1、“皖南八校”2021 届高三摸底联考 数学（文科） 考生注意： 1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑；第卷请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的 答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：必修全册+选修 2-1，2-2. 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的
2、. 1.已知全集UR，集合 2 1Ax x，0Bx x，则AB （ ） A., 1 B.0,1 C. ,01, D. , 11, 2.已知命题:0px ， 3 3xx.则p为（ ） A.0 x ， 3 3xx B.0 x ， 3 3xx C. 0 0 x， 0 3 0 3xx D. 0 0 x， 0 3 0 3xx 3.执行如图所示的程序框图，若输入的 a，b，c 值分别为 3，4，5，则输出的 a 值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 4.将函数 2sin 2 3 f xx 的图象向左平移 1 4 个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A. 2sin 2 12 g xx B. 2sin
3、 2 6 g xx C. 7 2sin 2 12 g xx D. 2 2sin 2 3 g xx 5.已知向量2,2a ，1,bx，若 /2aab，则b （ ） A.10 B.2 C.10 D.2 6.函数2 sin2 x yx的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7.已知双曲线 22 22 10,0 yx ab ab 的两条渐近线互相垂直， 且焦距为2 6， 则抛物线 2 2ybx的准线 方程为（ ） A.3x B. 3 2 x C.3y D. 3 2 y 8.我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题（意为） ： “有一个人要走 378 里路，第一天健步行走， 从第二天起因脚痛每天走的
4、路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地.”那么，此人第 3 天和第 4 天共 走路程是（ ） A.72 里 B.60 里 C.48 里 D.36 里 9.某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的表面积是（ ） A. 51 2 2 B. 51 2 2 C.3 2 D. 5 2 2 10.若正实数 x，y 满足260 xyxy，则2xy的最小值为（ ） A. 451 B. 451 C.12 D.4 11.若曲线 2 1 x f xaxe 在点 2,2f处的切线与40 xy垂直，则 a 的值为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 12. 已 知 函 数 f
5、xxR满 足 2fxfx， 若 函 数 1x y x 与 yf x图 象 的 交 点 为 112220202020 ,x yx yxy，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ） A.1010 B.-2020 C.2020 D.4040 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知点, a b是平面区域 20 0 1 xy x y ，内的任意一点，则3ab的最小值为_. 14.已知复数 z 满足： 2 7 142izi，则z _. 15.已知各项都为正数的等比数列 n a的前 n 项和为 n S，若 1 1a ， 35 64a a ，则
6、 10 S的值为_. 16.已知偶函数 f x满足 20f xf x，且当0,1x时， x f xx e，若在区间1,3内，函 数 21g xf xkxk有且仅有 3 个零点，则实数 k 的取值范围是_. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写岀必要的文字说眀、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分 10 分） 在三角形ABC中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且sincsinsinsinaACaCbB. （1）求角 B 的大小； （2）若3b ，求三角形ABC面积的最大值. 18.（本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a的公差为0d d ，等差数列 n
7、b的公差为2d，设 n A， n B分别是数列 n a， n b的 前 n 项和，且 1 3b ， 2 3A ， 53 AB. （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）设 1 1 nn nn cb aa ，数列 n c的前 n 项和为 n S，证明： 2 1 n Sn. 19.（本小题满分 12 分） 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ABEDCF和一个四棱锥PABCD组合而成的，其中 2EFEAEB，AEEB，5PAPD，平面/PAD平面EBCF. （1）证明：平面/PBC平面AEFD. （2）若直三棱柱ABEDCF的体积为 1 V，四棱锥PABCD的体积为 2 V，求 1 2 V
