1、 - 1 - 内蒙古赤峰市 2018届高三数学上学期期末考试试题 理 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 若 12izi?,则复数 z? （ ） A 2i? B 2i? C 2i? D 2i? 2. 集合 ? ?1,2,4A? , ? ?2 40|B x x x m? ? ? ? ,若 ?1AB? ,则 B? （ ） A ? ?1, 3? B ?1,0 C. ?1,3 D ?1,5 3. 若变量 ,xy满足约束条件 2 11yxxyy?,则 2xy? 的最大值是（ ） A 52?B 0 C 52D 5
2、34. 已知 ABC 的 面积是 12, 1AB? , 2BC? ,则 AC? （ ） A 5 B 5 或 1 C.5或 1 D 5 5. 在一次连环交通事故中 ,只有一个人需要负主要责任 ,但在警察询问时 ,甲说 :“ 主要责任在乙 ” ； 乙说 :“ 丙应负主要责任 ” ； 丙说 “ 甲说的对 ” ； 丁说 :“ 反正我没有责任 ” .四人中只有一个人说的是真话 ,则该事故中需要负主要责任的人是（ ） A 甲 B 乙 C. 丙 D 丁 6. 一个长方体被一平面截去一部分后 ,所剩几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的 体积为（ ） A 36 B 48 C.64 D 72 7. 九章算术是我
3、国古代的数学名著 ,体现了古代劳动人民的数学智慧 ,其中第六章 “ 均输 ”中 ,有一竹节容量问题 ,某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图 ,若输出 m 的- 2 - 值为 67,则输入 a 的值为 A 7 B 4 C.5 D 11 8.设 0? ，函数 sin 23yx? ? ?的图像向右平移 43?个单位后与原图像重合，则 ? 的最小值是 （ ） A 23B 43C.3 D 329. 在 ABC 中 ,团 AB AC AB AC? ? ?, 2AB? , 1AC? ,E ,F 为 BC 的三等分点 ,则AE AF =（ ） A 89B 109C. 259D 26910. 把 2
4、 支相同的晨光签字笔 ,3 支相同英雄钢笔全部分给 4 名优秀学生 ,每名学生至少 1 支 ,则不同的分法有（ ） A 24种 B 28种 C. 32种 D 36种 11. 已知两点 ? ?1,0A , ? ?,0Bb ,若抛物线 2 4yx? 上存在点 C 使 ABC 为等边三角形 , 则 b 的值为（ ） A 3或 15B 13C. 13?或 5 D 15?12. 已知直线 l 为函数 xey? 图象的切线 ,若 l 与函数 2yx? 的图象相切于点 ? ?2m m?， ,则实数 m 必定满足（ ） A2em?B 12e m? ? ?C.-14em? ?D 04e m? ? ?二、填空题：
5、本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13. 机动车驾驶的考核过程中 ,科目三又称道路安全驾驶考试 ,是机动车驾驶人考试中道路驾- 3 - 驶技能和安全文明驾驶常识考试科目的简称假设某人每次通过科目三的概率均为 45,且每次考试相互独立 ,则至多考两次就通过科目三的概率为 14. 若 224cos sin ?,且 ,2?,则 2cos? 15. 在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中 ,底面为等腰直角三角形 , 2AB BC? , 1 1AA? , 若 E 、 F 、D 别是棱 AB 、 CB 、 11AC 的中点 ,则下列四个命题 : 1BE FD? ； 三棱锥 1A BCC? 的
6、外接球的表面积为 9? ； 三棱锥 1B DEF? 的体积为 13； 直线 1CE与平面 ABC 所成角为3?其中正确的命题有 (把所有正确命题的序号填在答题卡上 ) 16. 已知点 P 是双曲线 ? ?22: 1 0, 0xyC a bab? ? ? ?左支上一点 , 2F 是双曲线的 右 焦点 ， 且双曲线的一条渐近线恰是线段 2PF 的中垂线 ,则该双曲线的离心率是 三、解答题 ： 共 70 分。解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤。第 17 21 题为 必 考 题 ,每个试题考生都必须作答 ,第 22 23 题为选考题 ,考生根据要求作答 . （一）必考题：共 60分 17. 已知
