1、 - 1 - 辽宁省五校 2018 届高三数学上学期期末考试试题 理 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知 i 是虚数单位，则复数 ? ?211 iz i? ?的虚部是 （ ） A 1? B 1 C i? D i 2.设集合 ? ? ? ?20 1 , = 1M x x N x x? ? ? ?， 则 ? ?RM C N?（ ） A ? ?0,1 B ? ?1,1? C ? ?1,1? D ? ?0,1 3.若 4cos5?， 且 ? 为第二象限角 ， tan? （ ）
2、 A 43?B 34?C 43D 344.已知向量 a 与 b 的夹角为 120? ， ? ?1,0 , 2ab?， 则 2ab? （ ） A 3 B 2 C 23 D 4 5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球半径为 （ ） A 1 B 32C 22D 126.已知数列 ?na 的前 n 项和 2n n nS a b?，若 0a? ，则 （ ） A 1nnna na S? B 1nnS na na? C 1 nnna S na? D 1nnna S na? - 2 - 7.若 ,xy满足约束条件 202 2 02 2 0xyxyxy? ? ? ? ? ? ?， 则 z x y? 的
3、最大值是 （ ） A 2? B 0 C 2 D 4 8.把四个 不同的小球放入三个分别标有 1? 3 号的盒子中，不允许有空盒子的放法有 （ ） A.12 种 B. 24 种 C.36 种 D.48 种 9.已知函数 ? ? 2 sin 26f x x ?， 现将 ? ?y f x? 的图象向左平移12?个单位 ， 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 12倍，纵坐标不变，得到函数 ? ?y g x? 的图象，则 ?gx在 50,24?的值域为 （ ） A ? ?1,2? B ? ?0,1 C ? ?0,2 D ? ?1,0? 10.已知 椭圆 22132xy?的左右焦点分别为 12FF、
4、，过 1F 的直线 1l 与过 2F 的直线 2l 交于点 P ，设 P 点的坐标 ? ?00,xy ，若 12ll? ，则下列结论中不正确的是 （ ） A 2200132xy?B 2200132xy?C 22003 2 1xy? D 00132xy?11.某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组 .某次数学考试成绩公布情况如下 :甲和三人中的第 3 小组那位不一样，丙比三人中第 1 小组的那位的成绩低，三人中第 3 小组的那位比乙分数高。若甲、乙 、 丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是 （ ） A.甲、乙、丙 B.甲、丙、乙 C.乙、甲、丙 D.丙、甲、乙 12.已知函数 ? ? ?
5、 ? ? ?21ln 12f x x x a x a x a R? ? ? ? ?在 1x? 处取得极大值，则实数 a 的取值范围是 （ ） A 1,2?B ? ?,1? C 1,2?D ? ?1,? 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知实数 x 满足 135 10 8x x x? ? ， 则 x? 14.如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 - 3 - 15.已知双曲线的两个焦点为 ? ? ? ?1210 , 0 10 , 0FF? 、，渐近线为 12yx?， 则双曲线的标准方程为 16.等比数列 ?na 的前 n 项和
6、记为 nS ，若2 3nnSS ? ， 则 32nnSS ? 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. ABC? 中，角 A B C、 、 的对边分别为 a b c、 、 ， sin 2 cos6AA?. （ 1） 求 A 的值； （ 2） 若 3a? ， BC 边上的高为 23，求 bc? 的值 . 18.甲、乙两名同 学 准备参加考试，在正式考试之前进行了十次模拟测试，测试成绩如下： 甲： 137， 121， 131， 120， 129， 119， 132， 123， 125， 133 乙： 110， 130， 147， 12
7、7， 146， 114， 126， 110， 144， 146 （ 1） 画出甲、 乙 两人成绩的茎叶图，求出甲同学成绩的平均数和方差，并根据茎叶图，写出甲、乙两位同学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的结论； （ 2） 规定成绩超过 127 为“良好”，现 在老师分别从甲、乙两人成绩中各随 机 选出一个 ， 求选出成绩“良好”的个数 X 的分布列和数学期望 . (注：方差 ? ? ? ? ? ?2 2 22121 ns x x x x x xn ? ? ? ? ? ? ?， 其中 x 为 12, , , nx x x 的平均数） 19.如图，在底面是菱形的四棱锥 P ABCD? 中
8、,PA? 平面 ABCD ， 60 , 2ABC PA AB? ? ? ? ?，- 4 - 点 EF、 分别为 BC PD、 的中点，设直线 PC 与平面 AEF 交于点 Q . （ 1） 已知平面 PAB? 平面 PCD l? ， 求证： /AB l . （ 2） 求直线 AQ 与平面 PCD 所成角的正弦值 . 20.已知直线 ? ?20y x m m? ? ? 与抛物线 2 4yx? 交于 AB、 两点， （ 1） 若 OA OB? ，求 m 的值； （ 2） 以 AB 为边作矩形 ABCD ，若矩形 ABCD 的外接圆圆心为 1,22?，求矩形 ABCD 的面积 . 21.已知函数 ?
