1、 - 1 - 内蒙古包头市 2018届高三数学上学期期中试题 文 第 卷 (选择题 共 60分 ) 一、选择题： 本大题共 12 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 ， 在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要求的 1.已知集合 A=x|x2 x 20， 0 ， 直线 x=4和 x=54 是函数 f(x)=sin( x+ )图像的两条相邻的对称轴，则 = A.4B.3C.2D.34 11.如图，长方形 ABCD 的边 AB = 2， BC = 1， O 是 AB 的中点，点 P沿着边 BC， CD 与 DA运动，记 AOB= x。将动点 P到 A， B两点距离之和表示为 x的
2、函数 ()fx，则 ()y f x? 的图象大致为 12.若存在正数 x 使 2 ( ) 1x xa?成立 ， 则 a 的取值范围是 （ ） A.( , )? B.( 2, )? ? C.(0, )? D.( 1, )? ? 二、填空题（每题 5分） 13.已知函数 3( ) 2f x ax x?的图象过 点 (1,4)? ，则 a = _。 - 3 - 14.x,y满足约束条件 ，则 z=3x+y的最大值为 _. 15.函数 log ( 3) 1ayx? ? ?（ a 0且 a 1）的图象恒过定点 A，若点 A在直线 10mx ny? ? ?上，其中 m， n 均大于 0，则 12mn? 的
3、最小值为。 16.已知曲线 lny x x? 在点 (1,1) 处的切线与曲线 2 ( 2) 1y ax a x? ? ? ?相切，则 a = _。 三、解答题 17 (本题满分 10分 ) 在直线坐标系 xoy中，曲线 C1的参数方程为? ? tay tax sin1 cos（ t为参数， a 0）。 在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： =4cos . （ I）说明 C1是哪种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程； （ II）直线 C3的极坐标方程为 a0? ，其中 a0 满足 tana0 =2，若曲线 C1与 C2的公共点都在C3上，求 a. 18.（本小题满
4、分 12分） ABC中， D是 BC 上的点， AD平分 BAC， BD=2DC。 （ 1）求 sinsinBC?；（ 2）若 60BAC?，求 B? 。 19.（本小题满分 12分） 已知等差数列 na 的公差不为零， 1 25a? ，且 1 11 13,a a a 成等比数列。 （ ）求 na 的通项公式 ；（ ） 求 13741 ? naaaa ? ； 20.（本小题满分 12分） 下图是我国 2008年至 2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨） 的折线图 . - 4 - 注：年份代码 1 7分别对应年份 2008 2014. （）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y与 t的关系
5、，请用相关系数加以说明； （）建立 y关于 t的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016年我国生活垃圾无害化处理量 . 附注： 参考数据： 71 9.32ii y? ?， 71 40.17iii ty? ?， 7 21 ( ) 0.55ii yy? ?， 7 2.646. 参考公式： 12211( )( )( ) ( y y )niiinniiiit t y yrtt?， 回归方程 y a bt? 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 121( )( )()niiiniit t y ybtt?，tbya ? ? 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x) 2cos2x 1 2
6、 3sin x cos x (0 1)，直线 x 3是函数 f(x)的图象的一条对称轴 (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)已知函数 y g(x)的 图象是由 y f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，然后再向左平移 23 个单位长度得到的，若 g? ?2 3 65， ? ?0， 2 ，求 sin 的值 22.（本小题满分 12分） 已知函数 ? ? ? ? 22 ( 1)xf x x e a x? ? ? ?。 （ I）讨论 ?fx的单调性； （ II）若 ?fx有两个零点，求 a 的取值范围 . 三十三中高三年级数学 （文科） 第一学期期中试卷答案 - 5 - 一、选
7、择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D D A D A A B D A B D 二、填空题 13、 2 14、 4 15、 8 16、 8 三、解答题 17解：（）消去参数 t 得到 1C 的普通方程 ? ?2221x y a? ? ? 。故 1C 是以 ? ?0,1 为圆心， a 为半径的圆。 将 cos , sinxy? ? ? ?代入 1C 的普通 方 程 中 ， 得 到 1C 的 极 坐 标 方 程 为222 sin 1 0a? ? ? ? ? ?。 （）曲线 12,CC的公共点的极坐标满足方程组 :? 222 sin 1 04 co s a?
