1、 1 2016-2017 学年度第一学期高三期末自主检测 数学 (理科 ) 注意事项： 1本试题满分 150分，考试时间为 120 分钟 2使用答题纸时，必须使用 0 5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效 3答卷前将密封线内的项目填写清楚 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分在每小题给 出的四个选项 中，只有一个选项符合题目要求 1设集合 U=R ，集合 ? ? ? ?22A = l o g 1 , 2 3 0x x B x x x? ? ? ? ?，则 ? ?UC A B? = A ? ?2,3 B ? ?1,2
2、? C ? ?1,0? D ? ? ? ?1,0 2,3? 2设 0 .0 1 92 , lg 2 , s in 5a b c ? ? ?，则 a， b， c的大小关系为 A abc B acb C bac D cab 3己知函数 ? ? 2y f x x?是偶函数，且 ?12f ? ，则 ? ?1f ? = A 2 B 2 C 0 D 1 4已知 l为一条直线， ,?为两个不同的平面，则下列说法正确的是 A若 / / , / /l ? ? ，则 /l ? B若 ,l? ? ?，则 l ? C若 / / ,l ? ? ，则 l ? D若 , / /l ? ? ，则 l ? 5已知 ? ?12t
3、 a n , t a n25? ? ? ? ? ?，那么 ? ?tan 2? 的值为 A 34? B 112? C 98? D 98 6若变量 ,xy满足 4 3 0,3 5 25 0,1,xyxyx? ? ? ? ?，实数 2z 是 2x和 y的等差中项，则 z的最大值为 A 3 B 6 C 12 D 15 2 7在 ABCD中，已知 AB=2， AD=l， BAD=60，若 E， F分别是 BC， CD的中点， 则 BFDEuuur uuurg = A 2 B 2 C 54 D 54? 8给出定义：设 ?fx? 是函数 ? ?y f x? 的导函数， ?fx? 是函数 ?fx? 的导函数，
4、若? ? 0fx? ? 方程有实数解 0x ，则称点 ? ? ?00,x f x 为函数 ?fx的“拐点”已知函数? ? 2 s in c o sf x x x x? ? ?的拐点是 ? ? ?00,M x f x ，则直线 OM 的斜率为 A 2 B 12 C 1 D 4? 9过双曲线 ? ?22 1 0 , 0xy abab? ? ? ?的右焦点 F 作该双曲线一条渐近线的垂线交此渐近线于点 M，若 O为坐标原点， OFM的面积是 212a ，则该双曲线的离心率是 A 2 B 2 C 52 D 5 10.对任意实数 a， b，定义运算 ?“ ” ： ,1,b a baba a b? ?设
5、? ? ? ? ? ?2 14f x x x? ? ? ?，若函数 ? ?y f x k?有三个不同零点，则实数 k的取值范围是 A ? ?1,2? B. ? ?0,1 C ? ?1,3? D ? ?1,1? 二、填空题：本大题共有 5个小题，每小题 5分，共 25分 11计算：00212lo g s in 1 5 lo g s in 7 5?= 12若抛物线 y2=8x 的准线被圆心为抛物线的焦点的圆截得的弦长为 6，则该圆的标准方程为 13若函数 ? ? ? ?lg 2 3f x x x a? ? ? ? ?的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是 14一个几何体的三视图如右图所示，则这个
