1、 - 1 - 河北省邯郸市 2017 届高三数学上学期期末教学质量检测试题 理 第卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.若复数 z 满足 341izii? ? ?， 则 z 等于（ ） A 7i? B 7i? C 77i? D 77i? 2.设集合 ? ? ? ? ? ? ?1 4 0 , 0 3A x x x B x x? ? ? ? ? ? ?，则 AB等于（ ） A ? ?0,4 B ? ?4,9 C ? ?1,4? D ? ?1,9? 3. 若 tan 4sin420?
2、?，则 ? ?tan 60?的值为（ ） A 35?B 335C. 37D 3194.已知 nS 为数 列 ?na 的前 n 项和，若 1 3a? 且 1 2nnSS? ? ，则 4a 等于（ ） A 6 B 12 C. 16 D 24 5. 直线 2yb? 与双曲线 ? ?22 1 0, 0xy abab? ? ? ?的左支、 右支分别交于 BC、 两点， O 为坐标原点，且 AOB? 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A 52B 32C. 305D 3556.若函数 ? ? ? ?20.2log 5 4f x x x? ? ?在区间 ? ?1, 1aa?上递减，且 0.2lg0
3、.2, 2bc?，则（ ） A c b a? B b c a? C. abc? D bac? 7.若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n ，则记为 ? ?modN n m? ，例如 ? ?10 2 mod4? .下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理 .执行该程序框图，则输出的 i 等于（ ） A 4 B 8 C. 16 D 32 - 2 - 8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 6 B 9 C. 12 D 18 9.设 ,xy满足约束条件 2 6 0,1 0,1 0,xyxyx? ? ? ? ?若 ? ?2,9a? ， 则 z ax y?仅在点 74,
4、34?处取得最大值的概率为（ ） A 911B 711C. 611D 51110.已知抛物线 ? ?2: 2 0 4C y px p? ? ?的焦 点为 F ，点 P 为 C 上一动点， ? ? ? ?4,0 , , 2A B p p，且 PA 的最小值为 15 ，则等于（ ） A 4 B 72 C. 5 D 92 11.已知 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 s i n 3 c o s , 2 c o s ,6 f x g xa f x a x a x g x x h x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ，这 3 个函数在同一直角坐标系中的部分图象如下图所示，则函数 ?
5、? ? ?g x h x? 的图象的一条对称轴方程可以为（ ） A6x ?B 136x ?C. 2312x ?D 2912x ?- 3 - 12.已知函数 ? ? 3 , 1,2, 1,x x xfx xx? ? ? ?若关于 x 的方程 ? ? ?=f f x a 存在 2 个实数根，则 a 的取值范围为（ ） A ? ?24,0? B ? ? ? ?, 24 0,2? ? C. ? ?24,3? D ? ? ? ?, 24 0,2? ? 第卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. ? ?51xx? 的展开式中 2x 的系数为 14.随机掷一
6、枚质地均匀的骰子，记向上的点数为 m ，已知向量 ? ? ? ?,1 , 2 , 4A B m B C m? ? ? ?，设X AB AC?，则 X 的数学期望 ? ?EX? 15.在公差大于 1 的等差数列 ?na 中，已知 21 2 3 1064, 36a a a a? ? ? ?，则数列 ?na的前 20 项和为 16.已知四面体 ABCD 的每个顶点都在球 O 的表面上， 5, 8AB AC BC? ? ?,AD? 底面 ABC ，G 为 ABC? 的重心，且直线 DG 与底面 ABC 所成角的正切值为 12 ，则球 O 的表面积为 三、解答题 （ 本大题共 6 小题，共 70 分 .