8、 V . 20.（本小题满分 12 分） 某工厂生产了一批零件， 从中随机抽取 100个作为样本， 测出它们的长度 （单位： 厘米） ， 按数据分成10,15， 15,20，20,25，25,30，30,355 组，得到如图所示的频率分布直方图.以这 100 个零件的长度在 各组的频率代替整批零件长度在该组的概率. （1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替） ； （2）若用分层抽样的方式从第 1 组和第 5 组中抽取 5 个零件，再从这 5 个零件中随机抽取 2 个，求抽取的 零件中恰有 1 个是第 1 组的概率. 21.（本小题满分 12 分） 已
9、知函数 2 2 x f xemxx（e 为自然对数的底数）. （1）若0m，讨论 f x的单调性； （2）若0,x时， 1 2 e fx 恒成立，求 m 的取值范围. 22.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左焦点 F 在直线33 20 xy上，且22ab. （1）求椭圆的方程； （2）直线l与椭圆交于 A、C 两点，线段AC的中点为 M，射线MO与椭圆交于点 P，点 O 为PAC的 重心，探求PAC面积 S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求 S 的取值范围. “皖南八校”2021 届高三摸底联考数学（文科） 参考答案、解析及评分细则 1.C
10、 , 11,A ，故选 C. 2.C 命题p是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，先改写量词，然后否定结论即可得到，该命题的 否定为“ 0 0 x， 0 3 0 3xx”. 3.D 4B 函数的周期为，将函数 f x的图象向左平移 1 4 个周期即 4 个单位，所得图象对应的函数为 2sin 2 6 g xx . 5.D 因为向量2,2a ，1,bx，所以24,22abx， 因为 /2aab，所以 422 22 x ， 所以1x ，所以2b . 6.D 令 2 sin2 x f xx， 因为xR， 2sin22 sin2 xx fxxxf x ，所以 2 sin2 x f xx为奇函数，排除
11、选 项 A，B； 因为, 2 x 时， 0f x ，所以排除选项 C，选 D. 7.B 由题意 2 22 1 2 6 3 22 ab ，3b . 8.A 记每天走的路程里数为 n a，可知 n a是公比 1 2 q 的等比数列， 由 6 378S ，得 1 6 6 1 1 2 378 1 1 2 a S ，解得 1 192a 23 34 11 192192482472 22 aa . 所以此人第 3 天和第 4 天共走了 72 里. 9.B 由三视图可知该几何体为半个圆锥，所以该几何体的表面积为 222 11 1112 22 S 51 1 2 22 22 . 10.D 因 为260 xyx y
12、， 所 以62xyxy， 因 为x ， y为 正 实 数 ， 所 以 2 11 2 2 222 xy xyxy ，当且仅当2xy时等号成立，所以 2 1 2 62 22 xy xy ，解得 24xy. 11.B 由题意 2 1 x axaefx ， 0 23131faea，直线40 xy的斜率为 1 4 ， 1 1 4 31a ，解得1a . 12.C 函数 f xxR满足 2fxf x， 即为 2f xfx可得 f x的图像关于点0,1 对称.函数 1x y x ，即 1 1y x 的图象关于点0,1对称， 即若点 11 ,x y为交点，则点 11 ,2xy也为交点；同理若点 22 ,x y
13、为交点，则点 22 ,2xy也为交 点； 则交点的所有横坐标和纵坐标之和为 112220202020111 1 2 2 xyxyxyxyx 1222220202020200020000 222020yxyxyxyxy . 13.-2 作出不等式组 20 0 1 ab a b 表示的可行域， 当0a，2b时，目标函数3zab取得最小值-2. 14.5 42 1 2 2 i zi i ，故1 25zi. 15.1023 由 35 64a a ，得 2 4 64a ，又数列 n a的各项都为正数，所以 4 8a .设等比数列 n a的公比为 q，则 4 3 3 1 8 2 1a q a .所以 10
14、 10 1 1 2 1023 1 2 S . 16. 111 , 532 ee 由题意，函数满足 20f xf x，即 2f xf x，即函数 f x的 周期为 2， 当0,1x时， x f xx e，可得函数为单调递增函数，且 00f， 1fe， 当1,0 x 时， x f xfxx e ， 由图象可知当1x 时， 1fe，当3x 时， 31ffe，即1,Be，3,Ce， 当直线21yk x经过点1,Be时，此时在区间1,3内两个函数有 2 个交点，此时31ek，解 得 1 3 e k .直线21yk x经过点3,Ce时，此时在区间1,3内两个函数有 4 个交点，此时 51ek，解得 1 5
15、 e k .直线21yk x经过点0,0O时，此时在区间1,3内两个函数有 3 个 交点，此时 1 2 k . 所以要使得函数 2g xf xkxk有且仅有 3 个零点，则直线的斜率满足 11 53 ee k 或 1 2 k ， 即实数 k 的取值范围是 111 , 532 ee . 17.解： （1）设三角形ABC的外接圆的直径长为2R 由已知sinsinsinsinaA cCaCbB及正弦定理 所以 222 2222 acacb RRRR ， 所以 222 acacb， 即 222 acbac.3 分 由余弦定理得 222 1 cos 22 acb B ac ，.4 分 因为0B，所以 3
