1、 1 2018届高三年级第一学期期中考试试题 数学（文科） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1在复平面内，复数 z 的对应点为 （ 1， -1） ，则 ( 2)z i z?=（ ） A.22i? B.2 C.0 D.2i 2 已知集合 1| 0 3xAxx ?，集合 ? ?| 1 5 B x N x? ? ? ? ?，则 AB?（ ） A. ? ?0,1,3,4,5 B. ? ?0,1,4,5 C. ? ?1,4,5 D. ? ?1,3,4,5 3 “ 33ab? ” 是 “ ln lnab? ” 的（ ） A. 充
2、分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4 直线 l1： 2x+(m+1)y+4=0 与直线 l2:mx+3y-2=0平行，则 m的值为 ( ) A.2 B.-3 C.2或 -3 D.-2或 -3 5 记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和若 4524aa? ， 6 48S? ，则 na 的公差为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6 在 ABC? 中， E ， F 分别为边 AB ， AC 上的点，且 2AE EB? ， AF FC? ，若 3AB? ， 2AC? ， 60A?，则 BFEF? =（ ） A. 72 B. 92 C.
3、134 D. 154 7一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（） A. 2? B.24? C. 4? D. 22? 8 数列 na 中，已知对任意正整数 n ，有 1 2 3 . 2 1nna a a a? ? ? ? ? ?，则 2 2 212 . na a? ? ? ?（ ） A. ? ?221n? B. ? ?1 413 n? C. ? ?1 213 n? D. 41n? 2 9 函数 ? ? ? ?sinf x A x?，（其中 0A? ， 0? ， 2? ）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2倍，得到的图象表示的函数可以为（ ） A. ? ?
4、 sin3f x x ?B. ? ? sin 43f x x ?C. ? ? sin6f x x ?D. ? ? sin 46f x x ?10 某校高 三 (1)班每周都会选出两位 “ 进步 之星 ” ，期中考试之 后 一周 “ 进步 之星 ” 人选揭晓之前，小马说： “ 两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生 ” ，小赵说： “ 一定没有我，肯定有小宋 ” ，小宋说： “ 小马、小谭二人中有且仅有一人是 进步 之星 ” ，小谭说： “ 小赵说的对 ”. 已 知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则 “ 进步 之星 ”是（ ） A. 小赵、小谭 B. 小马、小宋 C. 小马、小谭 D.
5、 小赵、小宋 11 已知实数 满足 若 的最大值为 10，则 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 12 已知函数 12 ln ,y a x x ee? ? ?的图象上存在点 P .函数 2 2yx? ? 的图象上存在点 Q ，且,PQ关于原点对称，则 a 的取值范围是（ ） A. 23,e? B. ?2,e? ? C. 2214,ee?D. 13,4e?二、填空题 :(本大题共 4小题，每小题 5分共 20分 .) 13 若 1( , ) , ta n ( )2 4 7? ? ? ? ?， 则 cos? =_. 14 已知实数 ( 3,1)a? ， 11( , )84b? ， 则
6、ab 的取值范围是 _ 15 长方体的长，宽，高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O的球面上，则球 O的表面积为 _. 16 在研究函数 22( ) 4 1 2 4 0f x x x x? ? ? ? ?的性质时，某同学受两点间距离公式启发 将 ()fx变形为， 2 2 2 2( ) ( 0 ) (0 2 ) ( 6 ) (0 2 )f x x x? ? ? ? ? ? ? ?， 并给出关于函数 ()fx以下五个 描述 ： 3 函数 ()fx的图像是中心对称图形； 函数 ()fx的图像是轴对称图形； 函数 ()fx在 0,6上 是 增函数； 函数 ()fx没有最大值也没有最小值； 无论 m 为
7、何实数，关于 x 的方程 都有实数根 . 其中描述正确的是 _. 三、解答题：（本大题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17 设数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，点 ? ?*, nSn n Nn?均在函数 32yx?的图象上 . （ 1）求证：数列 ?na 为等差数列； （ 2）设 nT 是数列12nnaa?的前 n 项和，求 nT . 18 在 ABC? 中 ， 3B ? ， 2BC? （ 1）若 3AC? ，求 AB 的长 （ 2）若点 D 在边 AB 上 ， AD DC? ， DE AC? ， E 为垂足 ， 62ED? ，求角 A 的值 .