7、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. （本小题满分 10 分） 在 ABC? 中，内角 A B C、 、 的对边分别是 a b c、 、 ，已知 2 2 22 sin sin sinA B C?. （ 1）若 24ba?，求 ABC? 的面积； （ 2）求 2cab的最小值，并确定此时 ca 的值 . 18. （本小题满分 12 分） 已知某企业近 3 年的前 7 个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示： （ 1）试问这 3 年的前 7 个月中哪个月的平均利润最高？ （ 2）通过计算判断这 3 年的前 7 个月的总利润的发展趋势； - 4 - （ 3） 试以第 3 年的
8、前 4 个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测 第 3 年 8 月份的利润 . 相关公式： ? ? ? ? ?112 2211,nni i i iiinnii iix x y y x y n x yb a y b xx n xxx? ? ? ? ? ? ? ?. 19. （本小题满分 12 分） 已知数列 ?na 的前 n 项 和 2nS n pn? ，且 2 5 10,a a a 成等比数列 . （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）若 214 24 10nnnnnb aa? ? ，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT . 20. （本小题满分 12 分） 四棱锥 P ABC
9、D? 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAB? 平面 ABCD ， 32AB AP AD PB? ? ? ?， ， E为线段 AB 上一点，且 : 72AE EB? ： ，点 F G M、 、 分别为线段 PA PD BC、 、 的中点 . （ 1）求证： PE? 平面 ABCD ； （ 2）若平面 EFG 与直线 CD 交于点 N ，求二面角 P MN A?的余弦值 . 21. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 ? ?22: 1 1xyC a bab? ? ? ?的焦距为 2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为 43?，过椭圆 C 的右焦点作斜率为 ? ?0kk? 的直线 l 与椭圆
10、 C 相交于 AB、 两点，线段 AB 的中点为 P . - 5 - （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）过点 P 垂直于 AB 的直线与 x 轴交于点 D ，且 327DP? ，求 k 的值 . 22. （本小题满分 12 分） 已知函数 ? ? ? ? ? ? ?2 ln ln 1f x a x x x x a R? ? ? ? ?. （ 1）若 2 lnax x? ，求证： ? ? 2 ln 1f x ax x? ? ?； （ 2）若 ? ? ? ? 20 0 0 0 00 , , 1 ln lnx f x x x x? ? ? ? ? ? ?，求 a 的最大值； （ 3）求证：当
11、 12x?时， ? ? ? ?2f x ax ax?. - 6 - 试卷答案 一、选择题 1.A ? ? ? ?1 3 4 17 7ii iziii? ? ? ? ?. 2.A ? ? ? ?1 4 0 9A x x B x x? ? ? ? ? ? ? ?, ? ?04A B x x? ? ?. 3.C tan 4 sin 60 2 3? ? ? ?， ? ? 2 3 3 3ta n 6 071 2 3 3? ? ? ? ?. 4.B 212SS? ， 1 2 12a a a? ， 123aa?， 132nnS ? ， 4 4 3 12a S S? ? ? . 5.B 由 ABC? 为等腰直
12、角三角形得， 45ABO? ? ? ， 1OBk ? .联立 2yb? 与 221xyab?得5xa? , 点 B 的坐标为 ? ?5 ,2ab，则 52ab? ， 222 5311 22be a ? ? ? ? ?6.D 结合复合函数的单调性可得 ? ? ? ?20 . 2l o g 5 4f x x x? ? ?的 递 减 区 间 为 ? ?1,2? ，1 1, 1 2aa? ? ? ? ?， 01a?， 又 0 .2 0lg 0 .2 0 , 2 2 1bc? ? ? ? ?， bac?. 7.C ? ? ? ? ? ? ? ?2 , 1 3 , 1 m o d 3 ; 4 , 1 7
13、, 2 m o d 3 , 2 m o d 5 ; 8 , 2 5 , 1 m o d 3 ;i n n i n n n i n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 6 , 4 1 , 2 m o d 3 , 1 m o d 5i n n n? ? ? ?， 则 输出 16i? . 8.B 该几何体是一个直三棱柱切去右上方 14 部分所得，如下图所示，其体积为 31 3 4 2=942? ? ? ? . 9.B 作出不等式组表示的可行域，可知点 7433?，为直线 2 6 0xy? ? ? 与 10xy? ? ? 的交点，所以数形结合可 得直线 z ax y?的斜率 2
14、a? ? ， 即 2a? .故由几何概型可得所求概率 为? ?9 2 79 2 11? ? . 10.D 设 ? ? ?2, 0 , 2P m n m n pm?， - 7 - 则 ? ? ? ?2224 4 2P A m n m p m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 22 2 8 1 6 4 1 6 4m p m m p p? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当 4mp? （ 04p?， 40p?）时， PA 取得最小值 ? ?216 4 15p? ? ? 又 04p?，则 3p? .易知点 B 在抛物线 C 上，则 392 2 2ppBF p? ? ? ?. 11.