7、两个数列 ?na ?nb 的前 n 项和分别为 nS , nT ,其中 ?na 是等比数列 ,且3 18a?，6 164a?， ? ?13nnT n s?. （ 1）求 ?nb 的通项公式； （ 2）求 ? ?3 nnb? 的前 n 项和 . 18. 2017年 5月 14日 ,第一届 “ 一带一路 ” 国际高峰论坛在北京举行 ,为了解不同年龄的人对“ 一带一路 ” 关注程度 ,某机构随机抽取了年龄在 15-75 岁之间的 100 人进行调查 , 经统计“ 青少年 ” 与 “ 中老年 ” 的人数之比为 9:11 关注 不关注 合计 青少年 15 中老年 - 4 - 合计 50 50 100 (
8、1)根据已知条件完成上面的 22? 列联表 ， 并判断能否有 99% 的把握认为关注 “ 一 带一路 ” 是否和年龄段有关 ？ (2)现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取 9 人进行问卷调查 .在这 9 人中再选取 3 人进行面对面询问 ,记选取的 3人中关注 “ 一带一路 ” 的人数为 X,求 X的分布列及数学期望 . 附 :参考公式 ? ? ? ? ? ?22d= n a d b ca b c d a cK b? ? ? ?，其中 cdn a b? ? ? ? 临界值表： 2 0()?P K K 0.05 0.010 0.001 0K 3.841 6.635 10.828 19. 如图
9、 , 在 四 棱 锥 P ABCD? 中 , PA? 底面 ABCD , 且 AB BC? , /AD BC , 2PA AB BC AD? ? ? ,E 是 PC 的中点 . (1)求证 :DE? 平面 PBC ； (2)求二面角 A PD E?的余弦值 . 20. 已知椭圆 ? ?22: 1 0, 0xyC a bab? ? ? ?的离心率为 22， 以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 1F ,2F 为顶点的三角形的周长为 ? ?4 2 1? . (1)求椭圆 C 的标准方程 ； (2)设该椭圆 C 与 y 轴的交点为 M ,N (点 M 位于点 N 的上方 ),直线 y=kx+4 与椭圆
10、C 相交于不同的两点 ,AB ,求证 :直线 MB 与直线 NA 的交点 D 在定直线上 . 21. 已知函数 ? ?f x lnx? , ? ?x mx? ? (1)若两函数图象有两个不同的公共点 ,求实数 m 的取值范围 ； (2)若 1,2x ? ?, ? ? xnefxxx?,求实数 n 的最大值 . （二）选考题：共 10分 .请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一- 5 - 题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 ,曲线 1C 的参数方程为 2cos3sin3xy? ?(? 为参数 ),将曲线 1C 上各点的横坐标都缩
11、短为原来的 12倍 ,纵坐标坐标都伸长为原来的 3 倍 ,得到曲线 2C ,在极坐标系 (与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位 ,且以原点 O 为极点 ,以 x 轴非负 半 轴为极轴 )中 ,直线 l 的极坐标方程为 224cos ? ?. (1)求直线 l 和曲线 2C 的直角坐标方程 ； (2)设点 Q 是曲线 2C 上的一个动点 ,求它到直线 l 的 距离的最大值 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ? ? 12f x x x? ? ? ?的最小值为 a . (1)求实数 a 的值 ； (2)若 ,x yz R? ,且 1 1 135ax y z? ? ?,求证 : 3 5
12、3x y z? ? ? . - 6 - 参考答案 一、选择题 1-5:DCDBA 6-10:BADBB 11、 12： CC 二、填空题 13. 242514. 15815. 16. 5 三、解答题 17. 解 :(1)3 18a?，6 164a?12q?，1 12a?,所以 1()2nna ?. 111 ( )122 11 212nn nS? ? ?所以 11( 1 )32n nTn? ? ?，11 1 1 1(2 )3 2 2bT? ? ? ?， 1 11 1 1 1 1 1( 1 ) ( ) (1 )3 2 3 2 3 2n n n n n nb T T n n? ? ? ? ? ? ?