8、19 某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为 x 万元时，销售量 t 万件满足125 3t x? ，现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品 t 万件还需投入成本 ? ?10 2t? 万元（不含促销费用），产品的销售价格定为 205t?万元 /万件 . （ 1）将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数； （ 2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大 . 20 在三棱锥 P ABC? 中， PAC? 和 PBC? 是边长为 2 的等边三角形， 2AB? ， ,OD分别是 ,ABPB 的中点 . （ 1）求证： /OD 平面 PAC ； （ 2）求证 : OP? 平面
9、ABC ； （ 3）求 三棱锥 D ABC? 的体积 . 4 21 已知函数 ? ? 22 ln ,f x x a x a Rx? ? ? ? . (1）若函数 ?fx在 ? ?1,? 上单调递增，求实数 a 的取值范围 . (2）记函数 ? ? ? ?2 22g x x f x x? ? ? ? ?，若 ?gx的最小值是 6? ， 求函数 ?fx的解析式 . 22 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 2 cos (2 2 sinxy ? ? ?为参数） M 是 1C 上的动点，P 点满足 2,OP OM P? 点的轨迹为曲线 2C （ 1） 求曲线 2C 的 普通 方程； （
10、 2） 在以 O 为极点 ,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 3? 与 曲线 1C 的异于极点的交点为 A ， 与曲线 2C 的异于极点的交点为 B ，求 AB 石嘴山市第三中学 2018届高三年级第一学期期中考试试题 数学（文科）参考答案 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B C C B A B A A C A 二、填空题 :(本大题共 4小题，每小题 5分 共 20 分 .) 13 14 15. 16 三、解答题：（本大题共 6小题，共
11、 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17 (1)见解析 ;（ 2） nT? 261nn? . 【解析】 试题分析： (1)先求出 nS ,然后利用 2n? 时， 1n n na S S ? 代入求解 ,最后验证首项即可 ; (2)将12nnaa?进行裂项 ,即12 1 1 13 6 5 6 1nna a n n?,然后进行求和 ,消去一些项即可求出数列12nnaa?的前 n项和 . 试题解析： (1)依题意， 32nS nn ?，即 232nS n n?， 2n? 时， ? ? ? ? ? ?221 3 2 3 1 2 1n n na S S n n n n? ? ? ?
12、? ? ? ? ? 65n? 当 1n? 时， 111aS?符合上式， 所以 ? ?*65na n n N? ? ?. 又 ? ?1 6 5 6 1 5 6nna a n n? ? ? ? ? ? ? ?， ?na 是一个以 1为首项， 6为公差的等差数列 . （ 2）由（ 1）知， ? ? ? ?12 2 1 1 13 6 5 6 16 5 6 1 5nna a n nnn? ? ? ? ? ? ?， 故 1 1 1 1 1 113 7 7 1 3 6 5 6 1nT nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 213 6 1 6 1
13、nnn? ? ?. 18 （ 1） 61AB?；（ 2） 4A ? . 【解析】 试题分析 : 先求 CD，在 BCD中，由正弦定理可得： sin sinBC CDBDC B? 结合 BDC=2 A，即可得结论 解：（ 1）设 AB x? ，则由余弦定理有： 2 2 2 2 c o sA C A B A C A B A C B? ? ? ? 即 2 2 23 2 2 2 c o s 6 0xx? ? ? ? ? 解得： 61x? 所以 61AB? （ 2）因为 62ED? ，所以 6s in 2 s inEDA D D C AA? ? ?. 在 BCD? 中，由正弦定理可得： sin sinB
14、C CDBDC B? ， 因为 2BDC A? ? ? ，所 以 26sin 2 2 sin sin 6 0AA? ?. 所以 2cos 2A? ，所以 4A ? . 19 （ 1） y=25（ 363x? +x），（ 0x ? ）（ 2） 见解析 【解析】 试题分析： （ 1）利润为总销售所得减去投入成本和促销费用，得 y=t(5+20t ） ) (10+2t） x=3t+10 x， 又销售量 t 万件满足 t=5 123x? ， 整理化简可得 y=25（ 363x? +x） ；（ 2）将函数方程整理为对勾函数形式 y =28（ 363x? +x+3）， 利用基本不等式得到 363x? =
15、x +3， 即 x =3时，得到利润最大值为 16。 试题解析 ： （ 1）由题意知，利润 y=t(5+20t ） ) (10+2t） x=3t+10 x 由销售量 t万件满足 t=5 123x? （ 0x? ） 代入化简可得： y=25（ 363x? +x），（ 0x ? ） （ 2） 由（ 1）知 y =28（ 363x? +x+3） 28 12 16? ? ? ， 当且仅当 363x? = x +3，即 x =3时，上式取等号 综上所述， 促销费用投入 3万元时，厂家的利润最大 。 . 20 （ 1）见解析（ 2）见解析（ 3） 16 . 【解析】 试题分析： （ 1） 欲证 OD 平面
16、 PAC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OD与平面 PAC内一直线平行，而 ODPA ， PA?平面 PAC， OD?平面 PAC，满足定理条件； （ 2）欲证平面 PAB 平面 ABC，根据面面垂直的判定定理可知在平面 PAB 内一直线与平面 ABC 垂直，而 根据题意可得 PO 平面 ABC； （ 3）根据 OP垂直平面 ABC得到 OP为三棱锥 P-ABC的高，根据三棱锥的体积公式可求出三棱锥 P-ABC的体积又因为 D为 PB中点，所以高是 PO的一半 . 试题解析：（ 1） ,OD分别为 ,ABPB 的中点， /OD PA . 又 PA? 平面 PAC , OD? 平面 PA
17、C ， /OD 平面 PAC . （ 2）连接 ,OCOP , O 为 AB 中点， 2AB? , ,1OC AB OC?. 同 理， ,1PO AB PO?. 又 2PC? ， 2 2 2 2PC OC PO? ? ?， 90POC? ? ? . PO OC? . ,P O O C P O A B A B O C O? ? ? ?， PO? 平面 ABC . （ 3）由（ 2）可知 OP? 平面 ABC ， OP 为三棱锥 P ABC? 的高，且 1OP? . 1 1 1 12 1 16 6 2 6D A B C A B CV S O P? ? ? ? ? ? ?. 21 （ 1） 0a? ；（ 2） ? ? 22 6 lnf x x xx? ? ? 【解析】 试题分析：（ 1）由 ? ?22 2 0afx xx? ? ?，知 2 2axx? 在 1?， ） 上恒成立