15、C ? ? 2 sin3f x a x ?， 由 ? ?max 22f x a?得 1a? ， ? ? 2 sin3f x x ?， ? ? 2 cos 6g x x ?， 由图可知 ,在 3x ? 处没有意义的 是 曲线 ?hx的图象 ,而 ?gx的图象在,02?上 的第一个最高点为 ,26?,从而 , ?gx的图象为在 ,02?上先增后减的曲线 ,剩下的那条曲线就是 ?fx的图象 . 1 1 22 2 3 6 2T ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 2? , ? ? ? ?2 s i n 2 , 2 s i n 23 6 3f x x h x x x k? ? ? ? ? ? ? ?
16、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? 52 2 s i n 2 2 s i n6 4 1 2g x h x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 令 ? ?5 =+1 2 2 1 2x k x k k Z? ? ? ? ? ? ? 故选 C. 12.B 设 ? ? ? ? ? ? ? 33+ 4 , 1 ,2 2 , 1 1 ,2 , 1 ,xxg x f f x x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当 1x? 时， ?gx递增， ? ? ? ?,3gx? ? 当 11x? ? ? 时，
17、 ? ? ? ?21 3 2 0g x x? ? ? ? ?， ?gx递减， ? ? ? ?24,0gx? . 当 1x? 时， ? ? 21 3 0g x x? ? ? ?， ?gx递减， ? ? ? ?,2gx? ? . 作出 ?gx的图象，由图可知，当 ? ? ? ? ? ? ?, 2 4 0 , 2 ,a f f x a? ? ? ? ?存在 2 个实数根 . - 8 - 13. 10? ? ?51xx? 的展开式中 2x 的项为 ? ?3225 10xC x x? ? ?. 14. 4 ? ?2, 3A C A B B C? ? ? ?， 23X AB AC m? ? ? ?， X
18、的分布列为 ? ? ? ?1 1 1 3 5 7 9 46EX ? ? ? ? ? ? ? ?. 15.812 2 5 10 53 =36a a a a? ? ? ， 5 12a? . 21=64a ， 1 8a? . 当 1 8, 1ad?，不合题意 .当 1 8, 5 1ad? ? ?， 5 13nan?. 故数列 ? ?na 的前 20 项和为 ? ?7 8 7 1 78 3 2 8 1 22? ? ? ?. 16.6349? 取 BC 的中点 E ，连接 AE ，则 22222 5 4 2333A G A E A E? ? ? ? ? ?，因为 AD?底面 ABC ，所以直线 DG 与
19、底面 ABC 所成角为 AGD? ，则 1tan 2ADAGD AG? ? ?，所以1AD? ，设 ABC? 外接圆的半径为 r ，则 5 2 523s in 65ABrrA C B? ? ? ?， 所 以222 6342 3 4ADO D r? ? ?，从而球 O 的表面积为 2 6344 9OD ? ?. 17.（ 1）由正弦定理可得 2 2 22a b c?， 24ba?， 26c? ， 由余弦定理可得 1cos4C?， 15sin4C?， ABC? 的面积为 1 sin 152ab C ?. （ 2） 2 2 2 2 22 2 2 2 2a b c a b a b? ? ? ?， - 9 - 2 22cab? ，当且仅当 222ab? ，即 2ba? 时取等号， 此时 222 2 4c ab a?，即 2ca? ， 故 2cab 的最小值为 22，此时 2ca? . 18.解 ： (1)由折线图可
