1、 - 1 - 河南省三门峡市 2018届高三数学上学期期末考试试题 文 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设全集 UR? ，集合 ? ?| ( 1)( 3) 0A x x x? ? ? ?， ? ?| 1 0B x x? ? ? ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A ? ?| 1 3x x x? ? ?或 B ? ?|1xx? C ? ?| 1 3x x x?或 D ? ?|1xx? 2.已知复数 z 满足 1 1 11 2 1z i i?（ i 为虚数单位），则复数 z
2、的虚部是（ ） A 15 B 15i C 15? D 15i? 3.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面 垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为 1），则该“阳马”最长的棱长为（ ） A 5 B 34 C 41 D 52 4.下列说法中正确的是（ ） A若一组数据 1、 a 、 3 的平均数是 2，则该组数据的方差是 23 B线性回归直线不一定过样本中心点 (, )xy C若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的值越接近于 1 D先把高三年级的 2000名学生编
3、号： 1到 2000，再从编号为 1到 50的 50名学生中随机抽- 2 - 取 1名学生，其编号为 m ，然后抽取编号为 50m? ， 100m? ， 150m? ，?的学生， 这样的抽样方法是分层抽样 5.已知双曲线 221xyab?（ 0a? ， 0b? ）的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，以 12FF 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 (3,4) ，则此双曲线的方程为（ ） A 22116 9xy? B 2219 16xy? C 22134xy? D 22143xy? 6.设有下面四个命题： “若 0ab? ，则 a 与 b 的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题 若 p ： x
4、R? ， 20x? ，则 p? ： 0xR?， 020x ? “ 1a? ， 1b? ”是“ 1ab? ”的充分不必要条件 若 pq? 为假命题，则 p 、 q 均为假命题 A 3 B 2 C 1 D 0 7.已知函数 ( ) s in 3 c o s ( 0 )f x x x? ? ? ? ?的图象与 x 轴正半轴交点的横坐标依次构成一个公差为 2? 的等差数列，把函数 ()fx的图象沿 x 轴向右平移 6? 个单位，得到函数 ()gx的图象，则下列叙述不正确的是（ ） A ()gx的图象关于点 ( ,0)2? 对称 B ()gx的图象关于直线 4x ? 对称 C ()gx在 ,42?上是增
5、函数 D ()gx是奇函数 8.我国南宋著名数学家秦九昭发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设 ABC? 三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，面积为 S ，则“三斜求积”公式为2 2 22 2 21 ()42a c bS a c?若 2 sin 4sina C A? ， 22( ) 12a c b? ? ? ，则用“三斜求积”公式求得 ABC? 的面积为（ ） A 2 B 3 C 3 D 6 9.函数 2( ) ( 1) cos1xf x xe?的部分图象大致为（ ） - 3 - 10.运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为 A ，从集合 A
6、中任取一 个元素 a ，则函数 ayx? ， (0, )x? ? 是增函数的概率为（ ） A 35 B 45 C 34 D 37 11.已知等边三角形 ABC 三个顶点都在半径为 2的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是（ ） A 2? B 3? C 74? D 94? 12.已知点 A 是抛物线 2 4xy? 的对称轴与准线的交点，点 F 为抛物线的焦点， P 在抛物线上且满足 | | | |PA m PF? ，当 m 取最大值时，点 P 恰好在以 A ， F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
7、 A 21? B 212? C 51? D 512? 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是平行四边形， (1, 2)AB?， (2,1)AD? ，则- 4 - AD AC? 14.若实数 x ， y 满足 2 0,3,xyyxyx? ?且 2z x y?的最小值为 15.曲线 lny x x? 在点 (1, (1)Pf 处的切线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积是 16.已知函数 1( ) ( )xxf x x e e?，则使 ( ) (2 1)f x f x?成立的 x 的取值范围为 三、解答题
8、（本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS 满足13122nnS a a?（ *nN? ），且 1 1a? ， 22a ， 3 7a?成等差数列 （ 1）求数列 ?na 的通项 公式； （ 2）令 92lognnba? ，11nnnc bb?，求数列 ?nc 的前 n 项和 nT 18.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了 1至 6月份每月 10号的昼夜温差情况及因患感冒而就诊的人数，得到如下资料： 日期 1 月 10 日 2月 10 日 3月 10 日 4月
9、10 日 5月 10 日 6月 10 日 昼夜温差 x ()C? 10 11 13 12 8 6 就诊人数 y （个） 22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是：现从这六组数据中选取 2组，用剩下的 4组数据求线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验 （ 1）求选取的 2组数据恰好是相邻两个月的概率； （ 2）若选取的 1月与 6月的两组数据，请根据 2至 5月份的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a?； （ 3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否