16、 B .5 分 （2）因为 3 B ，所以 3 2 sinsinsin3 2 acb ACB ， 三角形ABC面积 11323 sin4sinsin3sinsin3sincos 22232 SacBACAAAA 133333 sinsin2cos2sin 2 2444264 AAAA ，.6 分 2 0, 3 A ， 7 2, 666 A ，.8 分 当且仅当 3 A 时，2 62 A ，此时ABC面积取得最大值 3 3 4 .10 分 18.解： （1）因为数列 n a， n b是等差数列，且 2 3A ， 53 AB，所以 1 1 23 51096 ad add .2 分 整理得 1 1
17、23 549 ad ad ，解得 1 1 1 a d ，.4 分 所以 1 1 n aandn，即 n an，.5 分 1 1 221 n bbndn，即21 n bn. 综上， n an，21 n bn.6 分 （2）由（1）得 111 2121 11 n cnn nnnn .9 分 所以 11111 35211 2231 n Sn nn ， 即 22 2 11 2111 11 n Snnnn nn .12 分 19.解： （1） 取AD的中点 H， 连接PH，EH，FH.由题知，PHAD， 且2PH ， 又因为AEEB， 三棱柱ABEDCF为直三棱柱，所以EF，EA，EB三条直线两两垂直，
18、故AE 平面EBCF，BE 平面AEFD.因为平面/PAD平面EBCF， 所以AE 平面PAD， 因为PH 平面PAD， 所以AEPH， 又因为AEADA， 所以PH 平面AEFD， 所以/PH BE， 又因为2PHBE， 所以四边形PHEB 为平行四边形，所以/PB HE，因为HE 平面AEFD，PB平面AEFD，所以/PB平面AEFD，同 理可证/PC平面AEFD，又因为PBPCP，所以平面/PBC平面AEFD.6 分 （2）由题知，直三棱柱ABEDCF的体积 1 1 4 2 VEBEAEF，四棱锥PABCD的体积 2 118 222 323 P ABDB PAD VVVADPHAE ，所
19、以 1 2 43 8 2 3 V V .12 分 20.解： （1）由频率分布直方图可得 1 0.0160.0360.0800.044 5 a，解得0.024a，.3 分 各组频率依次为 0.08，0.18，0.4，0.22，0.12， 则这批零件长度的平均值为 12.5 0.08 17.5 0.18 22.5 0.4 27.5 0.22 32.5 0.1223.1x .6 分 （2）由题意可知第 1 组和第 5 组的零件数分别是 8 和 12， 则应从第 1 组中抽取 2 个零件，记为 A，B； 应从第 5 组中抽取 3 个零件，记为 c，d，e. 这 5 个零件中随机抽取 2 个的情况有A
20、B，Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，cd，ce，de，共 10 种，.9 分 其中符合条件的情况有Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，共 6 种.11 分 所求概率 63 105 P .12 分 21.解： （1）当0m时， 2 x f xex， 2 x fxe，.1 分 令 20 x fxe，得ln2x，令 20 x fxe，得ln2x.3 分 所以函数 f x在,ln2上单调递减，在ln2,上单调递增.4 分 （2） 1 2 e fx 恒成立，即 2 21 2 x e exmx 恒成立. 当0 x时，对于任意的mR，20 2 e 恒成立；.5 分 当0 x时，即 2 21 2 x e
21、ex m x 恒成立.6 分 令 2 21 2 x e ex g x x ，则 2 4 2221 2 xx e exx ex gx x . 整理得 3 222 x xexe gx x ，.7 分 令 222 x h xxexe ，注意到 10h， 12 x h xxe， 再令 12 x xxe，则 0 x xxe，.8 分 所以 x在0,单调递增， 010 x ，即 0h x. 所以 h x在0,单调递增.9 分 又 10h，故知在0,1上 0h x ，在1,上 0h x . 从而 g x在0,1上递减，在1,上递增.10 分 故 min 21 2 11 12 e e e g xg ，.11
22、分 因为 2 21 2 x e ex m x 在0,恒成立， 所以1 2 e m .12 分 22.解析： （1）直线33 20 xy与 x 轴的交点为 2,0，2c ， 22 2 22 ab ab ， 解得2a，2b，椭圆的方程为 22 1 42 xy .4 分 （2）若直线l的斜率不存在，则 13 6 6 3 22 S . 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxm，代入椭圆方程可得 222 124240kxkmxm 设 11 ,A x y， 22 ,C x y， 则 12 2 4 12 km xx k ， 2 12 2 22 1 2 m xx k ， 1212 2 2 2 12 m y
23、yk xxm k . 由题意点 O 为PAC的重心，设 00 ,P x y，则 120 0 3 xxx ， 120 0 3 yyy ， 所以 012 2 4 12 km xxx k ， 012 2 2 12 m yyy k ， 代入椭圆 22 1 42 xy ，得 2222 2 22 22 421 2 1 2 1 21 2 k mmk m kk ， 设坐标原点 O 到直线l的距离为 d， 则PAC的面积 1 3 2 SACd 2 12 2 1 13 2 1 m kxx k 12 3 2 xxm 2 2 22 22 34 4 21 21 2 m km m kk 22 2 2 2 2 12 3 212 km m k 2 2 2 2 12 2 12 123 6 2 3 2 1222 k k k k . 综上可得，PAC面积 S 为定值 3 6 2 .12 分
