1、 - 1 - 厦门市 2018 届高三年级第一学期期末质检 理科数学 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 ? ? ?10A x x x? ? ?， ? ?1B x y x? ? ?，则 AB?I （ ） A ? ?0xx? B ? ?1xx? C ? ?01xx? D R 2命题“ 320 0 0, 1 0x x x? ? ? ? ?R ”的否定是（ ） A 320 0 0, 1 0x x x? ? ? ? ?R B 320 0 0, 1 0x x x? ? ? ? ?R
2、C 32, 1 0x x x? ? ? ? ?R D 32, 1 0x x x? ? ? ? ?R 3实数 ,xy满足 0xy?，则（ ） A 11xy?B x y x y? ? ? C 1122xy? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D 2x xy? 4若 ,mn是两条不同的直线， ,?是两个 不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A若 ,m? ? ?，则 m ? B若 ,m n m? ? ，则 n ? C若 , , ,m n m n? ? ? ? ，则 ? D若 ,m m n? ? ? ? I，则 mn 5 已知实数 ,xy满足 1,2 0,2 1,xyxxy?则目标函数 2z x y?
3、的最大值等于（ ） A -7 B 52? C 2 D 3 6如图所示，函数 3 ta n 26yx?的部分图象与坐标轴分别交于点 ,DEF ，则 DEF?的面积等于（ ） - 2 - A 4? B 2? C ? D 2? 7已知正方形 ABCD 的边长为 2，对角线相交于点 O ， P 是线段 BC 上一点，则 OPCP?uuur uur 的最小值为（ ） A -2 B 12? C 14? D 2 8函数 ? ? ? ? ?2c o s 2 , 21xxf x xx? ? ?的大致图象是（ ） A B C D 9 ABC? 中， 23B ? ， ,AB是双曲线 E 的左、右焦点，点 C 在 E
4、 上，若? ? 0BA BC AC? ? ?uur uuur uuur，则 E 的离心率为（ ） A 51? B 31? C 312? D 312? 10习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛 .如图，“大衍数列”： 0,2,4,8,12?来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过 程中曾经经历过的两仪数量总和 .下图是求大衍数列前 n 项和的程序框图 .执行该程序框图，输入 10m? ，则输出的 S? （ ） A 100 B 140 C 190 D 250 - 3 - 11若锐角 ? 满足 2sin cos 2?，则函数 ?
5、 ? ? ?2sinf x x ?的单调增区间为（ ） A ? ?52 , 21 2 1 2k k k? ? ? ZB ? ?5 ,1 2 1 2k k k? ? ? ZC ? ?72 , 21 2 1 2k k k? ? ? ZD ? ?7,1 2 1 2k k k? ? ? Z12已知函数 ? ? ? ?22lo g , 0 2 ,lo g 4 , 2 4 ,xxfxxx? ? ? ? ? ?若 ? ? 12f a f a?，则 a 的取值范围是（ ） A 170, 2,22? ? ? ? ? ? ?UB 1 7 70, ,2 4 2? ? ? ? ? ? ?UC 17 1 70, 2,4
6、2? ? ? ? ?UD 17 1 7 70, ,4 4 2? ? ? ? ?U第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） - 4 - 13复数 z 满足 ? ?1 i 2iz?，则 z? 14设等比数列 ?na 满足 1 1a? ， 356aa?，则 5 7 9a a a? ? ? 15直线 ? ?1y k x?与抛物线 2 4yx? 交于 ,AB两点，若 163AB? ，则 k? 16某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17如图，单位圆 O 与 ,
7、xy轴正半轴的交点分别为 ,AD，圆 O 上的点 C 在第一象限 . （ 1）若点 C 的坐标为 31,22?，延长 CD 至点 B ，使得 2DB? ，求 OB 的 长； （ 2）圆 O 上的点 E 在第二象限，若 23EOC ?，求四边形 OCDE 面积的最大值 . 18如图，直角梯形 BDFE 中， EF BD ， BE BD? ， 22EF? ，等 腰梯形 ABCD 中，AB CD ， AC BD? ， 24AB CD?，且平面 BDFE? 平面 ABCD . （ 1）求证： AC? 平面 BDFE ； （ 2）若 BF 与平面 ABCD 所成角为 4? ，求二面角 B DF C?的余
8、弦值 . - 5 - 19数列 ?na 满足1 2 2 3 11 1 1 1nnna a a a a a n? ? ? ? ?L. （ 1）若数列 ?na 为公差大于 0 的等差数列，求 ?na 的通项公式； （ 2）若 ? ? 11 nn n nb a a ? ，求数列 ?nb 的前 2n 项和 2nS . 20已知点 ? ?1 2,0F ?，圆 ? ?2 22 : 2 16F x y? ? ?，点 M 是圆上一动点， 1MF 的垂直平分线与 2MF 交于点 N . （ 1）求点 N 的轨迹方程； （ 2）设点 N 的轨迹为曲线 E ，过点 ? ?0,1P 且斜率不为 0 的直线 l 与 E
9、 交于 ,AB两 点，点 B关于 y 轴的对称点为 B? ，证明直线 AB? 过定点，并求 PAB? 面积的最大值 . 21已知函数 ? ? ? ? ? ?2 xf x a x x a e a? ? ? ? R. （ 1）若 0a? ，函数 ?fx的极 大值为 3e ，求实数 a 的值； （ 2）若对任意的 0a? ， ? ? ? ?ln 1f x b x?在 ? ?0,x? ? 上恒成立，求实数 b 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 cos ,s
