1、 - 1 - 2017学年度高三年级第一学期期中考试数学试卷（文科） 1 设集合 ， ，且 ，则满足条件的实数 的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 . 2 已知复数 12,zz在复平面内对应的点分 别为 ? ?1,1 和 ? ?2, 1? ，则 21zz? （ ） A. 1322i?B. 1322i?C. 1322i?D. 1322i?3 已知等比数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且1 3 2 455,42a a a a? ? ? ?则 q ? A. 12B. 2 C. 4 D. 144 下列说法中错误的是（ ） A. 若命题 2: , 1 0p x R x
2、x? ? ? ? ?，则 2: , 1 0p x R x x? ? ? ? ? ? B. “ 1x? ”是“ 2 3 2 0xx? ? ? ”的充分不必要条件 C. 命题 “ 若 2 3 2 0, 1x x x? ? ? ?则” 的逆否命题为 :“ 若 1x? ，则 2 32xx? ? ? 0” D. 若 pq? 为假命题，则 ,pq均为假命题 5 函数 ? ?y f x? 在 ? ?0,3 上是增函数，函数 ? ?3y f x?为偶函数，则有（ ） A. ? ? ? ?7322f f f?B. ? ? ? ?7 322f f f?C. ? ? ? ?7 232f f f?D. ? ? ? ?
3、7232f f f?6 在等差数列 ?na 中， 392 42aa?，则 ?na 的前 13 项和为（ ） A. 91 B. 156 C. 182 D. 246 7.函数 ? ? ? ?1 lnf x x x? 的图象可能为 ( ) A. B. C. D. 8.函数 ? ? ? ?23 xf x x e? 的单调递增区间是（ ） A. ? ?,0? B. ? ?0,? C. ? ?,3? 和 ? ?1,? D. ? ?3,1? 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） - 2 - A. 24? B. 24? C. 20? D. 20? 10.在等比数列 ?na 中，若1 2 3
4、 4 158a a a a? ? ? ?，23 98aa?，则1 2 3 41 1 1 1a a a a? ? ? 等于 A. 35B. 53?C. 35?D. 5311.若曲线 21ln 22y a x x x? ? ?的切线斜率都是正数 ,则实数 a 的取值范围是 A. ? ?1,? B. ? ?1,? C. ? ?0,? D. ? ?0,? 12. 若函数 y=f(x)(x R) 满足 f(x+2)=f(x), 且 x (-1,1 时 f(x)=1-x2, 函数? ? ,0 1, 0lgx xgx x ? ?,则函数 ? ? ? ? ? ?h x f x g x?在区间 -5， 10内零
5、点的个数为 A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 二、填空题： 13 若 ? 为锐角， 25sin 5? ，则 sin4?_ 14.已知奇函数 ?fx满足 ? ? ? ?2,f x f x? ? ? 当 ? ?0,1x? 时 ? ? 2xfx? ,则 ? ?4.5f ? 的值为_ 15 已知函数 ? ? 323 232tf x x x x t? ? ? ?在区间 ? ?0,? 上既有极大值又有极小值，则 t 的取值范围是 _ 16 某公司生产甲、乙两种桶装产品 .已知生产甲产品 1桶需耗 A 原料 1千克、 B 原料 2千克；生产乙产品 1桶需耗 A 原料 2千克， B 原料 1千克
6、 .每桶甲产品的利润是 300元，每桶乙产品的利润是 400元 .公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 AB、 原料都不超过 12千克 .通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是_元 . 三、解答题： 17 已知等差数列 ?na 中， nS 是数列 ?na 的前 n 项和，且 255, 35.as? - 3 - （）求数列 ?na 的通项公式； （）设数列n1nS?的前 n 项和为 nT ，求 nT 18已知函数 ? ? 2 13 s i n c o s c o s 2f x x x x? ? ?. （ 1）求函数 ?fx的对称中心； （ 2）求 ?f
7、x在 ? ?0,? 上的单调增区间 . 19 已知函数 ? ? 32f x x ax bx c? ? ? ? ?在点 ? ?1, 1Pf 处的切线方程为 31yx? ? . （ 1）若函数 ?fx在 2x? 时有极值，求 ?fx的解析式； （ 2）函数 ?fx在区间 ? ?2,0? 上单调递增，求实数 b 的取值范围 . 20 设数列 ?na 的前 n 项积是 nT ，且 ? ?*112 2 2n n n nT T T T n N n? ? ? ?， 1 23a?. （ 1）求证：数列 1nT?是等差数列； （ 2）设 1 2nn nba a? ? ?，求数列 ?nb 的前 n 项和 nS -
8、 4 - 21 设函数 ? ? 21ln2f x a x x x? ? ?（ I） 2a? ，求函数 ?fx的极值； （）讨论函数 ?fx的单调性 . 22 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 1C ： 22134xy?，以平面直角坐标系 xOy 的原点 O为极点， x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系 .已知直线 l ： ? ?2cos sin 6? ? ?. ( )试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 1C 的参数方程； ( )在曲线 1C 上求一点 P ，使点 P 到直线 l 的距离最大，并求出此最大值 . 23. 已知函数 ? ? 1f x x a x? ? ? ?，
9、aR? （ 1）当 3a? 时，求不等式 ? ? 4fx? 的解集； （ 2）若不等式 ? ? 2fx? 的解集为空集，求实数 a 的取值范围 . - 5 - 参考答案 1 C 2 C 3 B 4 D 5 D 6 C 7 A 8 D 9 A 10 B 11 D 12 B 13 1010 14 2? 15 90,8?16 2800元 设分别生产甲乙两种产品为 x 桶， y 桶，利润为 z 元 则根据题意可得 2 1 2 2 1 2 0xyxyx y x y N?， 且 ，目标函数 300 400z x y? ，作出可行域，如图所示 17 （ I） 21nan?， *nN? . （ II） nT?