9、 ? ? ? ? ?2 2 1 2 ln 2 1f x x a x a x x a a R? ? ? ? ? ? ?. （ 1） 2a? 时，求 ?fx在 ? ?0,2 上的单调区间； （ 2） 0x? 且 1x? ， 2 ln 211ax x axx ? ? ?均恒成立，求实数 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的 参数方程为 3 cos3 sinxtyt? ? ?（ t 为参数 ， 0 ? 且2?）， 以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立
10、极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 23? .已知直线 l 与曲线 C 交于 AB、 两点，且 23AB? . （ 1） 求 a 的大小 ； （ 2） 过 AB、 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 ,MN两点，求 MN . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ? ? ? ?3f x x a a R? ? ?. - 5 - （ 1） 当 1a? 时，解不等式 ? ? 51f x x? ? ? ； （ 2） 若存在 0xR? ，使 ? ?0051f x x? ? ?成立，求 a 的取值范围 . 试卷答案 一、选择题 1-5: BCBBB 6-10: DCCAA 11、 12： BD 二、填空
11、题 13. 1414. 7 15. 22182xy?16.73三、解答题 17.（ 1） sin 2 cos6AA?， sin 3cosAA? ， tan 3A? ， 0 A ? ，3A?. （ 2）由已知， 1 2 13 sin2 3 2 bc A?，3A?， 43bc?又 ? ? 2 2 2 2 23 3 2 c o sb c b c A b c b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2234b c bc b c? ? ? ? ? ? ? ?2 7bc? 7bc? 18.（ 1） 茎叶图略， 2127, 35xs?，甲的中位数大于乙的中位数，甲的平均成绩小于乙的平均成绩 （ 2） 由
12、已知， X 的可能取值为 0， 1， 2， ? ? 10 4PX?， ? ? 11 2PX?， ? ? 12 4PX? X 的分布列为（略） ? ? 1EX? 19.（ 1） /AB CD ,AB? 平面 PCD ,CD? 平面 PCD . /AB 平面 PCD , AB? 平面 PAB ,平面 PAB? 平面 PCD l? /AB l . （ 2） 底面是菱形， E 为 BC 的中点 2AB? 1 3 ,BE AE AE BC? ? ?, AE AD? PA? 平面 ABCD ， 则以点 A 为原点，直线 AE AD AP、 、 分别为轴建立如图所- 6 - 示空间直角坐标系则 ? ? ?
13、? ? ? ? ?0 , 2 , 0 , 0 , 0 , 2 , 3 ,1 , 0 , 3 , 0 , 0D P C E ? ?0,1,1F ， ? ? ? ? ? ? ? ?3 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 3 , 1 , 0 , 0 , 2 , 2A E A F D C D P? ? ? ? ? ?， 设 平面 PCD 的法向量为 ? ?,n x y z? ， 有 0, 0AE n AF n? ? ? ?得 ? ?1, 3, 3n? 设 ? ?1AQ AC AP? ? ?， 则 ? ? ?3 , , 2 1AQ ? ? ?， AQ mAE nAF? 则? ?3321mnn?
