分析优于数学建模素养相同；故 B 正确； C：甲的六大素养整体水平优于乙，故 C 正确； D：甲的六大素养中，直观想象，数
12、据分析与逻辑推理能力最强，故 D 错误. 4. B 解：由题可得： 222 222 cossin1 tan7 cos2 cossin1tan25 ， 解得 3 tan 4 ，因为, 2 ，所以 3 tan 4 ，所以 sinsin3 tan 3cos4 sin 2 . 故选：B. 5. B 解： 123 1 () 3 E Xxxx， 233112 1 ( ) 3222 xxxxxx E Y 123 1 3 xxxE X， 12 2 xx ， 23 2 xx ， 31 2 xx 距 E Y， 1 x， 2 x， 3 x较近，所以 D XD Y，同理 D YD Z，故 D XD YD Z，故选：B
13、. 6. A 解：因为coslnyxx为偶函数，定义域为|0 x x ，故排队 C，D； 当x时，ln2y，排除 B； 故选：A. 7. C 解：由题意可得，假若视力 4.9 的视标边长为首项， 则公比 1010 q ，视力 4.1 的视标边长为a，故 8 1 aa q， 即 4 5 1 88 1 10 10 10 aa aa q ，故选：C. 8. C 解：当焦点在x轴上时， 2 am， 2 1b ，1m， 当M为上下顶点时， 12 FMF最大， 因为 12 0MF MF坐标， 12 2 FMF ， 1 4 FMO ，所以 1 tantan1 4 c FMO b ， 即 1 1 1 m ，解
14、得2m； 当焦点在y轴上时， 2 1a ， 2 bm，01m， 当M为左右顶点时， 12 FMF最大，因为 12 0MF MF， 12 2 FMF ， 1 4 FMO ， 所以 1 tantan1 4 c FMO b ，即 1 1 m m ，解得 1 0 2 m，故选 C. 9. A 解：令 2sinf xx和 2cosg xx相等可得 sincostan1 4 xxxxk ，kZ； 可设连续三个交点的横坐标分别为： 4 ， 5 4 ， 9 4 ； 对应交点坐标为：,1 4 A ， 5 , 1 4 B ， 9 ,1 4 C ； 任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点； B到AC的距离
15、等于AC的一半；即 19 2 2442 ； 11 ( )2sin2sin2cos 222 f xxxx 1 2cos2cos1 222 xx ； 需把 yf x的图象向左平移 1 个单位得到 1 ( )2cos2cos 2 g xxx的图象； 故选：A. 10. C 解：设 2 ( )( )1 ( )( )21 g xh xax g xh xxax ，所以 2 2 ( ) ( )1 g xxax h xx ， 则 f xg xh xg xh x 2, 2, g xg xh x h xg xh x ， 由于 g xx xa的图象恒过0,0，,0a， h x的图象为开口向下， 且过1,0，1,0的
16、抛物线， 且 f x的最小值为 0，结合图象可得1a 或1a ，即有1a. 故选：C. 12. B 解：不妨设P在第二象限，FMm，0,0Hhh， 由3HNOH知0, 2Nh，由AFMAON，得 2 mca ha （1） ， 由BOHBFM，得 ha mca （2） ， （1） ， （2）两式相乘得 1 2 ca ca ，即3ca，离心率为 3.故选：B. 二、填空题（共 4 小题） 13. 5 14. AD 15. 10 10 16. 3 1, 3 1 13. 解：根据题意，1,1a ，则2a ， 又由a与b的夹角为45，1b ，则 2 22 222 15abaa bb ， 则5ab；故答案
17、为：5. 14. 解：该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”.在A地中，中位数为 2，极差为 5，2 57 ，每天新增疑似病例不会超过 7 人，所以A地符合标准； 在B地中，总体平均数为 2，众数为 2，每天新增疑似病例可以超过 7 人，所以B地不符合标准； 在C地中，总体平均数为 1，总体方差大于 0，每天新增疑似病例可以超过 7 人，所以C地不符合标准；在 D地中，总体平均数为 2，总体方差为 3.根据方差公式，如果存在大于 7 的数存在，那么方差大于 3，所以 D地符合标准. 故答案为：AD. 15. 解：由3 cos3 cos
