1、 - 1 - 2017-2018 高三上学期期中试卷 数学（文）试卷 考试分值： 150分； 考试时间： 120分钟； 第 I卷（选择题） 一、选择题 :本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.复数 iZ ?12 的虚部（ ） A I B i C 1 D 1 2.已知向量 ( 1,2), (2, 4)? ? ? ?ab，则 a 与 b （ ） A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向 D. 平行且反 向 3.已知命题 :p 0c? ，方程 2 0x x c? ? ? 有解，则 p? 为（ ） A. 0c?，方程 2 0x
2、 x c? ? ? 无解 B. c? 0，方程 2 0x x c? ? ? 有解 C. 0c? ，方程 2 0x x c? ? ? 无解 D. c? 0，方程 2 0x x c? ? ? 有解 4.已知数列 an满足 3an+1+an=0， a2= 34? ，则 an的前 10项和等于（ ） A 6（ 1 3 10） B C 3（ 1 3 10） D 3（ 1+3 10） 5.已知实数 x， y满足不等式组?02301yxyxyx ，则 z=x+2y的最小值为（ ） A 4 B 5 C 4 D无最小值 6. 已知函数 , , logxb cy a y x y x? ? ?的图象如图下所示，则（
3、 ） A. abc? B. a c b? C. c a b? D. c b a? 7.一个几何体的三视图如上图所示，则这个几何体的体积等于（ ） A 12 B 4 C 356 D 338 - 2 - 8.在 ABC中， A， B， C所对的边分别为 a， b， c，若 A=60， a= ， b+c=3，则 ABC 的面积为（ ） A B C D 2 9.设 a 0， b 0，若 是 4a与 2b的等比中项，则 ba 12? 的最小值为（ ） A 2 B 8 C 9 D 10 10.将函数 f（ x） =2 3 cos2x 2sinxcosx 3 的图象向左平移 t（ t 0）个单位，所得图象对
4、应的函数为奇函数，则 t的最小值为（ ） A 32? B 3? C 2? D 6? 11.己知直线 l 的斜率为 k，它与抛物线 y2=4x相交于 A， B两点， F为抛物线的焦点，若 ，则 |k|=（ ） A B C D 12.设函数 f（ x）是奇函数 f（ x）（ x R）的导函数， f（ 1） =0，当 x 0 时， xf（ x） f（ x） 0，则使得 f（ x） 0成立的 x的取值范围是（ ） A（， 1）（ 0， 1） B（ 1， 0）（ 1， +） C（， 1）（ 1， 0） D（ 0， 1）（ 1， +） 第 II卷（非选择题） 二 、 填空题 :本大题共 4 小题，每小题
5、5分，共 20分 13.已知正方形 ABCD 边长为 1， E 是线段 CD 的中点，则 AE BD?_. 14.若 31)3sin( ? ，则 )23cos( ? ? =_; 15.在四面体 S ABC中， SA平面 ABC， ABC=90， SA=AC=2， AB=1，则该四面体的外接球的表面积为 16.设函数 2 , 1,( ) ( 0lo g , 1,xaaxf x axx? ? ? ，且 1)a? .若 ()fx在 R 上是增函数，则 a 的取值范围是_. 三、解答题： 本大题共 5题 ,共 60分 ,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.（ 12 分） 在等差数列 an
6、中，公差 d 0， a1=7，且 a2， a5， a10成等比数列 （ 1）求数列 an的通项公式及其前 n项和 Sn； - 3 - （ 2）若1nnn aa5b?，求数列 bn的前 n项和 Tn 18.（ 12 分）如图， ABC? 是等边三角形，点 D 在边 BC 的延长线上， 且 2BC CD? , 7AD? . （）求 CD 的长； （）求 sin BAD? 的值 . 19.（ 12 分）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是矩形，点 E、 F分别是棱 PC和 PD 的中点 （ 1）求证： EF平面 PAB； （ 2）若 AP=AD，且平面 PAD平面 ABCD，证明： AF
7、平面 PCD 20.（ 12 分）已知函数 3( ) 9f x x x?，函数 2( ) 3g x x a?. （）已知直线 l 是曲线 ()y f x? 在点 (0, (0)f 处的切线，且 l 与曲线 ()y gx? 相切，求 a 的值； （）若方程 ( ) ( )f x g x? 有三个不同实数解，求实数 a 的取值范围 . 21.（ 12分）在平面直角坐标，直线 l ： y= x 3经过椭圆 E： 12222 ?byax （ a b 0）的一个焦点，且点（ 0， b）到直线 l 的距离为 2 （ 1）求椭圆 E的方程； （ 2） A、 B、 C是 椭圆上的三个动点 A与 B关于原点对称
8、，且 |AC|=|CB|问 ABC 的面积是否存在最小值？若存在，求此时点 C的坐标；若不存在，说明理由 - 4 - 22.（ 10分）已知直线 l ：?tytx213235（ t为参数）以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的坐标方程为 =2cos （ 1）将曲线 C的极坐标方程化为直坐标方程； （ 2）设点 M的直角坐标为（ 5， ），直线 l与曲线 C的交点为 A， B，求 |MA|?|MB|的值 - 5 - 高三数学文科期中试卷答案 一、 选择题 : D D A C C C B B C D A A 二 、 填空题 : ;21.13 ;97:14? ;8:15? ?
9、 ?;,2:16 ? 三、解答题： 17.解：（ 1） a2， a5， a10成等比数列， （ 7+d）（ 7+9d） =（ 7+4d） 2，又 d 0， d=2， （ 2） 由（ 1）可得 ， 18.解：（ I） （ II） 19.解：（ 1）证明：因为点 E、 F分别是棱 PC和 PD 的中点， 所以 CD EF 因为底面 ABCD是矩形，所以 AB CD可得： AB EF， 又因为 EF?平面 PAB， AB?平面 PAB，所以 EF平面 PAB （ 2）证明：在矩形 ABCD中， CD AD 又因为平面 PAD平面 ABCD， - 6 - 且平面 PAD平面 ABCD=AD， 所以 C
10、D平面 PAD又 AF?平面 PAD，所以 CD AF 由（ 1）可知 AB EF， 又因为 AB CD，所以 CD EF由点 E是棱 PC中点，所以点 F是棱 PD 中点 在 PAD中，因为 PA=AD，所以 AF PD 又因为 PD CD=D，所以 AF平面 PCD 20.解：- 7 - 21.解：（ 1）对于直线 l： y= x 3，令 y=0，可得 x= ， 焦点为（ ， 0）， c= ， 点（ 0， b）到直线 l 的距离为 2， =2， b 0， b=1， a=2，椭圆 E的方程 ； （ 2）当 AB为长轴（或短轴）时，由题意， C是椭圆的上下顶点（或左右 顶点），； 当直线 AB
11、 的斜率存在且不为 0时，设 AB： y=kx，代入椭圆方程，可得， |AC|=|CB|， O为 AB 的中点， OC AB，直线 OC 的方程为 y= ， 同理可得 ， ， ， - 8 - S ABC=2S OAC=|OA|OC|= = ， 当且仅当 1+4k2=4+k2，即 k= 1时取等号， k= 1时， ABC的面积最小值 ， 此时， C（ ， ）或 C（ ， ） 22.解：（ 1） =2cos， 2=2 cos， x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（ x 1） 2+y2=1； （ 2）直线 l： （ t为参数），普通方程为 ，（ 5， ）在直线 l上， 过点 M作圆的切线，切点为 T，则 |MT|2=（ 5 1） 2+3 1=18， 由切割线定理，可得 |MT|2=|MA|?|MB|=18