14、?解之得 23mn? ? ?， 2 2 23, ,3 3 3AQ ?， 设直线 AQ 与平面 PCD 所成角为 ? 则 3 1 0 5sin co s ,35n A Q? ? 直线 AQ 与平面 PCD 所成角的正弦值为 335. 20.解： （ 1） 2y x m?与 4yx? 联立得 2 2 2 0y y m? ? ? 由 0? 得 12m?， 设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y， 则 1 2 1 22, 2y y y y m? ? ? ? OA OB? , 0OA OB? ? ?2121 2 1 2 1 20 16yyx x y y y y? ? ? ?，
15、12 16yy? 2 16m? 8m? ， 满足题意 . （ 2） 设弦 AB 的中点为 M ,则 1212M yyy ?， 122MM ym mx ? ? TM AB? 21211122m? ? ? 4m? ， 则 5,12M?， 5MT? ， 25CD? ? ? 21 2 1 2 1 24 4 8 6y y y y y y m? ? ? ? ? ? ? 35AB? 面积为 30AB CD? 21.（ 1） 2a? 时 ， ? ? ? ?2 1 2 lnf x x x? ? ? ?， 设 ? ? ? ?h x f x? ， 当 ? ?0,2x? 时 ， ? ? 220xhxx? ?， 则 ?
16、hx在 ? ?0,2 上是单调递减函数，即则 ?fx? 在 ? ?0,2 上是单调递减函数 ， - 7 - ?10f? ? 12x? 时， ? ? 0fx? ? ； 01x?时， ? ? 0fx? ? 在 ? ?0,2 上 ?fx的单调增区间是 ? ?0,1 ，单调减区间是 ? ?1,2 ； （ 2） 1x? 时， 2 ln 2 1( )( 1)ax x a x x? ? ? ?,即 212 2 + 2 aalnx x ax? ? ? ?； 01x?时 ， 2 ln 2 1( )( 1)ax x a x x? ? ? ?,即 212 2 + 2 aalnx x a x? ? ? ?； 设 ?
17、? ? ?212 2 2 0ag x a ln x x a xx? ? ? ? ? ?则 ? ? ? ? ? ?221 2 12 2 11 x x aaagx x x x? ? ? ? ? ? ?1a? 时 ， ? ?2 1 1a? ? ? ， ? ? ? ?221 0xgx x? ?， ?gx在 ? ?0,? 上单调递增 1x? 时， ? ? ? ?10g x g?； 01x?时 ， ? ? ? ?10g x g?， 1a? 符合题意 ; 1a? 时， ? ?2 1 1a? ? ? ， (12)1xa? ? ? 时， 0()gx? ? ， ?gx在 ? ?1, 2 1a?上单调递减， 当 (
18、12)1xa? ? ? 时， ? ? ? ?10g x g?， 与 1x? 时， ()0gx? 矛盾；舍 1a? 时，设 M 为 ? ?21a?和 0 中的最大值，当 1Mx? 时， 0()gx? ? ， ?gx在 ? ?,1M 上单调递减， 当 1Mx? 时， ? ? ? ?10g x g?， 与 01x?时， ? ? 0gx? 矛盾；舍 综上， ? ?1a? 22.（ 1） 由已知， 直线 l 的方程为 tan 3 tan 3 0xy? ? ? ?， 23OA OB?， 23AB? ， O 到直线 l 的距离为 3，则 23tan 33 tan 1? ? ，解之得 3tan 3? 0 ? 且2?，6?（ 2） 4cos30ABMN ?23.（ 1）由已知 3 1 5xx? ? ? ? 1x? 时 ， 解得 12x? ， 则 12x? ； 13x?时，解得 x? ，则 x? - 8 - 3x? 时 ， 解得 92x? ， 则 92x? 综上：解集为 12xx? ?或 92x ?（