6、几何体的体积为 15已知数列 ?na 是各项均不为零的等差数列， nS 为其前 n3 项和，且 ? ?21nna S n N ?若不等式18nnan? 对任意 nN? 恒成立， 则实数 ?的最大值为 三、解答题：本大题共 6个小题，共 75分 16 (本小题满分 12分 ) 已知函数 ? ? ? ? ? ?c o s 2 3 c o s , 02f x x x x R? ? ? ? ? ? ? ? ?满足? ? ?2 , 2f m f n? ? ?，且 mn? 的最小值为 2? (1)求 ? 的值，并求函数 ?fx的单调递增区间； (2)将函数 ?fx的图象向右平移 3? 个单位得到函数 g(
7、x)的图象，已知 a 为 ABC 中角 A的对边，若 g(A)=1， a=4，求 ABC面积的最大值 17 (本小题满分 12分 ) 如图，四棱锥 V-ABCD的底面是直角梯形， VA面 ABCD， AD BC， AD CD， VA=AD=CD=12 BC=a,点 E是棱 VA 上不同于 A， V的点 (1)求证：无论点 E在 VA如何移动都有 AB CE； (2)设二面角 A BE D 的大小为 ? ， 直线 VC与平面 ABCD所成的角为 ? ，试确定点 E的位置使 2tan tan 2? 18 (本小题满分 12分 ) 在数列 ? ? ?,nnab中， ? ?1 1 1 11 , 2 ,
8、 1 , 1n n n na b a b b a n N ? ? ? ? ? ? ? (1)求数列 ? ? ? ?,n n n nb a a b?的通项公式； (2)设 nS 为数列的前 n项 的和，求数列 ? ?14 1 1 nnS? ? ?的前 n项和 Tn. 4 19 (本小题满分 12分 ) 随着旅游业的发展，玉石工艺品的展览与销售逐渐成为旅游产业文化的重要一环某 工艺品厂的日产量最多不超过 15 件，每日产品废品率 p 与日产量 x(件 )之间近似地满 足关系式 ? ?22 , 1 91220 , 1 0 1 5480xxP x Nxx? ? ? ?， (日产品废品率 = 100%?
9、日 废 品 量日 产 量) 已知每生产一件正品可赢利 2千元，而生产一件废品亏损 1千元 (1)将该厂日利润 y(千元 )表示 为日产量 x(件 )的函数； (2)当该厂的日产量为多少件时，日利润最大 ?最大日利润是多少 ? 20 (本小题满分 13分 ) 已知椭圆 ? ?22C 1 0xy abab? ? ? ?： 的焦距为 22， F1， F2为其左右焦点， M为椭圆上一点，且 F1MF2=60，12233FMFS ? (1)求椭圆 C的方程； (2)设直线 :l y kx m?与椭圆 C相交于 A、 B两点，以线段 OA， OB 为邻边作 平行四边形OAPB，其中顶点 P在椭圆 C上，
10、O为坐标原点，求证：平行四边形 OAPB的面积为定值 21 (本小题满分 14分 ) 已知函数 f(x)=ln x (1)判断函数 ? ? ? ? 1g x af x x?的单调性； (2)若对任意的 x0，不等式 ? ? xf x ax e?恒成立，求实数 a的取值范围； (3)若 120xx?，求证： ? ? ? ?12 2221 2 1 22f x f x xx x x x? ?. 5 高三数学理 科参考答案及评分标准 一、选择题 D A B D B C D A B A 二、填空题 11. 2? 12. 22( 2) 25xy? ? ? 13. 1a? 或 5a? 14. 443 15.
11、 25 三、解答题 16.解：（ 1） ( ) c o s 3 s i n 2 c o s ( )3f x x x x ? ? ? ? ? ? ? 2分 由题意可知， 22T ? ，所以 T ? ， 故 2 ,2? ? ?， ? 4分 即 ( ) 2 co s(2 )3f x x ?， 而 ()fx在 2 2 , 2 ,3x k k k? ? ? ? ? ? ? Z上单调递增，所以函数 ()fx的单调递增区间为 2 , ,36k k k? ? ? Z. ? 6分 （ 2）由题意可得， ( ) 2 c o s 2 ( ) 2 c o s ( 2 )3 3 3g x x x? ? ? ? ? ?
