1、 1 上海市宝山区 2018 届高三数学上学期期末教学质量监测试题 本试卷共有 21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、填空题 (本大题共有 12题，满分 54分 ，其中第 1题至第 6题每题 填对得 4分，否则一律得零分 ；第 7题至第 12题每题 填对得 5分，否则一律得零分 )考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 设 集合 ? ? ? ?AB2 3 4 1 2 0 1 2 3?， ， ， ， ， ， ， 则 AB?I 2. nnnnnlim5757? ? ? 3. 函数 y cos x22 (3 ) 1?的最小正周期为 4. 不等式 xx 2 11? ?
2、的解集为 5. 若 iz i23? （其中 i 为虚数单位 ），则 Imz? 6. 若从五个数 1 0 1 2 3? ， ， ， ， 中任选一个数 m ，则 使得函 数 f x m x2( ) ( 1) 1? ? ?在 R上 单调递增 的概率为 （结果用最简分数表示） 7. 在 nxx23()?的二项展开式中 ， 所有项的二项式系数之和为 1024， 则常数项的值等于 8. 半径 为 4 的圆内接三角形 ABC 的面积是 116 ， 角 A B C、 、 所对应的边依次为a b c、 、 ，则 abc 的值为 9. 已知 抛物线 C 的顶点为坐标原点 ， 双曲线 xy22125 144?的右焦
3、点是 C 的焦点 F 若斜率为 1? ， 且过 F 的直线与 C 交于 AB， 两点 ，则 AB? 10. 直角坐标系 xOy 内有点 PQ( 2 1) (0 2)? ? ?， 、 ，将 POQ 绕 x 轴旋转一周，则所得几何体的体积为 11. 给出 函数 g x x bx2()? ? ? ， h x mx x2( ) 4? ? ? ?，这里 b m x R?， ， ，若不等式2 g x b( ) 1 0? ? ?（ xR? ）恒 成立 ， hx( ) 4? 为奇函数 ， 且函数 ? ? ?g x x tfx h x x t()() ()? ? ? ?恰有两个零 点 ， 则实数 t 的取值范围
4、为 12. 若 n （ n3? ， nN? ） 个不同的点 n n nQ a b Q a b Q a b1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( )L， 、 ， 、 、 ，满足 ：na a a12? ? ?L ， 则称点 nQ Q Q12L、 、 、 按横序排列设四个实数 k x x x1 2 3， ， ， 使得 k x x x x223 1 3 22 ( ) 2? ， ，成等差数列，且两函数 y x y x2 1 3? ? ?、 图象的 所有 交点P x y1 1 1()， 、 P x y2 2 2()， 、 P x y3 3 3()， 按横序排列，则实数 k 的值为 二、选择题（本大题共有
5、 4题，满分 20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分 13. 关于 xy， 的二元一次方程组 xyxy3 4 13 10? ?的增广矩阵为 （ ） （ A ） 3 4 11 3 10?（ B ） 3 4 11 3 10?（ C ） 3 4 11 3 10?（ D ） 3 4 11 3 10?14. 设 P P P P1 2 3 4， ， ， 为空间中 的 四个不同点 ， 则 “ P P P P1 2 3 4， ， ， 中有三点在同一条直线 上”是 “ P P P P1 2 3 4， ， ， 在同一个平面上” 的 （ ）
6、 （ A ） 充分非必要条件 （ B ） 必要非充分条件 （ C ） 充要条件 （ D ）既 非充分又非必要条件 15. 若函数 y f x( 2)?的图象与函数 y log x3 2?的图象关于直线 yx? 对称，则 fx()? （ ） （ A ） x223? （ B ） x213? （ C ） x23 （ D ） x213? 16. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积设： 数列甲： x x x1 2 5L， ， ， 为递增数列，且 ixN? （ i 1 2 5? L， ， ， ）； 数列乙： y y y y y1 2 3 4 5， ， ， ，满足 ? ?iy 11?，