13、 ? ? ?， ( 2)n? 经验证， 1n? 时也满足，所以 11(1 )32n nb ?， *()nN? （ 2）设 1 1 13 3 (1 ) ( )3 2 2 nnn nc n b n n n? ? ? ? ? ? ?， ?nc 的前 n 项和为 nM 设数列 1()2nn?的前 n 项和为 nH ，则 21 1 11 2 ( ) ( )2 2 2 nnHn? ? ? ? ? ? 2 3 11 1 1 11 ( ) 2 ( ) ( )2 2 2 2 nnHn ? ? ? ? ? ? - 111( ) ( )22nnn ? ? ?得 2 1 1111 ( )1 1 1 1 1 122(
14、) ( ) 1 ( ) ( )12 2 2 2 2 212nn n nnH n n? ? ? ? ? ? ?所 12 ( 2)( )2 nnHn? ? ?所以n ( 1 ) 11 2 2 ( 2 ) ( )22 nn nnM n H n? ? ? ? ? ? ? ? ?18. 解 :(1)依题意可知 ,抽取的 “ 青少年 ” 共有 9100 4520?人 ,“ 中老年 ” 共有 100 45 55?人 . 完成的 22 列联表如 ： 关注 不关注 合计 青少年 15 30 45 - 7 - 中老年 35 20 55 合计 50 50 100 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 22 1
15、0 0 ( 3 0 3 5 2 0 1 5 )= 9 .0 9 15 5 5 0 5 5d 45n a d b ca b c d a c bK ? ? ? ? ? ? ? ? ?因为 ? ?2 6.635 0.01PK ?， 9.091 6.635? ，所以有 99% 的把握认为 关注 “ 一带一路 ” 和年龄段有关 (2)根据题意知 ,选出关注的人数为 3,不关注的人数为 6,在这 9人中再选取 3人 进行面对面询问 ,X 的取值可以为 0,1,2,3,则 3639 20 5( 0) 84 21CPX C? ? ? ?, 326639 4 5 1 5( 1) 8 4 2 8CCPX C? ?
16、 ? ?, 213639 1 8 3( 2 ) 8 4 1 4CCPX C? ? ?,3339 1( 3) 84CPX C? ? ?. X 0 1 2 3 P 521 1528 314 184 所以 X 的 分布列为数学期望 ? ? 2 0 4 5 1 8 1 4 5 3 6 30 1 2 3 1 .8 4 8 4 8 4 8 4 8 4EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?19. (1)证明 : PA? 底面 ABCD ,且 AB BC? , /AD BC , PA AD? , ,PA AB AD AB?,以点 A为坐标原点 ,分别以直线 ,ADABAP 为 x 轴 ,y 轴 ,z 轴
17、建立空间直角坐标系 ,如图所示 , 设 22PA AB BC AD? ? ? ?, E 是 PC 的 中 点 , 则有 ? ?0,0,2P , ? ?1,0,0D ，- 8 - ? ?0,2,0B , ? ?2,2,0C , ? ?1,1,1E ， 于是 ? ? (00, , 2, 2)1,1 PBDE ? ?, ? ?,2PC?,因为 0DEPB? , 0DEPC? ,所以 DE PB? , DE PC? , 且 PB PC P?,因此 DE? 平面 PBC (2)解 :由 (1)可知平面 PAD 的一个法向量为 ? ?1 0,2,0n AB? , 设平面 PCD 的法向量为 ? ?2 ,n
18、 x y z? , ? ?1,0, 2PD? , ? ?2,2, 2PC?, 则 220,0,PD nPC n? ? ?所以 2 0,2 2 2 0,xzx y z? ? ? ?不妨设 1z? ，所以 2 (2, 1,1)n ? ，则12121226c o s , 662nnnnnn? ? ? ?， 由图形知 ,二面角 A PD E?为钝角 ,所以二面角 A PD E?的余弦值 为 66?. 20. 解 :(1)由题意知 , ? ?2 2 4 2 1ac? ? ? ,又 22ca?，所以 22a? ， b=c=2 ，所以 椭圆的标准方程为 22184xy?(2)设 ? ?,4AAA x kx ? , ? ?,4BBB x kx ? ,则由联立方程组 22284xyy kx? ? ?， 化简得 ? ?222 1 16 24 0k x kx? ? ? ?,由 ? ?232 2 3 0k? ? ? 解得 2 32k?， 由韦达定理 ,得21621AB kxx k? ?，22421ABxx k? ?直线 MB 的方
