1、 - 1 - 内蒙古赤峰市 2018 届高三数学上学期期末考试试题 文 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ? ? ? ?-1 3 , 1 2A x x B x x? ? ? ? ? ? ?,则 AB? （ ） A ? ?1,2? B ? ?1,2 C ? ?1,3 D ? ?1,3? 2. 在复平面内 ,复数 2 izi?对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3. 已知向量 ? ?2,1a? , ? ?,1bx? ，若 ab? 与 ab? 共线 ,则实数
2、 x 的值是（ ） A 2? B 2 C 2? D 4 4. 如图所示 ,程序框图 (算法流程图 )的输出结果是（ ） A 15B 2524C.316D 345. 函数 1lg1y x? ?的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著 ,书中有如下问题 :“ 今有女不善织 ,日减功迟 ,初日织五尺 ,末日织一尺 ,今共织九十尺 ,问织几日 ?”, 已知 “ 日 减功迟 ” 的具体含- 2 - 义是每天比前一天少织同样多的布 ,则此问题的答案是 （ ） A 25 日 B 40 日 C. 35 日 D 30 日 7. 在一次连环交通事故中 ,只有一个
3、人需要负主要责任 ,但在警察询问时 ,甲说 :“ 主要责任在乙 ” ； 乙说 :“ 丙应负主要责任 ” ； 丙说 “ 甲说的对 ” ； 丁说 :“ 反正我没有责任 ”, 四人中只有一个人说的是真话 ,则该事故中需要负主要责任的人是 （ ） A 甲 B 乙 C. 丙 D 丁 8. 将函数 ? ? cos2f x x? 的图象向右平移4?个单位后得到函数 ?gx,则 ?gx具有性质 （ ） A 图像关于直线2x ?对称 B 在 -44?，上是减函数 C. 最小正周期是 2? D在 -44?，上是偶函数 9. 若变量 ,xy满足约束条件 x+y2,1,0xy?,则 2z x y?的最大值为 （ ）
4、A 0 B 2 C. 3 D 4 10. 一个长方体被一平面截去一部分后 ,所剩几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积为（ ） A 36 B 48 C.64 D 72 11. 已知 12,FF是双曲线 ? ?22: 1 0xyE a bab? ? ? ?的左、右焦点 ,点 M 在 E 的渐近线上 , 且 2MF与 x 轴垂直 ,12 22cos 3MF F?,则 E 的离心率为 （ ） A 2 B 3 C. 2 D 6212. 定义 在 R 上的函数 ?fx满足 ?22f ? ,且对于任意 xR? ,都有 ? ?1 12fx?,则 不 等式? ?22log 2 log 2f x x?的解集
5、为 （ ） - 3 - A ? ?04xx? B ? ?40xx? ? ? C. ? ?4xx? D ? ?4xx? 二、填空题： 本大题共 4 小题 ,每小题 5 分 ,共 20 分 . 13. 将一颗骰子掷两次 ,则第一次出现的点数是第二次出现的点数的 2 倍的概率为 14. 以等腰三角形 ABC 的底边 BC 上的高 AD 为折痕 ,把 ABD 和 ACD 折成互相垂直的两个平面 ,则下列四个命题 : AB CD? ； ABC 为 等腰直角三角形 ； 三棱锥 D ABC? 是正三棱锥 ； 平面 ABD? 平面 BCD ； 其中正确的命题有 (把所有正确命题的序号填在答题卡上 ) 15.
