1、 - 1 - 2017 2018学年第一学期高三年级期中考试 数学（理科）试卷 一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集 2, 2 0 , 1 U R A x x x B x x? ? ? ? ? ?，则 ()UA C B ? ( ) A (0, )? B.( ,1)? C ( ,2)? D（ 0,1） 2. 已知 i 是虚数单位，则 21ii?( ) A 1 B 22 C 2 D 2 3. 等差数列 ?na 中， 1 3 52, 10a a a? ? ?，则 7a? （） A 4 B 6 C 8 D 1
2、0 4.某校高考数学成绩 ? 近似地服从正态分布 2(100,5 )N ，且 ( 110) 0.96P ? ?， 则 (90 100)P ? 的值为 A.0.49 B.0.48 C.0.47 D.0.46 5.中国古代数学名著九章算术卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四 丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为 A 3795000立方尺 B 2024000立方尺 C. 632500立方尺 D 1897500立方尺 6.如果实数 ,xy满足条件 1010
3、10xyyxy? ? ? ? ?，那么 2xy? 的最大值为（） A 2 B 1 C -2 D -3 7.某程序框图所示，该程序运行后输出的 x 值是（） A. 3 B.4 C.6 D.8 - 2 - 8向量 a ,b 均为非零向量， bababa ? ? )2(,)2( ，则 a ,b 的夹角为 A 3? B 2? C 23? D 56? 9 某企业有 4个分厂，现有新培训的 6名技术人员，将这 6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少 1人，则不同的分配方案种数为 （） A 1080 B 480 C 1560 D 300 10.在三棱柱 1 1 1ABC ABC?中，侧棱垂直于底面，底面
4、是边长为 2的正三角形，侧棱长为 3，则 1BB与平面 11ABC所成的角为（） A. 6?B. 4?C. 3?D. 2?11.已知双曲线 )0,0(1a2222 ? babyx 右支上非顶点的一点 A关于原点 O 的对称点为 B ，F 为其右焦点，若 AF FB? ，设 ABF ?，且 ( , )12 4? ，则双曲线 C 离心率的取值范围是 A. ?( 2,2 B.(1, 2? C.( 2, )? D.(2, )? 12.已知 ?fx是定义在 R 上的函数，且满足 ? ?40f ? ；曲线 ? ?1y f x?关于点 ? ?1,0?对称；当 ? ?4,0x? 时 ? ?2lo g 1xxx
5、f x e me? ? ? ?，若 ? ?y f x? 在 ? ?4,4x? 上有 5个零点，则实数 m 的取值范围为（） A. ?43 ,1e? B. ? ? ?423 ,1ee? C. ? ? ? ?20,1 e? ? D. ? ?0,1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分。 13.知 ? ? ? ? ? ? ? ?2 3 44 0 1 2 3 4( 2 1 ) 1 1 1 1x a a x a x a x a x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，则 1 2 3 4a a a a? ? ? 的值是 14.在 ABC中， 53si ?nA ，6AB AC?，则 AB
6、C的面积为 . 15.过定点 M 的直线： 1 2 0kx y k? ? ? ?与圆 22( 1) ( 5) 9xy? ? ? ?相切于点 N ，则 MN? 16.对于三次函数 32( ) ( 0 )f x a x b x cx d a? ? ? ? ?，给 出定义：设 ()fx? 是函数 ()y f x? 的导数， ()fx? 是 ()fx? 的导数，若方程 ()fx? =0有实数解 0x ，则称点 00( , ( )x f x 为函数 ()y f x?的“拐点”某同学经过探究发现 ：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数 321 1 5(
7、) 33 2 1 2f x x x x? ? ? ?，请你根据这一- 3 - 发 现 ， 计 算1 2 3 2 0 1 4( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 5 2 0 1 5 2 0 1 5 2 0 1 5f f f f? ? ? ? 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程 或演算步骤。第 1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答。 第 22、 23题为选考题，考生根据要求作答。 17.（ 12 分） 在等差数列 ?na中，公差 0d?， 1 7a?，且2a，5， 10a成等比数列 . 求数列 ?na的通项公式及其前 项和 nS； 若 15nnnb aa? ?，求数
8、列 ?nb的前 项和 nT. 18.水是地球上宝贵的资源，某市政府为了提倡低碳 环保的生活理念鼓励居民节约用水，计划调整居民生 活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 x （吨），一位居民的月用水量不超过 x 的部分按平价 收费，超出 x 的部分按 议价收费为了了解居民用水 情况，通过抽样，获得了某年 100位居民每人的月均 用水量（单位：吨），将数据按照 0,0.5) ， 0.5,1) ， 1,1.5) ，?， 4,4.5) 分成 9组，制成了如图所示的频率分布直方图 （ 1）若全市居民中月均用水量不低于 3吨的人数为 3.6万，试估计全市有多少居民？并说明理由； （ 2）若该市政府拟
9、采取分层抽样的方法在用水量吨数为 1,1.5) 和 1.5,2) 之间选取 7户居民作为议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这 7户家庭中按抽签方式选出 4 户颁发“低碳环保家庭”奖，设 X 为用水量吨数在 1,1.5) 中的获奖的家庭数， Y 为用水量吨数在 1.5,2) 中的获奖家庭数，记随机变量 |Z X Y?，求 Z 的分布列和数学期望 19.（ 12分） 如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD是等腰梯形， AB CD， AB 2， BCCD 1，顶点 D1在底面 ABCD内的射影恰为点 C (1)求证： AD1 BC； (2)若直线 DD1与直线 AB 所成的角
10、为 3，求平面 ABC1D1与平面 ABCD所成角 (锐角 )的余弦值 20.（ 12 分） 已知动圆 M过定点 E（ 2， 0），且在 y轴上截得的弦 PQ 的长为 4 （ 1）求动圆圆心 M的轨迹 C的方程； （ 2）设 A， B是轨迹 C 上的两点， 且 ， F（ 1， 0）， 记 S=S OFA+S OAB， 求 S的最小值 - 4 - 21.（ 12 分） 已知函数 ? ? ? ?Raaxxaxxxf ? 22ln 在其定义域内有两个不同的极值点 . （ 1）求 a 的取值范围； （ 2）记两极值点分别为 ., 2121 xxxx ?且 已知 0? ，若不等式 1 12e x x?
