1、 - 1 - 福建省南安第一中学 2018届高三数学上学期期末考试试题 理 一、选择题 ： 1.已知全集 RU? ，设集合 | lg( 1)A x y x? ? ?，集合 ? ?2 , 1 ,xB y y x? ? ?则 ()UA C B =（ ） A ? ?1,2 B ? ?1,2 C ? ?1,2 D ? ?1,2 2.如图，将半径为 1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内 (阴影部分 ), 现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为 ( ) A. 41? B. 1? C 11? D. 2? 3.若复数 z 满足 2( 1) 1zi i? ，则复数 z 的虚部为 ( ) A
2、 1? B 0 C i D 1 4.已知 na 是公差为 1的等差数列 , nS 为 na 的前项和 ,若 844SS? ,则 10a? （ ） A. 172 B. 192 C.10 D.12 5.已知函数 1)1ln ()( 2 ? xxxf ，则(lg2)f1(lg )2f等于 ( ) A 1? B. 0 C 1 D 2 6.已知)nx的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A.122B112C10D97.九章算数中，将底面是直角三角形的直三棱柱称 为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图 中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为 (
3、 ) A 2 B. 4 2 2? C 4 4 2? D 6 4 2? 8.如图 ,给出的是计算 1 1 1+2 4 100? 的值的一个程序框图，则图中判断框内处和执行框中的处应填的语句是 ( ) A. 100, 1i n n? ? ? B 100, 2i n n? ? ? C 50, 2i n n? ? ? D 50, 2i n n? ? ? - 2 - 9.已知双曲线 222:14xyC b?( 0)b? 的一条渐近线方程为 62yx? ， 12,FF分别为双曲线C 的左右焦点， P 为双曲线 C 上的一点， 12| |:| | 3:1PF PF ? ，则 21|PF PF? 的值是（ ）
4、 A 4 B 26 C 210 D 6105 10. 已知函数 )sin()( ? ? xAxf ( ?,A 均为正的常数 )的最小正周期为 ? ，当 ?32?x时，函数 )(xf 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A )0()2()2( fff ? B )2()2()0( ? fff C )2()0()2( fff ? D )2()0()2( ? fff 11. 已知 F 为抛物线 2yx? 的焦点，点 ,AB在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，且 6OAOB?（ O 为坐标原点），若 ABO? 与 AFO? 的面积分别为 1S 和 2S ，则 124SS? 最小值是 ( ) A. 732
5、 B. 6 C. 132 D. 43 12. 已知函数 ? ? ? ?l n 2 2 4 ( 0 )f x x a x a a? ? ? ? ? ?,若有且只有两个整数 1x , 2x 使得? ?1 0fx? ,且 ? ?2 0fx? ,则 a 的取值范围是（ ） A. ? ?ln3,2 B. ? ?2 ln3,2? C. ? ?0,2 ln3? D. ? ?0,2 ln3? 二、填空题： 13.已知向量 )1,1( ?a ， )4,6( ?b ,若 )( bata ? ，则实数 t 的值为 . 14. 若实数 ,xy满足不等式组 221xyyxy?， 则 22( +2) +( 3)xy? 的
6、最大值和最小值之和为 . 15. 某运动队对 , , ,ABCD 四位运动员进行 选拔 ,只选一人参加比赛 ,在选拔结果公布前 ,甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说：“是 C 或 D 参加比赛”；乙说：“是 B 参加比赛”；丙说：“ ,AD都未参加比赛”；丁说：“是 C 参加比赛” .若这四位教练中只有两位说的话是对的 ,则获得参赛的运动员是 . - 3 - 16 在 ABC 中 ， 若 3sin 2sinCB? ， 点 E ， F 分别是 AC ， AB 的中点 ， 则 BECF 的取值范围为 三、解答题： (解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ) 17.(12分） 已知
7、 数列 na 的前 n 项和 24nS n n? （ 1） 求数列 na 的通项公式； （ 2） 求 数列 72 nna?的前 n 项和 .nT 18.(12分） 矩形 ABCD 中， 1AB? ， 2AD? ，点 E 为 AD 中点，沿 BE 将 ABE? 折起至PBE? ，如下图所示，点 P 在面 BCDE 的射影 O 落在 BE 上 . （ 1） 求证： BP CE? ； （ 2） 求二面角 B PC D?的余弦值 . 19 (12分） 2018年某市创建文明城市圆满结束，成绩优异 .在创建文明城市过程中，为增强市民的节能环保意识 ,该市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的 500名
8、志愿者中随机抽取 100 名志愿者 ,其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 0 , 2 5 , 2 5 , 3 0 , 3 0 , 3 5 , 3 5 , 4 0 , 4 0 , 4 5 （ 1）求图中 x 的值 ,并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 ? ?35,40 岁的人 数； （ 2）在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动，再从这 20 名中随机选取 3 名志愿者担任主要负责人，记这 3 名志愿者中“年龄低于 35岁”的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望 - 4
