1、 1 辽宁省沈阳市 2018届高三数学上学期期中试题 理 一、选择题 :本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 1 2 1 23 4 , 2 3 ,z i z i z z? ? ? ? ? ?设 则在复平面内对应的点位于 （ ） A第一象限 B 第二象限 C第三象限 D 第四象限 2 命题 “ 2, 1 0x R x? ? ? ?” 的否定是 （ ） A. 2, 1 0x R x? ? ? ? B. 2, 1 0x R x? ? ? ? C. 2, 1 0x R x? ? ? ? D. 2, 1 0x R x? ? ?
2、 ? 3 已知 ,ab均为单位向量，它们的夹角为 60? ，那么 3ab? （ ） A. 13 B. 10 C. 4 D. 13 4 等比数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且 14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若 1 1a? ，则 4s ? （ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 5对任意的非零实数 a， b，若 a?b的运算原理如图所 示，且 mina， b， c表示 a， b， c中的最小值，则 2?min1， log0.30.1， 30.1的值为 （ ） A -1 B C 1 D 2 30.1 6数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1=1， an+1=3Sn
3、（ n 1）， 则 a6= （ ） A 44+1 B 3 44+1 C 45 D 3 44 7 函数 xexxf )3()( ? 的单调递增区间是 （ ） A )3,0( B )4,1( C ),2( ? D )2,(? 8 已知函数 BxAy ? )sin( ? 的图象一部分如图 ，（ 2|,0,0 ? ?A ），则 （ ） 2 A. 4?A B. 1? C. 4?B D. 6? 9 已知角 ? 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 ? ?1,4 ，则2cos sin2? 的值为 A. 35 B. 35? C. 717 D. 717? 10 已知定义在 R 上的奇函数
4、? ?2ax bfx xc? ?的图象如图所示，则 a ， b ， c 的大小关系是（ ） A. abc? B. a c b? C. bac? D. c a b? 11 在 ABC中， AB=2， AC=3， = 1则 _BC? （ ） A、 3 B、 7 C、 22 D、 23 12定义在（ 0， + ）上的单调函数 f（ x）， ? x （ 0， + ）， ff（ x） lnx=1，则方程f（ x） f （ x） =1 的解所在区间是 （ ） A（ 2， 3） B（ ， 1） C （ 0， ） D（ 1， 2） 二、填空题 （每题 5 分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13 如图，函
5、数 ? ?y f x? 的图象在点 P 处的切线方程是8yx? ? ，则 (5) (5)ff?_. 14已知点（ x， y）满足不等式组 ，则 z=x 2y的最大值为 1 15.已知 3sin45?， ,42? ?，则 tan? _ 3 16 设直线 y=t与曲线 C： y=x（ x 3） 2的三个交点分别为 A（ a， t）， B（ b， t）， C（ c， t），且 a b c现给出如下结论： abc 的取值范围是（ 0， 4）； a 2+b2+c2为定值； a+b+c=6 其中正确结论的为 三、解答题 （本大题共 5小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 已知函
6、数 f（ x） =sin2x cos2x 2 3 sinx cosx（ x R） （ ）求 f（ 23 ）的值 （ ）求 f（ x）的最小正周期及单调递增区间 18已知数列 an满足 a1=3，且 an+1 3an=3n，（ n N*），数列 bn满足 bn=3 nan （ 1）求证：数列 bn是等差数列； （ 2）设 ，求满足不等式 的所有正整数 n的值 19 已知等差数列 an中， a2=5， S5=40等比数列 bn中， b1=3， b4=81， （ 1）求 an和 bn的通项公式 （ 2）令 cn=an?bn，求数列 cn的前 n项和 Tn 20 在 ABC? 中， ,abc分别是角
7、,ABC 的对边，且 2 2 23a c ac b? ? ?， 32ab? （ 1）求 sinC 的值； （ 2）若 6b? ，求 ABC? 的面积 . 21 已知函数 ? ? xf x e? ， ? ? 22ag x x x? ? ?，（其中 aR? ， e 为自然对数的底数， 2.71828e? ? ） . 4 （ 1）令 ? ? ? ? ? ?h x f x g x?，若 ? 0hx? 对任意的 xR? 恒成立，求实数 a 的值； （ 2）在（ 1）的条件下，设 m 为整数，且对于任意正整数 n ， 1nnii mn? ，求 m 的最小值 . 22 选修 4-4：坐标系与参数方程 （共
8、1小题，满分 10分） 在直角坐标系 xy? 中，圆 C 的参数方程 1 cossinxy ? ?（ ? 为参数）以 ? 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （ 1）求圆 C 的极坐标方程； （ 2）直线 l 的极坐标方程是 2 sin 3 33?，射线 :? 3? 与圆 C 的交点为 ? 、? ，与直线 l 的交点为 Q ，求线段 Q? 的长 23 选修 4-5：不等式选讲 （共 1小题，满分 10分） 已知函数 ? ? 1f x x a x? ? ? ?， aR? （ 1）当 3a? 时，求不等式 ? ? 4fx? 的解集； （ 2）若不等式 ? ? 2fx? 的解集为空集，求实