8、? ? ? ? ? . 若 0? ，由方程组得 221 6 c o s 8 s in c o s 1 0a? ? ? ? ? ?，由已知 tan 2? ，可得 21 6 co s 8 sin co s 0? ? ?，从而 210a?，解得 1a? （舍去）， 1a? 。 1a? 时，极点也为 12,CC的公共点，在 3C 上。 所以 1a? 。 18.解：（）由正弦定理得 ,s i n s i n s i n s i nA D B D A D D CB B A D C C A D? ? ? ? 因为 AD 平分 ,2BAC BD DC?，所以 sin 1sin 2B DCC BD? ? （）因
9、为 1 8 0 ( ) , 6 0C B A C B B A C? ? ? ? ? ? ? ?，所以 31s i n s i n ( ) c o s s i n22C B A C B B B? ? ? ? ? ? ? ? ? 由（）知 2sin sinBC? ? ?，所以 3tan 3B? ，即 30B? 19解： (1)设 an的公 差为 d.由题意， a211 a1a13， 即 (a1 10d)2 a1(a1 12d)， 于是 d(2a1 25d) 0. 又 a1 25，所以 d 0(舍去 )， d 2. 故 an 2n 27. - 6 - (2)令 S a1 a4 a7 ? a3n+1.
10、 由 (1)知 a3n+1 6n 25，故 a3n+1是首项为 25，公差为 6的等差数列从而 S 21?n (a1 a3n+1) 3n2 22n+25. 20. （）由 331.1732.9 ?y 及（）得 103.02889.2)()(?71271 ?iiiiittyyttb ， 92.04103.0331.1? ? tbya . 所以， y 关于 t 的回 归方程为： ty 10.092.0? ? . .10 分 将 2016年对应的 9?t 代入回归方程得： 82.1910.092.0? ?y . 所以预测 2016年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨 . .12分 21.解
11、： (1)f(x) cos 2x 3sin 2x 2sin? ?2x 6 ， 由于直线 x 3是函数 f(x) 2sin? ?2x 6 的图象的一条对称轴，所以 sin? ?23 6 1 ， 因此 23 6 k 2(k Z)， - 7 - 解得 32k 12(k Z)， 又 0 1，所以 12，所以 f(x) 2sin? ?x 6 . 由 2k 2 x 62 k 2(k Z)，得 2k 23 x2 k 3(k Z)， 所以函数 f(x)的单调递增区间为 (2k 23 ， 2k 3)(k Z) (2)由题意可得 g(x) 2sin? ?12? ?x 23 6 ， 即 g(x) 2cosx2， 由
12、 g? ?2 3 2cos? ?12? ?2 3 2cos? ? 6 65，得 cos? ? 6 35， 又 ? ?0， 2 ，故 6 623 ， 所以 sin? ? 6 45， 所以 sin sin? ? ? 6 6 sin? ? 6 cos 6 cos? ? 6 sin 6 45 32 35 12 4 3 310 . 22解：（） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 1 2xxf x x e a x x e a? ? ? ? ? ? ? ? （）设 0a? ，则当 ? ?,1x? 时， ? ? 0fx? ? ；当 ? ?1,x? ? 时， ? ? 0fx? ? 。所以?fx在
13、 ? ?,1? 单调递减，在 ? ?1,? 单调递增。 （）设 0a? ，则 ? ? 0fx? ? 得 1,x? 或 ? ?ln 2xa?。 若 2ea? ，则 ? ? ? ? ?1 xf x x e e? ? ? ?，所以 ?fx在 ? ?,? 单调递增。 若 2ea? ，则 ? ?ln 2 1a?，故当 ? ? ? ? ?, l n 2 1 ,xa? ? ? ?时， ? ? 0fx? ? ；当? ? ?ln 2 ,1xa? 时， ? ? 0fx? ? 。所以 ?fx在 ? ? ?,ln 2a? ? 与 ? ?1,? 单调递增，在? ? ?ln 2 ,1a? 单调递减。 若 2ea? ，则
14、? ?ln 2 1a?，故当 ? ? ? ? ?,1 ln 2 ,xa? ? ? ?时， ? ? 0fx? ? ；当- 8 - ? ? ?1,ln 2xa?时， ? ? 0fx? ? 。所以 ?fx在 ? ?,1? 与 ? ? ?ln 2 ,a? ? 单调递增，在? ? ?1,ln 2a? 单调递减。 （）（）设 0a? ，则由（）知， ?fx在 ? ?,1? 单调递减，在 ? ?1,? 单调递增。 又 ? ? ? ?1 , 2f e f a? ? ?，取 b 满足 0b? 且 ln2ab? ，则? ? ? ? ? ?2 2 32 1 022af b b a b a b b? ? ? ? ? ? ?， 所以 ?fx有两个零点。 （）设 0a? ，则 ? ? ? ?2 xf x x e? ，所以 ?fx只有一个零点。 （）设 0a? ， 若 2ea? ，则由（）知， ?fx在 ? ?1,? 单调递增，又当 1x? 时，? ? 0fx? ， 故 ?fx不存在两个零点； 若 2ea? ，则由（）知， ?fx在 ? ? ?ln 2 ,a? ? 单调 递增。又当 1x? 时， ? ? 0fx? ， 故 ?fx不存在两个零点 综上， a 的取值范围是 ? ?0,? 。