9、 - 20.（ 12 分 )已知椭圆 22:1xyC ab?过点 ? ? ? ?2,0 , 0,1AB两点 （ 1）求椭圆 C 的方程及离心率； （ 2）设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N ， 求证：四边形 ABNM 的面积为定值 21.（ 12 分 ) 已知函数 ? ? ? ?2 112 ln 2f x a x a a xx? ? ? ?. (1) 设 ? ? ? ? 1g x f x x?，求函数 ?gx的单调区间； (2) 若 0a? , 设 ? ? ?11,A x f x ， ? ? ?22,B x f x 为
10、函数 ?fx图象上不同的两点，且满足? ? ? ?121f x f x?，设线段 AB 中点的横坐标为 0,x 证明： 0 1ax? . 请考生在第 22、 23两题中任选一题作答 .如果多做，则按所做第一个题目计分。 22. （ 10分 )在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为?225223tytx(t 为参数 )，在极坐标系 (与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴 )中，圆 C 的方程为 ? sin52? . (1)求圆 C 的圆心到直线 l 的距离； (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A 、 B .若点 P 的坐标为 )5,3(
11、 ，求 PBPA? . - 5 - 参考答案 一、 选择题： （ 5 12=60） （ 1） C （ 2） A （ 3） B （ 4） B （ 5） D （ 6） D （ 7） C （ 8） C （ 9） C （ 10） A （ 11） B （ 12） C 二 、 填空题： （ 4 5=20） （ 13） 5? ； （ 14） 352 ； (15) B ； （ 16） 17( , )48 11.【解析】 设直线 AB 的方程为 x ty m?， 点 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y， 直线 AB 与 x 轴交点 为 ? ?0,Mm 联立2x ty myx? ，可得
12、2y ty m?， 根据韦达定理得 12y y m? ? 。 6OAOB? 1 2 1 2 6x x y y?，即 ? ?21 2 1 2 60y y y y? ? ? ? ? ,AB位于 x 轴的两侧 123yy? ? 3m? 设点 A 在 x 轴的上方 ， 则 1 0y? 1,04F? ? ?1 2 1 2 1 1 1 1111 1 1 3 3 1 94 3 4 2 62 2 4 2 2 2S S y y y y y yyy? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当且仅当1 192 2y y?，即1 32y?时取等号 124SS? 的最小值是 6. 12. 【解析】 由题意可
13、知 , ? ? 0fx? ,即 ? ? ? ?ln 2 2 4 0 , 0x a x a a? ? ? ? ? ?, ? ?2 2 ln 4 0a x a x x a? ? ? ? ? ?, 设 ? ? ?2 ln 4 , 2g x x x h x a x a? ? ? ? ?, 由? ? 1 2 12 xgx xx? ? ?,可知 ? ? 2 ln 4g x x x? ? ?,在 10,2?上为减函数 ,在 1,2?上为增函数 , ? ? 2h x ax a?的图象恒过点 ? ?2,0 ,在同一坐标系中作出 ? ? ? ?,g x h x 的图象：若有且只有两个整数 12,xx,使得 ? ?
14、1 0fx? ,且 ? ?2 0fx? ,则 ? ? ? ? ? ? ?01133ahghg?,即 0 223aaa ln? ?,解得0 2 ln3a? ? ? . - 6 - 16.【解析】 E 为 AC 中点，由 cos cosBEA BEC? ? ? ?得 22 2 22 2bBE c a? ? ?， 同理可得 22 2 22 2cCF b a?，已知 3sin 2sinCB? , 32cb?， 2222 18bBE a? ? ?， 22272 9bCF a?222222 221 8 ( )187 1 8 1 4 ( )9bbaBE abbCF aa? ? ? 2135126 98 ba
15、? ? ?114? ，设 b ta? ， 结合 23cb? ，由 ,a b ca c bb c a?2393, 95 2 5bbaa? ? ? ? ?. 2221 3 5 1 1 4 9 1 7, , ,1 2 6 1 4 1 6 6 4 4 8B E B EC F t C F? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 故答案为 17( , )48 . 三、解答题： 本大题共 6小题，共 70 分 。 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17 （本小题满分 12分 ） 解： （ 1） 当 2n? 时 , ? ? ? ? 221 4 4 1 1 5 2n n na
16、S S n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? 3分 当 1n? 时， 113aS?适合上式 ， ? 4分 52nan? ? ? ? 5分 (2) 令17 122nn nna nb ? ?， 所以2 3 2 13 4 5 12 2 2 2 2 2n nnT ? ? ? ? ? ? ? ?， 2 3 11 2 3 4 12 2 2 2 2 2n nnT ? ? ? ? ? ? ?， ? 7 分 两式相减得： 211 1 1 122 2 2 2 2n nnT ? ? ? ? ? ? ? 8分11 121 1 21 2nnn? ? ? ? 10分33 2nn? ? 11分
17、 故 136 2n nnT ? ? 12分 - 7 - 18.（本小题满分 12分） 解：（ 1） 由条件，点 P 在平面 BCDE 的射 影 O 落在 BE 上 ?平面 PBE? 平面 BCDE ， ? ? 1分 2 2 22 , 2 , B C 2 , B EB E C E C E B C? ? ? ? ? ? ? 3分 ,B E C E P B E B C D E P B E B C D E B E C E B C D E? ? ? ? ? ?平 面 平 面 平 面 , 平 面 平 面 CE?平面 PBE ， ? ? 5 分 而 BP? 平面 PBE PB CE? ? 6分 （ 2） 以 O 为坐标原点，以过点 O 且平行于 CD 的直线为 x 轴，过点 O 且平行于 BC 的直线为y 轴，直线 PO 为 z 轴，建立如图所示直角坐标系 则 11, ,022B?， 13, ,022C?， 13, ,022D?， 20,0,2P?