10、in ,xy ? ?（ ? 为参数） .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， ,AB为 C 上两点，且 OA OB? ，设射线 :OA? ，其中 0 2? . （ 1）求曲线 C 的极坐标方程； （ 2）求 OA OB? 的最小值 . 23选修 4-5：不等式选讲 - 6 - 函数 ? ? 12f x x x a? ? ? ?. （ 1）当 1a? 时，求证： ? ? 13f x x? ? ?； （ 2）若 ?fx的最小值为 2，求实数 a 的值 . 厦门市 2018 届高三年级第一学期期末质检理科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题 1-5:BCBDC 6-10:ACADC
11、 11、 12： BD 二、填空题 13 2 14 28 15 3? 16 1003? 三、解答题 17解：（ 1）由点 31,22C?在单位圆上，可知 30AOC? ? ? ， 由图象可得 60COD? ? ? ； 在 CDB? 中， 1OD? ， 120CDB? ? ?， 2DB? ； 由余弦定理得 2 2 2 2 c o s 1 2 0O B O D D B O D D B? ? ? ? ? ?； 解得 7OB? ； （ 2）设62C O D ? ? ? ?， 23DOE ? ? ? ? - 7 - 1 sin2CODS ? ? ， 12sin23EO DS ? ? ? 四边形 OCDE
12、 的面积 ? ? 1 1 2s i n s i n2 2 3 6 2E O D C O DS S S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 3 1 3 3s i n c o s s i n s i n c o s2 2 2 4 4? ? ? ? ? ? ? ? ?3 sin26? 62? ， 23 6 3? ? ? ? ? ； 当 62?，即 3? 时，四边形 OCDE 的面积 S 的最大值为 32 . 18证明：（ 1）平面 BDFE? 平面 ABCD ， BE BD? ，平面 BDFEI 平面 ABCD BD? BE? 平面 ABCD ，
13、 又 AC? 平面 ABCD ， AC BE? ， 又 AC BD? ，且 BE BD B?I ， AC? 平面 BDFE . 解：（ 2）设 AC BD O?I ，四边形 ABCD 为等腰梯形， 2DOC ?， 24AB CD?， 2OD OC?， 22OB OA?， FE OB ，四边形 BOFE 为平行四边形， OF BE ， 又 BE? 平面 ABCD ， OF? 平面 ABCD ， FBO? 为 BF 与平面 ABCD 所成的角， 4FBO ?， 又 2FOB ?， 22OF OB? 以 O 为原点， OA 为 x 轴， OB 为 y 轴， OF 为 z 轴，建立空间直角坐标系， -
14、 8 - 则 ? ?0,2 2,0B ， ? ?0, 2,0D ? ， ? ?0,0,2 2F ， ? ?2,0,0C ? ， ? ?2 2,0,0A ? ?0, 2,2 2DF ?uuur ， ? ?2, 2,0CD ?uuur ， AC? 平面 BDFE ，平面 BDF 的法向量为 ? ?1,0,0 ， 设平面 DFC 的一个法向量为 ? ?,n x y z?r ， 由 0,0,DF nCD n? ?uuur ruuur r 得 2 2 2 0,2 2 0,yzxy? ? ? 令 2x? 得， ? ?2,2, 1n?r ， 2 2 222c o s , 31 2 2 1n A C ? ?
15、?r uuur . 二面角 B DF C?的余弦值为 23 . 19解：（ 1）由已知：1 2 2 3 11 1 1 1nnna a a a a a n? ? ? ? ?L当 1n? 时，12112aa? ，即 122aa? 当 2n? 时，1 2 2 31 1 23a a a a? -，得23116aa? ；即 236aa? 设等差数列 ?na 公差为 d ，由 122326aaaa? ?， 有 ? ? ?222226a d aa d a?- 9 - 因为 0d? ，解得 2 21ad? ?， 则 ? ?2 2na a n d n? ? ? ? （ 2）由已知：1 2 2 3 11 1 1
16、1nnna a a a a a n? ? ? ? ?L 当 2n? 时，1 2 2 3 11 1 1 1nnna a a a a a n? ? ? ?L -得：当 2n? 时，11 1nnna a n? ? ?，即 ? ?1 1nna a n n? ? ? ?， 结合 122aa? ，得： ? ? ?1 1nna a n n n? ? ? ? ? *N ? ? ? ? ? ?11 1 1nnn n nb a a n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 1 2 1 2 2 2 1nnb b n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 1 4n n
17、n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 3 4 2 1 2n n nS b b b b b b? ? ? ? ? ? ?L4 8 4n? ? ? ?L ? ? ? ?44 212nn nn? ? ? 20解：（ 1）由已知得： 1NF NM? ，所以 1 2 2 4N F N F M N N F? ? ? ? 又 12 22FF ? ，所以点 N 的轨迹是以 12,FF为焦点，长轴长等于 4 的椭圆， 所以点 N 的轨迹方程是 22142xy?. （ 2）设直线 ? ?: 1 0AB y kx k? ? ?， ? ?11,Ax y ， ? ?22,B x y ，则 ? ?2
18、2,B x y? ? ， 联立直线 AB 与椭圆得 22241xyy kx? ? ?， 得 ? ?221 2 4 2 0k x kx? ? ? ?， - 10 - ? ?212 212 28 1 4 0,4 ,12212kkxxkxxk? ? ? ? ? ? ? 1212AByyk xx? ? ? ，所以直线 ? ?121112:yyA B y y x xxx? ? ? ?， 所以令 0x? ，得 1 2 2 112x y x yy xx? ? ， ? ? ? ?1 2 2 1 121 2 1 211 2 12x k x x k x k x xx x x x? ? ? ? ? ?， 所以直线 AB? 过定点 ? ?0,2Q ， 所以 PAB? 的面积12 2212 1 2P Q B P Q A kS S S x x k? ? ? ? ? ?221 22 kk?，当且仅当 22k? 时，等号成立 . 所以 PAB? 面积的最大值是 22 . 21解：