18、5 sinbCcBaA，及正弦定理可得： 2 3sincos3sincos5sinBCCBA， 可得： 2 3sin()5sinBCA，由sin()sin0BCA，可得 3 sin 5 A ，而A是锐角， 所以 4 cos 5 A ，则 22222 8 2cos 5 abcbcAbcbc， 则 22 222 8 8282 5 555 bcbc abcbc bcbcbcbc ，当且仅当bc时， 2 a bc 取得最小值 2 5 ， 故 22 2 5 ab，故 10 5 ab，所以 10 10 a bc .故答案为： 10 10 . 三、解答题（共 2 小题） 17. 解： （1）二面角SABD为
19、直二面角，平面SAB 平面ABCD， 90DAB，ADAB，平面ABCD平面SABAB，AD 平面ABCD， AD 平面SAB，又BS 平面SAB，ADBS， ASBABS， ASAB， 又E为BS的中点， AEBS， 又ADAEA， BS 平面DAE， BS 平面SBC，平面DAE 平面SBC. （2）如图，连接CA，CE，在平面ABS内作AB的垂线，建立空间直角坐标系Axyz， 1 tan 2 ASD，2AD ，0,0,0A，0,4,0B，0,4,2C， 2 3, 2,0S， 3,1,0E，0,4,2AC ， 3,1,0AE ， 设平面CAE的法向量为, ,nx y z，则 0 0 n A
20、C n AE ，即 420 30 xz xy ， 令1x ，则3y ，2 3z ， 1,3,2 3n 是平面CAE的一个法向量， SB平面DAE，平面DAE的一个法向量为 2 3,6,0SB ， 2 36 31 cos, 24 4 3 n SB n SB nSB ， 由图可知二面角CAED的平面角为锐角，故二面角CAED的大小为60. 18. 解： （1）由 1 2 nnn aab 和 1 2 nnn bab ，两式相减得 11nnnn abab ，又 11 1ab ， 则数列 nn ab成首项为-1，公比为-1 的等比数列，则( 1)n nn ab . （2）两式相加得 11 3 nnnn
21、abab ，则数列 nn ab成首项为 3，公比为 3 的等比数列， 则3n nn ab，所以 3( 1) 2 nn n a ， 3( 1) 2 nn n b . 19. 解： （1）解析：设线法 由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 故最小值应为0,0，准线 2 p y ，由题意可得1 2 p ，解得2p ； （2）解析：设线法：设直线AC：ykxb， 当直线斜率k不存在时，此时直线AC为垂直x轴的直线，与抛物线只有一个交点，故舍去. 点 00 ,P x y在曲线 2 C： 2 1 1 4 yx上，故 2 00 44xy ，设 11 ,A x y， 22 ,C x y， 联立方程 2
22、 4 ykxb xy ， 得 2 440 xkxb， 12 4xxk， 12 4x xb ， 故线段AC的中点 2 2 ,2Dkkb， 若要满足四边形PABC为平行四边形，则B，P关于点D对称.则 2 00 4,42Bkxkby. 又点B在抛物线 1 C上，故满足方程 2 2 00 44 42kxkby，即 2 000 1 4 8 kxbxy 002 12 2 11 1 22 1 PAC kxby SAC dkxx k 2 00 2 bkkxby ， 代入得： 222 00000 11 44 48 Skkxxyxy 22 000 1 4 8 kkxxy 22 2 0000 1111 4 282
23、2 kxxykx ， 当 0 1 2 kx时， min 2 2 S.所以三角形PAC的面积S的最小值 2 2 . （2）解析 2：设点法 设 11 ,A x y， 22 ,C x y， 直线AC： 121 2 40 xxxyx x， 点 00 ,P x y在曲线 2 C： 2 1 1 4 yx上， 故 2 00 44xy ，线段AC中点 22 1212 , 28 xxxx D ，若要满足四边形PABC为平行四边形，则B，P 关于点D对称，则 22 12 1200 , 4 xx B xxxy . 又点B在抛物线 1 C上，故满足方程： 22 2 12 0120 4 4 xx yxxx ， 即 2
24、 0121200 22xxxx xxy 2 120012 12 12 2 12 4 11 1 224 16 PAC xxxyx x xx SAC dxx xx 2 1212 1222 0000 4 11 44 2828 xxx xxx xyxy 2 2 12000 2 00 224 1 4 28 xxxxy xy 3 2 2 00 2 4 16 xy 2 2 ，所以三角形PAC的面积S的最小值为： 2 2 . 20.（1）解：由 2 1 ( ) x a ex f x x ，得 3 2 ()2 x x axe f x x ， 则 21 2 a f，即2a； （2）证明：要证 1f x ，只需证