9、数 a 的取值范围 . 5 参考答案 一、 DCACC DCDDB AD 二 、 13.2 14. 1 15 7 16. 三、 17解： 函数 f（ x） =sin2x cos2x 2 sinx cosx= sin2x cos2x=2sin（ 2x+ ） （ ） f（ ） =2sin（ 2 + ） =2sin =2， （ ） =2 ，故 T= ， 即 f（ x）的最小正周期为 ， 由 2x+ +2k ， +2k ， k Z得： x +k ， +k ， kZ ， 故 f（ x）的单调 递增区间为 +k ， +k 或写成 k+ ， k+ ， kZ 18.（ 1）证明：由 bn=3 nan得 an=
10、3nbn，则 an+1=3n+1bn+1 代入 an+1 3an=3n中，得 3n+1bn+1 3n+1bn=3n， 即得 所以数列 bn是等差数列 （ 2）解：因为数列 bn是首项为 b1=3 1a1=1，公差为 等差数列， 则 ，则 an=3nbn=（ n+2） 3n 1 从而有 ， 故 则 ， 由 ，得 即 3 3n 127，得 1 n 4 6 故满足不等式 的所有正整数 n的值为 2， 3， 4 19.（ 1）设公差为 d，则由 a2=5， S5=40，得： ，解得 ，则 an=3n 1? q=3 ? （ 2） ： ? 20：（ 1） 由 2 2 2 33c o s 2 2 2a c
11、b a cB a c a c? ? ?得出： 6B ? ， 由 32ab? 及正弦定理可得出： 3sin 2sinAB? ，所以 21sin sin3 6 3A ?， 再由 32ab? 知 ab? ，所以 A 为锐角， 1 2 2cos 193A ? ? ?， 所以 ? ? ? ? 3 2 2s i n s i n s i n s i n c o s c o s s i n 6C A B A B A B A B? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 2）由 6b? 及 32ab? 可得出 4a? ， 所以 ? ?1 1 3 2 2s i n 4 6 2 3 2 22 2 6S a b C ?
12、? ? ? ? ? ?. 21（ 1）因为 ? ? 1g x ax? ? 所以 ? ? e1xh x ax? ? ?， 由 ? ? 0hx? 对任意的 xR? 恒成立，即 ? ?min 0hx ? ， 由 ? ? exh x a? ?， （ i） 当 0a? 时， ? ? e0xh x a? ?， ?hx的单调递增区间为 ? ?,? ， 所以 ? ?,0x? 时， ? ? ? ?00h x h?， 所以不满足题意 . 7 (ii)当 0a? 时，由 ? ? e0xh x a? ?， 得 lnxa? ? ?,lnxa? ? 时， ? ? 0hx? ? ， ? ?ln ,xa? ? 时 ， ? ?
13、 0hx? ? ， 所以 ?hx在区间 ? ?,lna? 上单调递减 ， 在区间 ? ?ln ,a? 上单调递增， 所以 ?hx的最小值为 ? ?ln ln 1h a a a a? ? ? . 设 ? ? ln 1a a a a? ? ? ?，所以 ? ? 0a? ? ， 因为 ? ? lnaa? ? 令 ? ? ln 0aa? ? ? ?得 1a? ， 所以 ?a? 在区间 ? ?0,1 上单调递增，在区间 ? ?1,? 上单调递减， 所以 ? ? ? ?10a?， 由 得 ? ? 0a? ? ，则 1a? . （ 2）由（ 1）知 e 1 0x x? ? ? ，即 1exx? ， 令 kx
14、 n? （ *nN? ， 0,1,2, , 1kn?）则 0 1 e knkn ? ? ? ， .Com 所以 1 e enn k knkn ? ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ?12 2111 2 1( ) e e e e 1n n n nn nnnii n nn n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 111 e 1 e 1121 e 1 e e 1 e 1n? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以1( ) 2n niin? ?， 又 3 3 31 2 3 1333
15、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 m 的最小值为 2 . 22.（ 1）圆 C 的普通方程为 ? ?2 211xy? ? ?，又 cosx ? ， siny ? 8 所以圆 C 的极坐标方程为 2cos? （ 2）设 ? ?11,? ，则由 2cos3? ?解得 1 1? ，1 3?设 ? ?22Q,? ，则由 ? ?sin 3 c o s 3 33? ? ? ? ?解得 2 3? ，2 3?所以 Q2? 23.（ 1）当 a=3时， f（ x） =|x 3|+|x 1|， 即有 f（ x） = ， 不等式 f（ x） 4 即为 或 或 ， 即有 0x 1或 3x4 或 1x 3， 则为 0x4 ， 则解集为 0， 4； （ 2）依题意知， f（ x） =|x a|+|x 1|2 恒成立， 2f （ x） min； 由绝对值三角不等式得： f（ x） =|x a|+|x 1| （ x a） +（ 1 x） |=|1 a|， 即 f（ x） min=|1 a|， |1 a|2 ，即 a 12 或 a 1 2， 解得 a3 或 a 1 实数 a的取值范围是 3， + ） （ ， 1
