1、 - 1 - 洛阳市 2016 2017 学年高中三年级第一次统一 考试 数学试卷（理科） 第卷（选择题 ,共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 . 1.已知 i 为虚数单位，若实数 ,ab满足 ? ? 1a bi i i? ? ? ，则 abi? 的模为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 2.已知集合 ? ? ? ? ?| 1 0 , | 1xA x x x B x e? ? ? ? ?，则 ? ?RC A B? A. ? ?1,? B. ? ?0,? C. ? ?0,1 D.? ?0,1
2、 3.已知 12,x x R? ，则 1“1x? 且 2 1“x? 是 12“2xx?且 12, 1“xx? 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为 m,n，已知 m 为 2 或 4 时， 5mn? 的概率为 A.227 B. 29 C. 13 D. 23 5.已知下列函数中是周期函数且最小正周期为 ? 的是 A. sin cosy x x? B. 22sin 3 cosy x x? C. cosyx? D. 3sin cos22xxy ? 6.执行下面的程序，若输入的 253, 161ab?，则
3、输出的结果为 A. 92 B. 46 C. 23 D. 1 7.等差数列 ?na 为递增数列，若 221 1 0 5 61 0 1, 1 1a a a a? ? ? ?，- 2 - 则 数列 ?na 的公差 d 等于 A. 1 B. 2 C. 9 D. 10 8.已知向量 ? ?1,0 , 2 ,a b a?与 b 的夹角为 45 ，若 ,c a b d a b? ? ? ?，则 c 在 d 方向的投影为 A. 55 B. 55? C. 1 D. 1? 9.已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为 A. 103? B. 14? C. 16 83? D. 16 43? 10.已知实
4、 数 ,xy满足条件 2 0,2 2 0,2 2 0,xyxyxy? ? ? ? ? ? ?，若 z y ax? 取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数 a 的取值集合为 A. ? ?2, 1? B. ? ?|2a R a? C. ? ?|1a R a? ? D. ? ?| 1 2a R a a? ? ? ?且 11.等比数列 ?na 的首项为 32 ，公比为 12? ，前 n 项和为 nS ，则当 nN? 时， 1n nS S?的最大值和最小值之和为 A. 23? B. 712? C. 14 D.56 12.四面体 A BCD? 中， 6 0 , 3 , 2A B C A B D C B
5、D A B C B D B? ? ? ? ? ? ? ? ?,则此此四面体外接球的表面积为 A. 192? B. 19 3824? C. 17? D.17 176 ? 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13.已知双曲线 ? ?2222: 1 0 , 0xyC a bab? ? ? ?的一条渐近线方程为 34yx? ，则双曲线 C 的离心率为 . 14.若0 5 25n x dx?，则 ? ?21nx? 的二项展开式中 2x 的系数为 . - 3 - 15.已知抛物线 2:4C x y? 的焦点为 F，直线 AB 与抛物线 C 相交于 A,B 两点，若2 3 0O
6、A OB OF? ? ?，则弦 AB 的中点到抛物线 C的准线的距离为 . 16.已知函数 ? ? lnxf x e m x? （ ,m Re? 为自然对数的底数），若对任意的正数 12,xx，当 12xx?时，都有 ? ? ? ?1 2 1 2f x f x x x? ? ?成立，则实数 m 的取值范围为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 . 17.（本题满分 12 分）如图，平面四边形 ABCD 中，30 .CAD BAD? ? ? ? （ 1）若 75 , 10ABC AB? ? ?，且 /AC BD ，求 CD 的长； （ 2
7、）若 10BC? ，求 AC AB? 的取值范围 . 18.（本题满分 12 分）如图，四边形 ABEF 和四边形 ABCD 均为直角梯形， 90FAB DAB? ? ? ?,二面角 F AB D?是直二面角 , / / , / / , 2 , 1 .B E A F B C A D A F A B B C A D? ? ? ? （ 1）证明：在平面 BCE 上，一定存在过点 C 的直线 l 与直线 DF 平行； （ 2）求二面角 F CD A?二余弦值 . - 4 - 19.（本题满分 12 分）雾霾天气对人体健康有害，应对雾霾污染、改善空气质量是当前的首要任务是控制 PM2.5，要从压减燃煤
8、、严格控产、调整产业、强化管理、联防联控 、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标 .某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对 A,B,C 三个城市进行雾霾落实情况抽查 . （ 1）若每个专家组随机选取一个城市，四个 专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率； （ 2）每个城市都要有四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的成绩评价为优的概率为 12 ，若四个专家组均评价为优，则检查通过，不用复检，否则要进 行复检，设需进行复检的城市个数为 X，求 X 的分布列和期望 . 20.（本题满分 12
9、 分）设椭圆 ? ?22: 1 0xyE a bab? ? ? ?的右焦点为 F,右顶点为 A,B,C 是椭圆上关于原点对称的两点（ B,C 均不在 x 轴上），线段 AC 的中点为 D， B,F,D 三点共线 . （ 1）求椭圆 E 的离心率； （ 2）设 ? ?1,0F ，过 F 的直线 l 交 E 于 M,N 两点，直线 MA,NA 分别与直线 9x? 交于 P,Q 两点，证明：以 PQ 为直径的圆过点 F. - 5 - 21.（本题满分 12 分）设函数 ? ? ? ?21 1 ln .2f x x a x a x? ? ? ? （ 1）讨论函数 ?fx的单调性； （ 2）若函数 ?f
10、x有两个零点，求满足条件的最小正整数 a 的值； （ 3） ? ?f x b? 有两个不相等的实数根 12,xx，求证 12 0.2xxf ? ?. 请考生从第 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑 . 22.（本题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中，圆 C 的参数方程为 2cos ,2 2sinxy ? ? ?（ ? 为 参数），以 O 为极点 ， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 . （ 1）求圆 C 的普通方程； （ 2）直线 l 的极坐标方程是 2 sin 5 36?，射线 : 6OM ? 与圆 C 的交点为 ,OP，与直线 l 的交点为 Q ，求线段 PQ 的长 . 23.（本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知 ? ? 2 1 1 .f x x x? ? ? ? （ 1）将 ?fx的解析式写出分段函数的形式，并作出其图象； （ 2）若 1ab?，对 ? ? ? ?14, 0 , , 3a b f xab? ? ? ? ?恒成立，求 x 的取值范围 . - 6 - - 7 - - 8 - - 9 -