10、理想？ （参考公式： 1122211( ) ( )()nni i i iiinniiiix y n x y x x y ybx n x x x? ? ?， a y bx? ） - 5 - 参考数据： 1 1 2 5 1 3 2 9 1 2 2 6 8 1 6 1 0 9 2? ? ? ? ? ? ? ?， 2 2 2 211 13 12 8 498? ? ? ? 19.如图，在三棱锥 P ABC? 中，平面 PAC? 平面 ABC ， 90ABC? ? ? ，点 D 、 E 在线段AC 上，且 2AD DE EC? ? ?， 4PD PC?，点 F 在线段 AB 上，且 /EF BC （ 1）
11、证明： AB? 平面 PFE ； （ 2）若四棱锥 P DFBC? 的体积为 7，求线段 BC 的长 20.设椭圆 C ： 221xyab?（ 0ab? ）的左顶点为 ( 2,0)? ，且椭圆 C 与直线 6 32yx?相切 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）过点 (0,1)P 的动直线与椭圆 C 交于 A ， B 两点，设 O 为坐标原点，是否存在常数 ? ，使得 7O A O B P A P B? ? ? ? ?恒成立？请说明理由 21.已知 aR? ，函数 2( ) ln ( 1) 2f x x x a x? ? ? ? ? （ 1）若函数 ()fx在 1, )? 上为减函数，求实数
12、a 的取值范围； （ 2）令 1a? ， bR? ，已知函数 2( ) 2g x b bx x? ? ?，若对任意 1 ( 1, )x ? ? ? ，总存在2 1, )x ? ? ? ，使得 12( ) ( )f x g x? 成立，求实数 b 的取得范围 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 1C 的极坐标为 1? ，以极点为平面直角坐标系的原点 ，极轴为 x 的正半轴，建立平面直角坐标系 xOy - 6 - （ 1）若曲线 2C ： 1,2xtyt? ?（ t 为参数）与曲线 1C 相交于两点 A ，
13、B ，求 |AB ； （ 2）若 M 是曲线 1C 上的动点，且点 M 的直角坐标为 (, )xy ，求 ( 1)( 1)xy?的最大值 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | | | 2 1 |f x x m x? ? ? ?（ mR? ） （ 1）当 1m? 时，求不等式 ( ) 2fx? 的解集； （ 2）设关于 x 的不等式 ( ) |2 1|f x x?的解集为 A ，且 3,24 A?，求实数 m 的取值范围 - 7 - 答案 一、选择题 1-5:DCDAB 6-10:CCBBA 11、 12： DA 二、填空题 13.5 14.4 15.12 16. 1( ,1)3
14、 三、解答题 17. 解： （ 1 ）由13122nnS a a?得 123nnS a a?，由 1S a a得 ? ?1 1 12 3 2S a n? ? ?. 两式相减得 ? ?132nna a n?. 又 1 2 31,2 , 7a a a?成等差数列， 2 1 34 1 7a a a? ? ? ?.即 1 1 112 1 9 7a a a? ? ? ?. 解得 1 3a? 数列是以 3为首项公比为 3的等比数列，即3nn? （ 2）由 992 lo g lo g 3 nnnb a n? ? ?，得 11 1 1 1( 1 ) 1nnC b b n n n n? ? ? ? 1 1 1
15、1 11 2 2 3 1 1n nT n n n? ? ? ? ? ? ? ? 18解： (1)设抽到相邻两个月的数据为事件 A.因为从 6组数据中选取 2组数据共有 15 种情况 ,每种情况都 是等可能出现的，其中 ,抽到相邻两个月的数据的情况有 5种 ， 51() 15 3PA? (2)由数据求得 11, 24xy? 由公式求得 187b? 再由 307a y bx? ? ? ? . y 关于 x 的线性回归方程为 18 3077yx?. (3)当 10x? 时 , 1507y? , 150| 22| 27 ?； 同样 , 当 6x? 时 , 787y? , 212778 ? . 该小组所
16、得线性回归方程是理想的 . 19（ 1）证明： DE=EC=2， PD=PC，点 E为等腰 PDC?边 DC的中点， PE AC?. 又平面 PAC?平面 ABC，平面 PAC平面 ABC=BC， PE?平面 PAC， ， PE?平面 ABC. AB?平面 ABC， PE AB?. 90ABC?， /EF BC， EF. 又,EF?平面 PFE， PE EF E?. - 8 - AB?平面 PFE. （ 2）解：设 BC=x，则在 Rt ABC?中，2 2 236A B A C B C x? ? ? ?. 211 3622ABCS AB BC x x? ? ? ? ?. 由 /EF BC得23
17、AF AEAB AC?， AFE? ABC?，224()39AFEABCSS? ?，即 49AFE ABCSS?， 由12AD AE?得21 1 4 2 1 362 2 9 9 9A F D A F E A B C A B CS S S S x x? ? ? ? ? ? ? ? ?. 四 边 形 DFBC 的 面 积 为2 2 21 1 736 36 362 9 18A B C A F DS S S x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?四 边 形 DFBC. 由（ 1）知 PE?平面 ABC.， PE 为四棱锥 P DFBC?的高 . 在 Rt EC?中，2 2 2 24 2 2 3P E P C E C? ? ? ? ?. 21 1 7 36 2 3 73 3 18P D F B C D F B CV S PE x x? ? ? ? ? ? ? ?四 棱 锥 四 边 形. 4236 243 0xx? ? ?.解得2 9x?或2 27x ?. 由于 0x?，因此 3x?或33x?. BC=3或33BC. 20解 :（ 1）根据题意可知 2a? ， 222 14xyb?，由椭圆 C与直线 6 32yx?相切， 联立得222 146 32xybyx? ? ?，消去 y 可得： ? ?2 2