12、?， ? 7分 由 ( ) 1gA? 可得， 2 cos(2 ) 13A ?，而 (0, )A ? , 可得， 3A ? ， ? 9分 由余弦定理得： 22 1 6 2 c o sb c bc A bc? ? ? ?， 即 221 6 2bc b c bc? ? ? ?，得 16bc? ，当且仅当 bc? 时“ =”成立， ? 11 分 所以 13s in 4 324ABCS b c A b c? ? ? ?， ? 12分 故 三角形面积的最大值为 43. 17.解： (1)证明：连接 AC ,在直角梯形 ABCD 中 ， 2 , 2 , 2A C a A B a B C a? ? ?， 所以
13、 2 2 2BC AC AB?,所以 AB AC? ， ? 1分 6 又因为 VA? 平面 ABCD ， AB? 平面 ABCD ，所以 AB AV? , ? 2分 而 AV AC A?I ,所以 AB? 平面 VAC ， ? 3分 CE? 平面 VAC ， 所以 AB CE? . ? 4分 （ 2）取 BC 中点 F ，以点 A 为坐标原点， ,AF AD AV， 所在的直线为 ,xyz 轴，建立空间 直角坐标系 A xyz? ，不妨设(0 1)AE AV? ? ?, 可得 ( , , 0 ) , ( 0 , , 0 ) , ( 0 , 0 , )B a a D a E a? ， 故 ( ,
14、 , 0 ) , ( 0 , 0 , )A B a a A E a? ? ?uuur uuur， ? 5分 设 ( , , )x y z?m 为平面 ABE 的一个法向量，则 = 0, = 0AB AEmmuuur uuurgg，可得 00xyz? ? ， 令 1x? 可得， (1,1,0)?m ， ? 6分 又 ( 0 , ) , ( , 2 , 0 )D E a a D B a a? ? ? ?， ， 设 ( , , )x y z?n 为平面 DBE 的一个法向量， 则 020yzxy? ? ? ?，令 1z? ，可得 (2 , ,1)?n ， ? 7分 故23c o s , =| | |
15、 2 5 1? ? ? ?mnmn mng，即23co s 2 5 1? ? ? 8分 因为 AC 为 VC 在平面 ABCD 内的射影，所以 CAV ?，在 Rt VAC? 中，2ta n 22A V aAC a? ? ? ?, ? 9分 7 所以 2tan tan 2? ，所以 tan 1? ， 2cos 2? ， ? 10分 即232= 22 5 1? ? ，解得 1=2? 或 12? ， ? 11分 又 01?，所以 12? ， 点 E 为 VA的中点 .? 12分 18.解：（ 1）因为 1 1nnab? ?， 1 1nnba? ?， 所以 11 ()n n n nb a b a?
16、? ? ?， 即数列 nnba? 是首项 为 1，公比为 1? 的等比数列， 所以 111 ( 1 ) ( 1 )nnnnba ? ? ? ? ? ?. ? ? 3分 11 ( ) 2n n n na b a b? ? ? ?，且 113ab?， 所以数列 nnab? 是首项为 3，公差为 2 的等差数列， 故 3 2 ( 1 ) 2 1nna b n n? ? ? ? ? ?. ? ? ? 6分 （ 2）由121( 1)nnnnna b nba? ? ? ? ? ?，得 11 1 ( 1) 2 nnbn ? ? ? ?，? ? ? ? ? ? 7分 2 21 1 ( 1 ) 24 nn nn
17、S ? ? ? ?， ? ? 9分 所以21 1 1 1 1()4 1 ( 1 ) 2 ( 2 ) 4 2nnS n n n n? ? ? ? ? ? ? ? 10分 故 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 )4 3 2 4 3 5 1 1 2nT n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?L3 1 1 1()8 4 1 2nn? ? ? 23 2 38 4 8 12nnn? ? ? 12分 19.解：（ 1）由题意可知，当 19x?时， 21 8 22 (1 ) 12xxy x p p x x? ? ? ? ?， ? 2分 8 当 10 15x? 时， 2152 (1 ) 8 1 6 0xxy x p p x? ? ? ? ?， ? 4分 所以 该厂日利润231 8 2 ,1 91215 ,1 0 1 58 1 6 0xx xxyxx x? ? ? ? ? ? ? ?. ? 5分 （ 2）当 19x?时，令 222 4 8 2 1 6 0(1 2 )xxy x? ?，解得 6x? （ 18x? 删 ）， ? 6分 当 16x?时， 0y? ，函数单调递增， 当 69x?时， 0y? ，函数单调递减， 而 6x? 时， ma
