1、 1 广东省深圳市宝安区 2017届高三数学上学期期中试题 理 一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 1.已知全集 R ，集合 ? ? ? ?023|,12| 2 ? xxxBxA x ，则 ? BCA R （ ） A.? ?0| ?xx B.? ?21| ?xx C.? ?210| ? xxx 或 D.? ?210| ? xxx 或 2 若复数 z满足（ 1+i） z=（ 3+i） i，则 |z|=（ ） A B C D 3 二项展开式（ 2x ） 6中，常数项为（ ） A 240 B 240 C 15 D不存在
2、4 已知函数 f（ x） =Asin（ x + ）（ A 0， | | ）的部分图象如图，则 f（ ） =（ ） A B C D 5直线 y= 4x与曲线 y=x2围成的封闭区域面 积为 ( ) A 223 B 8 C 323 D 163 6函数 f（ x） =lnx x2的单调减区间是（ ） A（ ， B（ 0， C 1， + ） D ， + ） 7. 方程 lg 8 2xx? 的根 ( , 1)x k k?， kZ? ，则 k? （ ） A 2 B 3 C 4 D 5 8.函数 ? ? xxxf ln|1 ? 的图像大致为（ ） 2 9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A
3、 12 B 18 C 24 D 30 10已知函数 ( ) c o s 2 2 sin c o sf x x x x?，则下列说法正确的个数 ( ) ?fx的图象关于直线 58x ? 对称 ?fx的图象关于点（ 38? ， 0）对称 若 12( ) ( )f x f x? ，则 12 ,x x k k Z? ? ? ?fx的图象向右平移 4? 个单位长度后得 ( ) 2 sin(2 )4g x x ? A.1 B.2 C.3 D.4 11 在 ABC中内角 A， B， C的对边分别是 a， b, c ，若 3 ,a b cba? ， sinC=2 3 sinB， 则 tanA=( ) A 3
4、B 1 C 33 D. 3 12 设 函数 2 20( )=ln( 1) 0x x xfx xx? ? ? ?，若 ()f x ax? ，则实数 a 的取值范围是（ ） A.? ?0?， B. ? ?1?， C.? ?2,1? D. ? ?2,0? 二、填空题 (本题共 4小题，每小题 5分，共 20分 ) 13若 tan( ? + )= ，则 tan（ ） = 3 14.已知 2255352 3 2( ) , ( ) , lo g , , ,5 5 5a b c a b c? ? ? 则的 大小关系是 _ 15已知 f(x)是定义在 R上的奇函数 ,且当 0x? 时 , ( ) 2xfx?
5、,则 4(log 9)f 的值为 _ 16数列 an满足 an+1+（ 1） n an=2n 1，则 an的 80项和为 三、解答题：本大题共 6小题，满分 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 12分） 已知函数 f (x) sin( x ) ( 0， 0 )，其图像经过点 M? ?3， 12 ，且与 x 轴 两 个 相 邻 的 交 点 的 距 离 为 （ 1） 求 f (x)的解析式； （ 2）在 ABC中， a 13， f (A) 35， f (B) 513，求 ABC的面积 18（本小题满分 12分）设 Sn是数列 an的前 n项和， an 0，且 )3(
6、61n ? nn aaS （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）设 ， Tn=b1+b2+ +bn，求证： 19（本小题满分 12分）广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征 .2015年某高校社会实践小组对某小区跳广场舞的人的年龄进行了凋查，随机抽取了 40 名广场舞者进行调查，将他们年龄分成 6段： 20， 30）， 30， 40），40， 50）， 50， 60）， 60， 70）， 70， 80后得到如图所示的频率分布直方图 （ 1）估计在 40名广场舞者中年龄分布在 40， 70）的人数； （ 2）求 40名广场 舞者
7、年龄的中位数和平均数的估计值； （ 3）若从年龄在 20， 40）中的广场舞者中任取 2名，求这两名广场舞者年龄在 30， 40）中的人数X 的分布列及数学期望 4 20（本小题满分 12分）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱）中， BC=CC1=1，AC=2， ABC=90 （ 1）求证：平面 ABC1 平面 A1B1C； （ 2）设 D为 AC的中点，求平面 ABC1与平面 C1BD 所成锐角的余弦值 21.（本小题满分 12分） 已知函数( ) lnf x x x?，2( ) 3g x x ax? ? ? ?（ 1）求函数()fx的最小值； （ 2）若存
8、在1 , xee?，使不等式2 ( ) ( )f x g x?成立，求实数a的取值 范围 选做题：请考生在 22、 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22.（本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 直线 4,: ( ) , : 2 2 c o s ( )12 4x a tl t Cyt ? ? ? ? ? 为 参 数 圆（ 1）求圆心 C到直线 l 的距离； （ 2）若直线 l 被圆 C截的弦长为 65,5 a求 的值。 23.（本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 5 设 ( ) | 2 | | 2 1 |f x x x m? ? ? ? ? （）当
