1、 - 1 - 潮南实验学校 2016 2017 学年度第一学期期中考试 高三数学文科试题 试卷分值： 150分 考试用间： 120分钟 第 卷 一 、 选择题： 本大题 共 12小题，每小题 5分。在每个小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1） 已知 1,2,4,8,16A? ， 2 | lo g , B y y x x A? ? ?，则 AB? （ ） （ A） 1,2 （ B） 2,4,8 （ C） 1,2,4 （ D） 1,2,4,8 （ 2）若复数 z 满足 (1 2 ) (1 )i z i? ? ? ，则 |z? （ ） （ A） 25 （ B） 35 （ C）
2、105 （ D） 10 （ 3）若 11tan , tan( )32? ? ? ? ?,则 tan =? （ ） （ A） 17 （ B） 16 （ C） 57 （ D） 56 （ 4） 函数 ,y x x px x R? ? ?（ ） （ A） 是偶函数 （ B） 是奇函数 （ C） 不具有奇偶性 （ D） 奇偶性与 p 有关 （ 5） 若向量 ( 1,2)ax? 和向量 (1, 1)b?平行，则 ab? （ ） （ A） 10 （ B） 102 （ C） 2 （ D） 22 （ 6） 等比数列 na 的各项为正数，且 5 6 4 7 18a a a a?，则 3 1 3 2 3 10log
3、 log loga a a? ? ? ?（ ）（ A） 12 （ B） 10 （ C） 8 （ D） 32 log 5? （ 7） 命题 “ 任意 ? ? 21,2 , 0x x a? ? ?” 为真命题的一个充分不必要条件是 （ ） （ A） 4a? （ B） 4a? （ C） 5a? （ D） 5a? （ 8） 已知 03 6 020xyxyxy? ? ? ? ?， 则 22 xyz ? 的最小值是 （ ） （ A） 1 （ B）16（ C）8（ D） 4 （ 9）执行如图 所示 的程序框图，则输出 S的值为 （ ） - 2 - （ A） 2 （ B） 3? （ C） 12? （ D） 1
4、3 （ 10）某几何体的三视图如 右图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为 （ ）（ A） 2(19 )cm? （ B） 2(22 4 )cm? （ C） 2(10 6 2 4 )cm? （ D） 2(13 6 2 4 )cm? （ 11） 已知三棱锥 S ABC? 的底面是以 AB 为斜边的等腰直 角三角形 , 2 , 2 ,A B SA SB SC? ? ? ?则三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离是（ ）（ A） 33 （ B） 1 （ C）3 （ D） 332 （ 12） 双曲线 M ： 22 1( 0, 0 )xy abab? ? ? ?的实轴的两个端点为 A 、
5、 B ，点 P 为双曲线 M 上除 A 、B 外的一个动点，若动点 Q 满足 ,QA PA QB PB?,则动点 Q 的轨迹为（ ） （ A） 圆 （ B） 椭圆 （ C） 双曲线 （ D） 抛物线 二填空题：本大题共 4小题，每小题 5分。 （ 13） 给出下列不等式： 1123?, 1 1 1 31 .2 3 7 2? ? ? ? ?， 1 1 11 . 22 3 15? ? ? ? ?， ? 则按此规律可猜想第 n 个不等式为 . （ 14） 设 ()fx是定义在 R 上的周期为 3 的函数， 右 图表示该函数在区间 ? ?2,1? 上的图 像 ，则(2015) (2016)ff? .
6、- 3 - （ 15） 已知 2x? ， 2y? ，点 P 的坐标为 (, )xy ，当 ,x y R? 时， 点 P 满足 22( 2) ( 2) 4xy? ? ? ?的概率为 . （ 16） 设 ,mn R? ，若直线 : 1 0l mx ny? ? ?与 x 轴相交于点 A ，与 y 轴相交于点 B ，且 l 与圆224xy? 相交 所得弦的长为 2 ， O 为坐标原点，则 AOB? 面积的最小值为 . 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17）（本小题满分 12分）已知函数 ? ? ? ?s in 0 ,2f x x ? ? ? ? ? ? ?的部分图 像 如图所示
7、 .（ ）求函数 ?fx的解析式，并写出 ?fx的单调减区间；（ ）已知 ABC? 的内角分别是 ,ABC ， A 为锐角，且 14, c o s s in2 1 2 2 5Af B C? ? ? ， 求的值 . （ 18）（本小题满分 12 分）为了迎接第二届国际互联网大会 ， 组委会对报名 参加服务的 1500名志愿者进行互联网知识测试，从这 1500名 志愿者中采用随机抽样的方法抽取 15人，所得成绩如下： 57，63， 65， 68， 72， 77， 78， 78， 79， 80， 83， 85， 88， 90， 95. （ ） 作出抽取的 15 人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估
8、计这 1500 志愿者中成绩不低于 90分的人数； （ ） 从 抽取的 成绩不低于 80分的志 愿者中 ，随机选 3名参加 某项活动 ， 求选取的 3人中恰有一人成绩不低于 90分的概率 . （ 19）（本小题满分 12 分）如图，在三棱柱1 1 1ABC ABC?中，1AA?平 面ABC，ABC?为正三角形 ，6AA AB?， D 为 AC 的中点 - 4 - （ ）求证 ： 平面 1BCD? 平面11AACC； （ ）求三棱锥 1C BCD? 的体 积 . （ 20）（本小题满分 12分已知椭圆 )0(1:2222 ? babyaxC 上的点到两个焦点的距离之和为 32 ，短轴长为 21