7、 （ i 1 2 5? L， ， ， ） 3 c a b2 1 141 1 1?则在甲、乙的所有内积中 （ ） （ A ）当且仅当 1 2 3 4 51 3 5 7 9x x x x x? ? ? ? ?， ， ， ，时，存在 16个不同的整数，它们同为奇数； （ B ）当且仅当 1 2 3 4 52 4 6 8 1 0x x x x x? ? ? ? ?， ， ， ，时，存在 16个不同的整数，它们同为偶数； （ C ）不存在 16个不 同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数； （ D ）存在 16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数 三、解答题（本大题共有 5题，满分 76分）解答下列各
8、题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. （本题满分 14 分） 本题共有 2 个小题，第 1 题满分 6 分，第 2 题满分 8 分 如图，在长方体 ABCD A B C D1 1 1 1? 中， 已知 AB BC 4?， DD1 8? ， M 为棱 CD11的中点 （ 1）求四棱锥 M ABCD? 的体积； （ 2）求直线 BM 与平面 BCCB11 所成角的正切值 18. （本题满分 14 分） 本题共有 2 个小题，第 1 题满分 6 分，第 2 题满分 8 分 已知函数 xf x sin2( ) 1 2 2? （ 1）求 fx()在 322?，上的单调递减区间； （
9、2）设 ABC 的内角 A B C， ， 所对应的边依次为 a bc， ， ，若 4 且 fC1()2? ，求 ABC 面积的最大值，并指出此时 ABC 为何种类型的三角形 19. （本题满分 14 分） 本题共有 2 个小题，第 1 题满分 6 分，第 2 题满分 8 分 设数列 ? ? ? ?nnab， 及函数 fx()（ xR? ）， nnb f a()? （ nN? ） （ 1） 若 等比数列 ?na 满足 aa1213?， ， f x x( ) 2? ，求 数列 ? ?nnbb1? 的 前 n（ nN? ）项和； （ 2） 已知 等 差 数列 ?na 满足 xa a f x q122
10、 4 ( ) ( 1 )? ? ? ?， ， （ q?、 均 为常数， q0? ，且 q1? ）， nnc n b b b123 ( )? ? ? ? ? ?L（ nN? ）试求实数对 q()?， ，使得 ?nc 成等比数列 20. （本题满分 16 分） 本题共有 3 个小题，第 1 题满分 4 分，第 2 题满分 6 分，第 3 题满分 6 分 设椭圆 C ： xyab221?（ ab0?）过点 ( 2 0)?， ，且直线 xy5 1 0? ? ? 过 C 的左焦点 （ 1）求 C 的方程； 5 （ 2）设 xy( 3 )， 为 C 上的 任一 点，记动点 xy()， 的轨迹为 ， 与 x
11、 轴的负半轴， y 轴 的正半轴分别交于点 GH， ， C 的短轴端点关于直线 yx? 的对称点分别为 FF12， 当点 P 在直线 GH 上运动时，求 PF PF12?uuur uuur 的最小值； （ 3）如图，直线 l 经过 C 的右焦点 F ， 并交 C 于 AB， 两点，且 A ， B 在直线 x 4?上的射影依次为 D ， E 当 l 绕 F 转动 时，直线 AE 与 BD 是否相交于定点？若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由 21. （本题满分 18 分） 本题共有 3 个小题，第 1 题满分 4 分，第 2 题满分 6 分，第 3 题满分 8 分 设 zC? ，且 ? ? ?