9、5m? 时，解不等式 ( ) 0fx? ； （）若 3()2fx? 对任意 xR? 恒成立，求实数 m 的取值范围 6 1-12: CCABCDBBCACD 13. 14. abc ; 15. 13? , 16: 3240 17.解：（ 1）依题意知， T 2 ， 1， f (x) sin(x ) f (3) sin(3 ) 12，且 0 3 3 43 3 56 即 2 f (x) sin? ?x 2 cosx 6分 （ 2） f (A) cosA 35， f (B) cosB 513， A,B (0,2) sinA 45， sinB 1213 8 分 sinC sin(A B) sinAco
10、sB cosAsinB 5665 10 分 在 ABC 中 asinA bsinB b 15. 12 分 S ABC 12absinC 12 13 15 5665 84 14 分 18.【解 答】 （ 1）解： ， Sn 1= an 1（ an 1+3）， an= +3an（ +3an 1） ， 整理得： =3（ an+an 1）， 又 an 0， an an 1=3， 又 a1= a1（ a1+3），即 a1=3 或 a1=0（舍）， 数列 an是首项、公差均为 3的等差数列， 其通项公式 an=3n； （ 2）证明：由（ 1）可知 = = （ ）， Tn=b1+b2+ +bn = （ +
11、+ + ） = （ ） 7 19.【解答】 解：（ 1）由频率分布直方图得年龄分布在 40， 70）的频 率为（ 0.020+0.030+0.025） 10=0.75， 在 40名广场舞者中年 龄分布在 40， 70）的人数为： 40 0.75=30（人） （ 2）年龄分布在 20， 50）的频率为（ 0.005+0.010+0.020） 10=0.35， 年龄分布在 50， 60）的频率为 0.3， 中位数为： 50+ =55 平均数的估计值为： 25 0.05+35 0.1+45 0.2+55 0.3+65 0.25+75 0.1=54 （ 3）从年龄在 20， 40）中的广场舞者有（ 0
12、.005+0.010） 10 40=6人， 其中年龄在 20， 30）中的广场舞者有 2人，年龄在 30， 40）中的广场舞者 有 4人， X的可能取值为 0， 1， 2， P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， X的分布列为： X 0 1 2 P EX= = 20.【解答】 证明：（ 1） 直三棱柱 ABC A1B1C1， BC=CC1， 四边形 BCC1B1是正方形， BC1 B1C， AB BC， AB BB1， BC， BB1?平面 BCC1B1， BCBB 1=B， AB 平面 BCC1B1， BC1?平面 BCC1B1， AB BC1，又
13、 AB A1B1， A1B1 BC1，又 A1B1?平面平 面 A1B1C， B1C?平面 A1B1C， A1B1B 1C=B1， BC1 平面 A1B1C，又 BC1?平面 ABC1， 平面 ABC1 平面 A1B1C （ 2） BC=CC1=1， AC=2， ABC=90 AB= ， 建立以 B 为坐标原点， BC， BA， BB1分别为 x， y， z轴的空间直角坐标系如图： 8 则 B（ 0， 0， 0）， C（ 1， 0， 0）， B1（ 0， 0， 1）， A（ 0， ， 0）， C1（ 1， 0， 1）， D（ ， ， 0）， 设平面 ABC1的法向量为 =（ x， y， z），
14、 则 =（ 1， 0， 1）， =（ 0， ， 0）， 则 ? =x+z=0， ? = y=0， 令 x=1，则 z= 1， y=0，即平面 ABC1的法向量为， =（ 1， 0， 1）， 设平面 C1BD 的法向量为 =（ x， y， z）， 则 =（ 1， 0， 1）， =（ ， ， 0）， 则 ? =x+z=0， ? = x+ y=0， 令 y=1，则 x= ， z= ，即平面 C1BD的法向量为， =（ ， 1， ）， 则 = = = = 则平面 ABC1与平面 C1BD 所成 锐角的余弦值是 21.解： （ 1） 易知，()fx定义域为(0, )?，且( ) ln 1f x x?，
15、当1(0, )x e?时，( ) 0?，此时 单调递减， 当1( , )e ?时， ?，此时 单调递增。所以m in 11( ) ( )f x f ee? ? ?； 5分 （ 2）由题意知22 ln 3x x x ax? ? ? ? ?，即32lna x x x? ? ?， 设3( ) 2 ln ( 0)h x x xx? ? ? ?，则 222 3 ( 3 ) ( 1 )( ) 1 xxhx x? ? ? ?当1 ,1)x e?时，( ) 0hx?，此时()fx单调递减；当(1, xe?时，( ) 0hx?，此时()fx单调递增。 所以m a x 1( ) m a x ( ), ( )x h
16、 h ee?，因为存在1 , e?使不等式2 ( ) ( )f x g x?成立， 所以max()a h x?，又1 1 3( ) 2 3 , ( ) 2h e h e ee e e? ? ? ? ? ? ?，故1) ( )h h ee ?所以32ae? ? ?。 .12 分 22、解 （ 1）把? ? ? ty tax 21 4化为普通方程为 ,022 ? ayx 2分 9 把 )4cos(22 ? ? 化为直角坐标系中的方程为 ,02222 ? yxyx 4分 ? 圆心 (1, 1)C ? 到直线的距离为 5 |1|5 a? 5分 （ 2）由已知 圆的半径为 2 ， 弦长 的一半 为 35 7分 所以， ? ?22 213 255a? ? ? ?