9、，直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点。 （ ） 求椭圆 C 的方程； （ ） 若直线 l 与 圆251: 22 ? yxO 相切，证明： MON? 为定值 （ 21）（本小题满分 12 分） 已知函数? ? 21 ln 22f x ax x? ? ?，Ra? （ ） 讨论函数?fx的单调性； （ ） 若函数?fx有两个零点，求实数a的取值范围 请考生在第 22、 23题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点 涂黑。 （ 22）（本小题满分 10分）选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 ( 1,0)P? ，其倾斜角为 ? ，以原点 O 为极
10、点，以 x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系 xOy 取相同的长度 单位，建立极坐标系 ， 设曲线 C 的极坐标方程为2 6 cos 5 0? ? ? ? ? （ ）若直线 l 与曲线 C 有公共点，求 ? 的取值范围； （ ）设 ( , )Mxy 为曲线 C 上任意一点，求 xy? 的取值范围 （ 23）（本小 题满分 10分）选修 4 5：不等式选讲 设 函数 ( ) | 1|f x ax?（ ）若 ( ) 2fx? 的解集为 6,2? ，求实数 a 的值； （ ）当 2a? 时，若存在 xR? ，使得不等式 (2 1) ( 1) 7 3f x f x m? ? ? ? ?成立， 求实数 m
11、 的取值范围 . - 5 - 潮南实验学校 2016 2017 学年度第一学期期中考试高三数学文科试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C A B C B C C A C A C 二填空题：本大题共 4小题，每小题 5分。 13. 14. 2. 15. 16 16.3 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. 解：（）由周期 得 所以 ? 2分 当 时， ，可得 因为 所以 故? 4分 由图像可得 的单调递减区间为 ? 6分 （） 由（）可知， , 即 ,又 为锐角 , .?8 分 ， .
12、 ? 9 分 ? ? 10 分 . ? 12 分 18.解：（）抽取的 15人的成绩茎 叶图如图所示， ? 3分 由样本得成绩在 90 以上频率为 ，故志愿者测试成绩在 90 分以上（包含 90 分）的人数约为=200人 . ? 5分 （）设抽取的 15 人中，成绩在 80分以上（包含 80分）志愿者为 , , , , , ,其中 ，的成绩在 90 分以上（含 90 分）， ? 6分 成绩在 80分以上（包含 80分）志愿者中随机 选 3名志愿者的不同选法有： ， ， ，- 6 - ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ,
13、, , , , , , , ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， , ， 共 20种，? 8分 其中 选取的 3 人中恰有一人成绩在 90 分以上的不同取法有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， , , , , , ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 12种， ? 10分 选取的 3人中恰有一人成绩在 90分以上的概率为 = . ? 12分 19 解：（）证明：因为 底面 ，所以 ? 2分 因为底面 正三角形， 是 的中点 ,所以 ? 4分 因为 ，所以 平面 ? 5分 因为平面 平面 ,所以平面 平面 ? 6分
14、（）由（）知 中， ， 所以 ? 9分 所以 ? 12分 20.解：（）由题意得 ? 4分 （）当直线 轴时，因为直线与圆相切，所以直线 方程为 。 ? 5分 当 时，得 M 、 N 两 点 坐 标 分 别 为 ，- 7 - ? 6分 当 时，同理 ； ? 7 分 当 与 轴不垂直时， 设 ，由 , , ? 8分 联立 得 ? 9分 ， ， ?10分 = ? 11分 综上， （定值） ? 12分 21. 解：（） ? 1分 当 上单调递减； 当 .? 3分 .? 4分 ? 5分 综上：当 上单调递减； - 8 - 当 a0时， ? 6分 （）当 由（）得 上单调递减，函数 不可能有两个零点；?
15、 7分 当 a0时，由（）得， 且当 x趋近于 0和正无穷大时， 都趋近于正无穷大，? 8分 故若要使函数 有 两个零点，则 的极小值 ，? 10 分 即 ，解得 , 综上所述， 的取值范围是 ? 12分 22.解：（）将 C的极坐标方程 化为直角坐标为 ? 1分 直线 的参数方程为 ? 2分 将直线的参数方程代入曲线 C的方程整理得 ? 3分 直线与曲线有公共点， ,得 的取值范围为 .? 5分 （）曲线 C的方程 ， 其参数方程为 ? 7 分 为曲线 C上任意一点， .? 9分 的取值范围是 ? 10 分 23.解：（）显然 ，? 1分 当 时，解集为 ， ，无解；? 3分 当 时，解集为 ，令 ， ， - 9 - 综上所述， .? 5分 （）当 时，令 ? 7分 由此可知， 在 单调减，在 和 单调增， 则当 时， 取到最小值 ， ? 8分 由题意知， ，则实数 的取值范围是 ? 10分
