1、 1 上海市长宁、嘉定区 2017 届高三数学上学期期末质量调研（一模）试题 一填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 ，第16 题每题填对得 4 分，第 712 题每题填对得 5 分 1 设集合 ,1|2| R? xxxA ，集合 Z?B ，则 ?BA? _ 2 函数 ? ? 3sin ?xy（ 0? ）的最小 正周期是 ? ，则 ? _ 3 设 i 为虚数单位， 在复平面上，复数2)2( 3i?对应的点到原点的距离为 _ 4 若函数 axxf ? )1(lo g)( 2 的反函数的图像经过点 )1,4( ，则实数 ?a _ 5 已知 nba
2、 )3( ? 展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64 ，则 ?n _ 6 甲、乙两人从 5 门不同的选修课中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1门相同的选法有_种 7 若圆锥的侧面展开图是半径为 2 cm 、圆心角为 ?270 的扇形，则这个圆锥的体积为_ 3cm 8 若数列 na 的所有项都是正数，且 nnaaa n 3221 ? ? （ *N?n ），则 ? ? 1321lim 212 naaan nn ?_ 9 如图，在 ABC 中， ? 45B ， D 是 BC 边上的一点， 5?AD ， 7?AC ， 3?DC ，则 AB 的长为 _ 10 有以下命题： 若函
3、数 )(xf 既是奇函数又是偶 函数，则 )(xf 的值域为 0 ； 若函数 )(xf 是偶函数，则 )(|)(| xfxf ? ； 若函数 )(xf 在其定义域内不是单调函数，则 )(xf 不存在反函数； 若函数 )(xf 存在反函数 )(1xf? ，且 )(1 xf? 与 )(xf 不完全相 同，则 )(xf 与 )(1xf? 图像的公共2 点必在直线 xy? 上 其中真命题的序号是 _（写出所有真命题的序号） 11 设向量 )2,1( ?OA ， )1,( ? aOB ， )0,( bOC ? ，其中 O 为坐标原点， 0?a ， 0?b ，若 A 、 B 、 C 三点共线，则 ba 2
4、1? 的最小值为 _ 12 如图，已知正三棱柱的底面边长为 2 cm ，高为 5 cm ， 一质点自 A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 1A 点 的最短路 线的长为 _cm 二选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得 5 分，否则一律得零分 13 “ 2?x ”是“ 2 4x? ”的?（ ） （ A）充分非必要条件 （ B）必要非充分条件 （ C）充分必要条件 （ D）既非充分又非必要条件 14 若无穷等差数列 na 的首项 01?a ，公差 0?d ， na 的前 n 项和为 nS ，则以下结
5、论中一定正确的是? ?（ ） （ A） nS 单调递增 （ B） nS 单调递减 （ C） nS 有最小值 （ D） nS 有最大值 15 给出下列命题： （ 1）存在实数 ? 使 23cossin ? ? ； 3 （ 2）直线 2?x 是函数 xy sin? 图象的一条对称轴； （ 3） )cos(cosxy? （ R?x ）的值域是 1,1cos ； （ 4）若 ? ， ? 都是第 一象限角，且 ? ，则 ? tantan ? 其中正确命题的序号为?（ ） （ A）（ 1）（ 2） （ B）（ 2）（ 3） （ C）（ 3）（ 4） （ D）（ 1）（ 4） 16 如果对一切正实数 x ，
6、 y ，不等式yxaxy 9s inc o s4 2 ?恒成立，则实数 a 的取值范围是?（ ） （ A） ? ? 34,（ B） ),3 ? （ C） 22,22? （ D） 3,3? 三解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题 ，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 7 分 如图：已知 ?AB 平面 BCD ， CDBC? ， AD 与平面 BCD 所成的角为 ?30 ，且 2? BCAB （ 1）求三棱锥 BCDA? 的体积； （ 2）设 M 为 BD 的中点，求异面
7、直线 AD 与 CM 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 4 18（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 在 ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边，且 72c o s22s in8 2 ? ACB （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 3?a ， 3?cb ，求 b 和 c 的值 19（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 11 分 某地要建造一个边长为 2 （单位： km）的正方形市民休闲公园 OABC ，将其中的区域 ODC开挖成一个池塘如图建立平
8、面直角坐标系后，点 D 的坐标为 )2,1( ，曲线 OD 是函数 2axy? 图像的一部分，过边 OA上一点 M 在区域 OABD 内作一次函数 bkxy ? （ 0?k ）的图像，与线段 DB交于点 N （点 N 不与点 D 重合），且线段 MN 与曲线 OD 有且只有一个公共点 P ，四边形 MABN 为绿化风景区 （ 1）求证： 28kb? ； （ 2）设点 P 的横坐标为 t ， 用 t 表示 M ， N 两点的坐标； 将四边形 MABN 的面积 S 表示成关于 t 的函数 )(tSS? ， 并求 S 的最大值 20（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分