25、2 1 ( )10 2 x h xexx ， 1 x h xex ， 1 x hxe， 0,x时， 0hx ， 1 x h xex 在0,上单调递增， 1 00 x h xexh ，则 2 1 ( )1 2 x h xexx在0,上单调递增. 2 1 ( )100 2 x h xexxh 成立.当0 x时， 1f x ； （3）证明：由（2）知，当0 x时， 1f x ， 1n x n ef x ， 1 ln nn xf x ， 设ln nn g xf x ，则 1nn xg x ， 121nnn xg xg g xgg x . 要证：211 n xn e，只需证 1 1 2 n n x e
26、， 1 1 3 x ， 1 1 3 11 x ee， 3 327 0 28 ee ， 1 3 3 2 e ，则 1 1 3 1 11 2 x ee ； 故只需证 1 1 11 2 nn xx ee . 0, n x ，故只需证 1 11 1 22 nn xx ee .即证 11 1 22 n x n f xe . 只需证当0, n x 时， 22 11 2220 22 x xexxx . 2 1 22 2 x xxexx ， 2 1 211 2 x xxex ， 2 1 310 2 x xxex ， x在0,上单调递增， 故 2 1 21100 2 x xxex ， x在0,上单调递增， 故
27、2 1 22 00 2 x xxxex ， x在0,上单调递增， 故 22 11 22200 22 x xxexx .原不等式成立. 21. 解： （1）21k个元件中，恰好k个正常工作的概率为 1 21 (1) kkk k Cpp ，恰好有1k个元件正常工作 的 概 率 为 112 21 (1) kkk k Cpp ， ， 恰 好21k个 元 件 正 常 工 作 的 概 率 为 2121 21 kk k Cp ， 故 21 21 21 (1) k iiki kk i k PCpp . （2）当有21k个元件时，考虑前21k个元件，为使系统正常工作，前21k个元件中至少有1k 个元 件正常工作
28、. 前21k个元件中恰有1k 个元件，它的概率为 112 21 (1) kkk k Cpp ，此时后两个必须同时正常工作，所 以这种情况下系统正常工作的概率为 112 21 (1) kkk k Cppp . 前21k个元件中恰好有k个正常工作，它的概率为 1 21 (1) kkk k Cpp ，此时后两个元件至少有一个正常 工作即可，所以这种情况下系统正常工作的概率为 12 21 (1)1 (1) kkk k Cppp . 前21k个元件中至少有1k个元件正常工作，它的概率为 1 21 (1) kkk kk PCpp ， 此时系统一定正常工作. 故 112121 1212121 (1)(1)1
29、 (1)(1) kkkkkkkkk kkkkk PCpppCpppPCpp . 所以 112121 1212121 (1)(1)1 (1)(1) kkkkkkkkk kkkkk PPCpppCpppCpp 1122 21 (1)(1)2 kkk k ppCpppppp 1 2121 (1)(1 2 )(1)(1)(21) kkkkkk kk ppCppppCp . 故当 1 2 p 时， 1kk PP ，系统可靠性不变；当 1 0 2 p， 1kk PP ，系统可靠性降低，当 1 1 2 p， 1kk PP ，系统可靠性提高. 22. 解：（1） 曲线 1 C的参数方程为 2 21 1 22
30、2 xt ytt （t为参数，tR） ， 转换为直角坐标方程为： 2 2xy， 转换为极坐标方程为 22 cos2 sin，整理得 2 2sin cos . （2）射线l的极方程为0,0 ，若射线l与曲线 1 C， 2 C分别交于异于原点的A，B两 点， 所以 2 2sin cos ，故 2 2sin cos A ， 同理 2sin ，故2sin B ，由于4OAOB， 所以 2 2sin 8sin cos ，所以 2 4cos1，所以 3 或 2 3 . 23. 解： （）当2a时， 5f x 即2225xx， 当 2 2(2)(2)5 x xx ，解得2x；当 22 2(2)25 x xx ，解得21x ； 当 2 2(2)(2)5 x xx ，解得 7 3 x ；故不等式 5f x 解集为 7 |1 3 x xx 或； （）若3,6B，则原不等式 21f xx在3,6上恒成立， 即2221xaxx，即21 22xaxx ，5xa， 55xa ，即55axa ， 解得81a ，故满足条件的a的取值范围是8, 1a .