6、已知直线 : 3 3 0l x y? ? ?与抛物线 2 4yx? 相交于 ,AB两点 ,与 x 轴相交于点 P ,若? ?O P m O A nO B m m? ? ?,则 nm? 16. 若数列 ?na 中 , 1 1a? , 1 31nna a n? ? ? ? , *nN? ,则 1 2 2na a a? ? ? 三、解答题 :共 70 分。解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题 ,每个试题考生都必须作答 ,第 22 23 题为选考题 ,考生根据要求作答 . （一）必考题：共 60 分 17. 在 ABC 中 , ,abc分别是角 ,ABC 所对的 边 ,
7、已知 ? ?1 cos , 3 sinm A C? , ? ?,n ca? ,且 mn? . （ 1） 求角 A 的大小 ； （ 2）若 1a? ,且 ABC 的面积为 34,求 bc? 的值 . 18. 2017 年 5 月 14 日 ,第一届 “ 一带一路 ” 国际高峰论坛在北京举行 ,为了解不同年龄的人对“ 一带一路 ” 关注程度 ,某机构随机抽取了年龄在 15 75? 岁之间的 100 人进行调查 ,并按年龄绘 制 成 频 率 分 布 直 方 图 , 如图所示 , 其分组区间为 : 15,25) , 25,35) ,35,45) ,45,55) ,55,65) ,65,75) .把年龄
8、落在区间 15,35) 和 35,75) 内的人分别称为“ 青少年 ” 和 “ 中老年 ” . (1)根据频率分布直方图求样本的中位数 (保留两位小数 )和众数 (2)根据已知条件完成下面的 22 列联表 ,并判断能否有 99%的把握认为关注 “ 带一路 ” 是否和年龄段有关 ? - 4 - 关注 不关注 合计 青少年 15 中老年 合计 50 50 100 附 :参考公式 ? ? ? ? ? ?22d= n a d b ca b c d a cK b? ? ? ?，其中 cdn a b? ? ? ? 临界值表： ? ?2 0P K K? 0.05 0.010 0.001 0K 3.841 6
9、.635 10.828 19. 如图 , 在 四 棱 锥 P ABCD? 中 , 棱 PA? 底面 ABCD, 且AB BC? , /AD BC , 22PA AB BC AD? ? ? ?, E 是 PC 的中点 . (1)求证 :DE? 平面 PBC ； (2)求三棱锥 A PDE? 的体积 . 20. 已知 12,FF是椭圆 ? ?22: 1 0xyM a bab? ? ? ?的左、右焦点 ,点 ? ?2, 3A? 在椭圆 M 上 ,且离心率为 12e?(1)求椭圆 M 的方程 ； - 5 - (2)若 12FAF? 的角平分线所在的直线 l 与椭圆 M 的另一个交点为 ,BC为椭圆 M
10、 上的一点 ,当ABC 面积最大时 ,求点 C 的坐标 . 21. 已知函数 ? ? ? ?1 ln 0 ,f x a x a a Rx? ? ? ?， (1)若 2a? ,求函数 ?fx的极值及单调区间 ； (2)若在区间 (0,e 上至少存在一点 0x ,使 ? ?0 0fx? 成立 ,求实数 a 的取值范围 . (二 )选考题 :共 10 分 .请考生在第 22、 23 二题中任选一题做答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分 . 22.选修 4-4： 极坐标系与参数方程 (10 分 ) 在直角坐标系 xOy 中 ,曲线的参数方程为 2cos3sin3xy? ?(? 为参数 ),将曲线 1
11、C 上各点的横坐标都缩短为原来的 12倍 ,纵坐标坐标都伸长为原来的 3 倍 ,得到曲线 , 在极坐标系 (与直角坐标系 xOy 取相同的 长度单位 ,且以原点 O 为极点 ,以 x 轴非负半轴为极轴 )中 ,直线 l 的极坐标方程为 cos 2 24? ?. (1)求直线 l 和曲线 2C 的直角坐标方程 ； (2)设点 Q 是曲线 2C 上的一个动点 ,求它到直线 l 的距离的最大值 . 23.选修 4-5：不等式选讲 (10 分 ) 已知函数 ? ? 12f x x x? ? ? ?的最小值为 a (1)求实数 a 的值 ； (2)若 ,x yz R? ,且 1 1 135ax y z?