9、，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分6 分 已知函数 3329)( ? xx axf （ 1）若 1?a ， 1,0?x ，求 )(xf 的值域； （ 2）当 1,1?x 时，求 )(xf 的最小值 )(ah ； （ 3）是否存在实数 m 、 n ，同时满足下列条件： 3?mn ； 当 )(ah 的定义域为 , nm时，其值域为 , 22 nm 若存在，求出 m 、 n 的值；若不存在，请说明理由 5 21（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分8 分 已知无穷数列 na 的各项都是正数，其前 n 项和为 nS ，
10、且满足： aa?1 ， 11 ? ?nnn aarS ，其中 1?a ，常数 r N? （ 1）求证： nn aa ?2 是一个定值； （ 2）若数列 na 是一个周期数列（存在正整数 T ，使得对任意 *N?n ，都有 nTn aa ? 成立，则称 na 为周期数列， T 为它的一个周期），求该数列的最小周期； （ 3）若数列 na 是各项均为有理数的等差数列， 132 ? nnc （ *N?n ），问：数列 nc 中的所有项是否都是数列 na 中的项？若是，请说明理由；若不是，请举出反例 6 2016 学年长宁、嘉定区高三年级第一次联合质量调研数学试卷 参考答案与评分标准 一填空题（本大题
11、共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第16 题每题填对得 4 分，第 712 题每题填对得 5 分 1 2 2 2 3 53 4 3 5 6 6 60 7 ?873 8 2 9 265 10 11 8 12 13 二选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得 5 分，否则一律得零分 13 B 14 C 15 B 16 D 三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17（本题满分 12 分）本题共有
12、 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 7 分 （ 1）因为 ?AB 平面 BCD ，所以 ADB? 就是 AD 与平面 BCD 所成的角，即 ? 30ADB ，且 AB为三棱锥 BCDA? 的高 ?（ 2 分） 由 2?BCAB ，得 32?BD ，又由 CDBC? ，得 22?CD ?（ 3 分） 所以， 3 24213131 ? ABCDBChSV B C D ? ?（ 5 分） （ 2）取 AB 中点 E ，连结 EM ， EC ，则 EM AD ，所以 EMC? 就是异面直线 AD 与 CM 所成的角（或其补角）， ?（ 1 分） 在 EMC 中， 2?EM ， 3
13、?CM ， 5?EC ， ?（ 3 分） 所以，6 3322 5342c o s222 ? ? ? CMEM ECCMEME M C， ?（ 6 分） 7 即 63arcco s?EMC 所以 异面直线 AD 与 CM 所成角的大小为 63arccos ?（ 7 分） 18（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 （ 1）由 72c o s22s in8 2 ? ACB ，得 01)c o s (4c o s4 2 ? CBA ，?（ 2 分） 因 为 ? CBA ，所以 ACB cos)cos( ? ，故 0)1cos2( 2 ?A ，?
14、（ 4 分） 所以， 21cos ?A ， 3?A ?（ 6 分） （ 2）由余弦定理， Abccba co s2222 ? ，得 322 ? bccb ， ?（ 2 分） 33)( 2 ? bccb ，得 2?bc ， ?（ 4 分） 由? ? ,2 ,3bc cb解得? ? ,1,2cb或? ? .2,1cb?（ 8 分） 19（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 11 分 （ 1）将 )2,1(D 代入 2axy? 得， 2?a ， 所以二次函数的解析式为 22xy? （ 10 ?x ）， ?（ 2 分） 由? ? ? ,2 ,2xybk
15、xy 得 02 2 ? bkxx ， ?（ 3 分） 由题意， 082 ? bk ，所以 82kb ? ?（ 5 分） （ 2） 由（ 1），一次函数 的解析式为 82kkxy ? ， ?（ 1 分） 因为直线过点 )2,( 2ttP ，所以 82 22 kktt ? ，解得 tk 4? ，故 22tb ? ?（ 2 分） 8 所以一次函数为 224 ttxy ? ，令 0?y ，得 2tx? ，即 ? 0,2tM， ?（ 3 分） 令 2?y ，得 ? ? ttx 121，即 ? ? ? 2,121 ttN ?（ 5 分） 22| tMA ? ， ? ? ttNB 1212|， ?（ 1 分） 当点 N 与点 B 重合时， 2224 2 ? tt ，解得 32?t ，所以 )1,32( ?t 所以， ? ? ttABNBMAtS 214|)|(|21)(， )1,32( ?t ?（ 4 分） 因为 221 ? tt ，当且仅当 22?t 时取等号，所以当且仅当 22?t （ km ），时 )(tS 取最大值)24( ? （ 2