11、? 恒成立，求 ? 的范围 . 选考题：共 10分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 （ 10分） 已知曲线 C 的参数方程为 1 5 cos2 5 sinxy? ?(? 为参数 )，以直角坐标系原点 O 为 极点， x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系 . （）求曲线 C 的极坐标方程； （）设12: , :63ll?，若 12ll、 与曲线 C 相交于异于原点的两点 AB、 ， 求 AOB? 的面积 . 23. 选修 4-5：不等式选讲 （ 10分）已知函数 ( ) 2 2 ( )f x x x m x R? ? ? ? ? ?. （ 1）若
12、1m? ，求不等式 ( ) 0fx? 的解集； （ 2）若方程 ()f x x? 有三个实数根，求实数 m 的取值范围 . - 5 - 民乐一中 2017 2018学年第一学期高三年级期中考试 数学（理科）试卷参考答案 一、 选择题 .CDCDD BDACA CB 二、 填空题 13. 0 14. 49 15. 4 16. 2014 三、 解答题 17由 2 5 10 a a a， ，成等比数列 ? ?7 d? ? ? ?27 9 7 4dd? ? ?2d 25nan? ? ? 27 2 5 62n nnS n n? ? ?；由可得 ? ? ? ?5 5 1 12 5 2 7 2 2 5 2
13、7nb n n n n? ? ? ? ? ? ?5 1 1 1 1 1 1 52 7 9 9 1 1 2 5 2 7 1 4 4 9n nT n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +. 18. 解：（ 1）由图，不低于 3吨人数所占百分 比为 0 .5 ( 0 .1 2 0 .0 8 0 .0 4 ) 1 2 %? ? ? ?， 所以假设全市的人数为 x （万人），则有 0.12 3.6x? ，解得 30x? ，所以估计全 市人数为 30 万 （ 2）由概率统计相关知识，各组频率之和 的值为 1，因为频率 ? ?频 率 组 距组 距， 所以 0 . 5 ( 0 . 0 8 0 .
14、1 6 0 . 4 0 . 5 2 0 . 1 2 0 . 0 8 0 . 0 4 2 ) 1a? ? ? ? ? ? ? ? ?，得 0.3a? ， 用水量在 ? ?1,1.5 之间的户数为 100 0.3 0.5 15? ? ?户，而用水量在 ? ?1.5,2 吨之间的户数为100 0.4 0.5 20? ? ?户，根据分层抽样的方法，总共需要抽取 7户居民，所以用水量在 ? ?1,1.5之间应抽取的户数为 715 335?户，而用水量在 ? ?1.5,2 吨之间的户数为 720 435?户 据题意可知随机变量 Z 的取值为 0,2,4 ? ? ? ?35182,20 37 2423 ?
15、C CCYXPZP， ? ? ? ? ? ? 35161,33,12 37 14333413 ? C CCCCYXPYXPZP ， 043437 1( 4 ) ( 0 , 4 ) 35CCP Z P X Y C? ? ? ? ? ?， 其分布列为： Z 0 2 4 - 6 - P 1835 1635 135 期望为： 1 8 1 6 1 3 5( ) 0 2 43 5 3 5 3 5 3 6EZ ? ? ? ? ? ? ? 19. (1)证明：连接 D1C，则 D1C平面 ABCD， D1C BC 在等腰梯形 ABCD中，连接 AC， AB 2， BC CD 1， AB CD， BC AC，
16、BC平面 AD1C， AD1 BC (2)由 (1)知 AC、 BC、 D1C两两垂直， AB CD， D1DC 3， CD 1， D1C 3在等腰梯形 ABCD中， AB 2， BC CD 1， AB CD， AC 3，建立如图所示的空间直角坐标系，则 C(0,0,0)， A( 3， 0,0)， B(0,1,0)， D1(0,0， 3)，设平面 ABC1D1的法向量为 n (x， y， z)，由? n AB 0，n AD1 0得 ? y 3x 0，z x 0， 可得平面 ABC1D1的一个法向量为 n (1， 3， 1)又 CD1 (0,0， 3)为平面 ABCD的一个法向量因此 cos C
17、D1 ， n CD1 n|CD1 |n| 55 ，平面 ABC1D1与平面 ABCD所成角 (锐角 )的余弦值为 55 20.解：（ 1）设 M（ x， y）， PQ 的中点 N，连 MN，则： |PN|=2， MN PQ， |MN|2+|PN|2=|PM|2又 |PM|=|EM|， |MN|2+|PN|2=|EM|2 x2+4=（ x 2） 2+y，整理得 y2=4x （ 2）设 ， ，不失一般性，令 y1 0，则 ， ， ，解得 y1y2= 8 直线 AB 的 方 程 为 ：，（ y1 y2）， 即 ，令 y=0得 x=2，即直线 AB恒过定点 E（ 2， 0）， 当 y1= y2时， AB x轴， ， - 7 - 直线 AB 也经过点 E（ 2， 0） 由可得 ， S= = 当且仅当 ，即 时， 21.(I )依题意得函数 )(xf 得定义域为 (0,+? )，所以方程 0)( ?xf 在 (0,+? )有两个不同的根， 即方程 0ln ?a