12、 ? ?,求证 : 3 5 3x y z? ? ? . - 6 - 参考答案 一、选择题 1-5:ACBCC 6-10:DABDB 11、 12： DA 二、填空题 13.11214. 15.3 16. 23nn? 三、解答题 17. 解析 :(1)由题意 mn? , ? ?1 co s 3 sin 0c A a C? ? ? ? 根据正弦定理得 : ? ?s in 1 c o s s in 3 s in 0C A A C? ? ? ?,即 3sin 1 cosAA? 所以 3sin cos 1AA?,利用辅助角公式得 1sin62A ? ?， 又因为 ,()0A ? ,所以3A?(2)由题意
13、 13sin24S bc A?,且3A?,得 1bc? ， 又因为在 ABC 中 ,由余弦定理有 ： 2 2 2 2 cosa b c bc A? ? ? ，即 222bc?， 所以 ? ?2 22b c bc? ? ? 即 ? ?2 4bc?又 ,0bc? ， 2bc? 18. 解 :(1)根据频率分布直方图可知样本的众数为 40,因为 ? ?10 0.015 0.030 0.45? ? ? 设样本的中位数为 x ,则 ? ?3 5 0 .0 3 5 0 .5 0 .4 5x ? ? ? ?,所以 1035 36.437x ?,即样 本 的中位数为36.43. (2)依题意知 ,抽取的 “
14、青少年 ” 共有 ? ?1 0 0 0 0 1 5 0 .0 3 0 1 0 4 5? ? ? ?人 ,“ 中老年人 ” 共有100 45 55?人 ,完成 22? 列联表如 下： 关注 不关注 合计 青少年 15 30 45 中老年 35 20 55 合计 50 50 100 结合数据得 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 22 1 0 0 ( 3 0 3 5 2 0 1 5 )= 9 . 0 9 15 5 5 0 5 5d 45n a d b ca b c d a c bK ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 因为 ? ?2 6.635 0.01PK ?， 9.091 6.635? ，
15、所以有 99% 的把握认为 关注 “ 一带一路 ” 和年龄- 7 - 段有关 . 19. (1) 证明 : 取 PB 中点 H , 连接 ,AHEH , PA? 底面 ABCD , BC? 底面ABCD , PA BC? BC AB? ,且 PA AB A? BC? 平面 PAB ,又 AH? 平面 PAB ,所以BC AH? . 又 PA AB? ,H 为 PB 的中点 , AH PB? ,又 BC PB B? , AH? 平面 PBC ,在 PBC中 , ,HE分别为 ,PBPC 中点 , 12HE BC?,又 2BC AD? , /AD BC , /AD HE? ， AD HE? 四边形
16、 ADEH 是平行四边形 , /AH DE 、 DE? 平面 PBC . (2)解 :由 (1)知 ,BC PB? ， AD PB? ,又 PB AH? ,且 AH AD A? , PB?平面 ADEH , PH? 是三棱锥 P ADE? 的高 ,又可知四边形 ADEH 为矩形 ,且1AD? , 2AH? , 所以13A P D E P A D E A D EV V S A H? ? ? ? ? 1 1 2 122 3 3A D E HS A H? ? ? ? ?矩形 . 另解 :E 是 PC 的中点 , E 到平面 PAD 的距离是 B 到平面 PAD 的距离的一半 ， 所以 1 1 11
17、2 13 2 3B PADV ? ? ? ? ? ? ?. 20. 解 :(1)由椭圆 M 经过点 ? ?2, 3A? ,离心率 12e?,可得 22491a12bca? ? ?,解得 2216, 12ab?,所以椭圆的标准方程为 22116 12xy? (2)由 (1)可知 ? ? ? ?122,0 , 2,0FF? ,则直线 2AF 的方程 ? ?3 24yx?,即 3 4 6 0xy? ? ? 直线 1AF 的方程 2x? ,由点 A 在椭圆 M 上的位置易知直线 l 的斜率为正数 ， 设 ? ?,Pxy 为直线 l 上任意一点 ,则223 4 6 23 ( 4)xy x? ? ， 解得
18、 2 1 0xy? ? ? 或 2 8 0xy? ? ? (斜率为负数 ,舍去 ) ?直线 l 的方程为 2 1 0xy? ? ? ,设过 C 点且平行于 l 的直线为 20x y m? ? ? 由 22116 1220xyx y m? ? ? ?,整理得 ? ?221 9 1 6 4 1 2 0x m x m? ? ? ? 由 ? ? ? ?2 21 6 4 1 9 4 1 2 0mm? ? ? ? ? ?,解得 2 76m? ,因为 m 为直线 20x y m? ? ? 在 y 轴上的截- 8 - 距 ,依题意 , 0m? ,故 2 19m? 解得 16 1919x?， 16 1919y?， 所以 C 点的坐标为 16 19 16 19,19 19?21. 解 :(1)当 2a? 时 , ? ?221 xfx x?,令 )( 0f x? ,解得 12x?,又函数 ?