10、 1nn?. （ I）设等差数列的首项为 1a ，公差为 d ，因为 255, 35.as? 所以 115 545 352adda?得 1 3 2ad? ?数列 ?na 的通项公式是 21nan?， *nN? （ II） 1 3, 2 1na a n? ? ? ? ? ? ?1 23 2 1 222nn n a a n nS n n? ? ? ? ? ? ?, ? ?21 1 1 1 111nS n n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ， 121 1 11 1 1nnT S S S? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 1112 2 3 1 1 1nn n n n? ?
11、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 18（ 1） , 1 ,2 12k kZ? ? ?；（ 2） ?50, , ,36?. （ 1） ? ? 3 1 c os 2 1si n 2 si n 2 12 2 2 6xf x x x ? ? ? ? ? ? ?,令 26xk? ?，得2 12kx ?，故所求对称中心为 , 1 ,2 12k kZ? ? ?. - 6 - （ 2）令 2 2 22 6 2k x k? ? ? ? ? ? ?，解得 ,63k x k k Z? ? ? ? ?.又由于 ? ?0,x ? ，所以 ? ?
12、50, ,36x ?，故所求单调区间为 ?50, , ,36?. 19 (1) f(x) x3 2x2 4x 3(2) 4， ) f (x) 3x2 2ax b，函数 f(x)在 x 1处的切线斜率为 3， 所以 f (1) 3 2a b 3 ，即 2a b 0 ， 又 f(1) 1 a b c 2得 a b c 1. (1)函数 f(x)在 x 2时有极值， 所以 f ( 2) 12 4a b 0， 由解得 a 2， b 4， c 3，所以 f(x) x3 2x2 4x 3. (2)因为函数 f(x)在区间 2， 0上单调递增，所以导函数 f (x) 3x2 bx b在区间 2， 0上的值恒
13、大于或等于零，则 ? ?2 1 2 2 0 00f b bfb? ? ? ? ? ?得 b 4，所以实数 b的取值范围是 4， ) 20 试题解析： 由 1122n n n nT T T T? 112 2 1 1 11 2n n n nT T T T? ? ? ? ? ?1nT? ?数 列是公差 12d? 的 等差数列 （ 2） ? ?n11 1 111T 2 2nnT? ? ? ? ? ? 22nT n? ? ?1 1 22nn nT nanTn? ? ? ? ?， 1 23a?又 符合上式 ? ?*12n na n Nn ? ? ? （未讨论首项扣 1分） ? ? ? ?1 1 2 1 1
14、 12 - 22 1 1 2 1 2nn n nnba a n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 12 3 3 4 1 2nS nn? ? ? ? ? ? ? ?= 2nn? 21 （ I） ? ? ? ? 3=12f x f ?极 大,无极小值；（ II）见解析 . - 7 - ? ? 21a a x xf x xxx? ? ? ? （ I） 2a? ， ? ? ? ? ? ?2 212= xxxxfx ? ? ? 当 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 , 1 , 0 , 1 , , 0 ,x f x f x x f
15、 x f x? ? ? ? ? ?递 增 ； 递 减 ? ? ? ? 3=1 2f x f ?极 大 ,无极小值 （ II）设 ? ? 2 , 1 4g x a x x a? ? ? ? ? ? 若 ? ? ? ? ? ? ? ?1 , 0 , 0 , 0 , 0 ,4a g x f x f x? ? ? ? ? ? ? ? ?在若 14a?， ? ?121 1 4 1 1 40 , 0 ,22aag x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?当 1 04 a? ? ?， 2 0x? ， ? ? ? ? ? ? 0 , 0 ,f x f x? ? ?在 上 递 减 当 0a? ， 2 0x?
16、 ，函数 ? ? 1 1 4 1 + 1 + 4 a0 , ,22afx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在 上 递 增 ， 在 上 递 减 。22 (1) 512C ? (2) ? ?6,12bc? （）由正弦定理， 326s in 22s in 62bAB a ? ? ? 又 ba? ， BA? 4B ? ? ? 512C A B ? ? ? ? （）由正弦定理得， s i n s i n4 3 s i n , 4 3 s i ns i n s i na B a Cb B c CAA? ? ? ? 4 3 s in 4 3 s inb c B C? ? ?
17、 24 3 s i n 4 3 s i n3BB? ? ?12sin 6B ? 20 3B ? 56 6 6B? ? ? ? ? 1 sin 126B ? ? ? 6 1 2 s in 1 26B ? ? ? 故 bc? 的取值范围为 ? ?6,12 。 23 (1) 2 6 0xy? ? ? ， 1C 的参数方程为 3 2x cosy sin?（ ? 为参数）；（ 2）m ax 46 255d ?. 试题解析： (1)由题意知，直线 l 的直角坐标方程为： 2 6 0xy? ? ? ， 曲线 1C 的参数方程 为 3 2x cosy sin?（ ? 为参数） - 8 - （ 2）设点 P 的坐标 ? ?3cos , 2sin?，则点 P 到直线 l 的距离为 4 s i n 62 3 c o s 2 s i n 6 355d? ? ?， 当 sin 13? ? ? ?时，点 3,12P?，此时m ax 46 255d ?.