12、z R ezfzz R ez0()0? ? ?， （ 1）已知 f z f z z i2 ( ) ( ) 4 2 9? ? ? ? ?（ zC? ），求 z 的值 ； （ 2）设 z （ zC? ） 与 Rez 均不为零 ，且 nz2 1? （ nN? ） 若存在 kN0 ? ，使得 ? ? ? ?k kfz fz0 01( ) 2()?， 求证 ： fz fz1( ) 2()?； （ 3）若 zu1? （ uC? ）， nzf1? ? nz 2( nz? 1)? （ nN? ）是否存在 u ， 使得数列 zz12L， ，满足 n m nzz? ? （ m 为常 数， 且 mN? ）对一切正整
13、数 n 均成立 ？若存在，试求出所有的u ； 若不存在 ， 请说明理由 6 参考答案 一、填空题 （本大题共有 12题，满分 54分） 二、选择题（本大题共有 4题，满分 20分） 三、解答题（本大题共有 5题，满分 76分） 17 解：（ 1）因为长方体 ABCD A B C D1 1 1 1? ，所以点 M 到平面 ABCD 的距离就是DD1 8? ，故四棱锥 M ABCD? 的体积为 M ABCDV ? ? ABCDS DD =11 12833? （ 2）（如图）联结 BC1 ， BM ，因为长方体 ABCD A B C D1 1 1 1? ，且 M CD11? ， 所以 MC1? 平面
14、 BCCB11 ，故直线 BM 与平面 BCCB11 所成角就是 MBC1? ， 在 RtMBC1 中，由已知可得 MC C D1 1 11 22?， B C B B B C221 1 1 1 45? ? ?， 因此， MCta n M B CBC 11 1 251045? ? ? ?，即 直线 BM 与平面 BCCB11 所成角的正切值为 510 18 解：（ 1）由 题意可得 f x cosx()? ，故 fx()在 322?，上的单调递减区间为2? ?， 题号 1 2 3 4 5 6 答案 ? ?23， 1? 13 ( 1 )? ?， 2 25 题号 7 8 9 10 11 12 答案
15、405 1 104 4? 2 0) 4 )? ?U， ，1 题号 13 14 15 16 答案 C A C D 7 （ 2）由 已知可得 ab4?， Q fC1()2? ， ?cosC 12? ，又 C (0 )? ， ， ?C 3? 故ABCS absinC12? ab34? ab23 ()42? 3? ，当 ab2? 时取等号，即 ABC 面积的最大值为 3 ， 此时 ABC 是边长为 2 的正三角形 19 解：（ 1）由 已知可得 nna 13? （ nN? ），故 nnb 123? （ nN? ），所以nnbb1? n2143? （ nN? ）， 从而 ? ?nnbb1? 是以 12
16、为首项， 9 为公比的等比数列，故 数列 ? ?nnbb1? 的前 n 项和为 n3(9 1)2 ? （ nN? ） （ 2 ） 依题意得 nan2? （ nN*? ），所以 nb nq2( 1)?（ nN*? ） ， 故nc nqqnq22 23 ( 1 )11? ? ? ? ? （ nN? ），令 qq2230110? ?，解得q132? ?（ q 3 02? ? 舍去）， 因此， 存在q 3( ) ( 1 )2? ?， ， ， 使得数列 ?nc 成等比数列， 且 nnc 33 ( )4? （ nN*? ） 20 解：（ 1）依题意可得 a 2? ，半焦距 c 1? ，从而 b a c2
17、2 2 3? ? ? ， 因此，椭圆 C 的方程为 xy22143? （ 2）因为点 xy( 3 )， 在 C 上，所以 xy22( 3 ) 143?，故轨迹 ： x y2 2 14 ? 不妨设 F1( 3 0)? ， ， F2( 3 0)， ， Px y()， ，则 P F x y1 ( 3 )? ? ? ?u u ur ，PF x y2 ( 3 )? ? ?uuur ，易得直线 GH ： xy2 2 0? ? ? ，故 8 PF PF x y2212 3? ? ? ?uuur uuur y 24 115( )55? ? ? ，所以 当 y 45? ， 即 点 P 的坐标为 24()55? ， 时 ， PF PF12?uuur uuur 取得最小值 115? （ 或这样 ：因为点 P 在直线 GH 上运动，所以当 OP GH? 时，xy22? 取得最小值，故 xy22? 也取得 最小值，此时 ? ?m inxy222 0 2 0 2 455? ? ? ? ?，易得对应点为 垂足 P 24()55? ， ，从而，PF PF12?uuur uuur 的最小值为 ? ? m
