1、 1 潮南实验学校 2017届 高三 期中考试 理科数学试题 及 答案 一 、 选择题 1、 已知全集 U Z? ，集合 1,2A? ， 1, 2,3, 4AB?U ，那么 ? ?UC A B? （ ） A. ? B. 3xxZ? C . 1,2 D. 3,4 2、 若a为实数且(2 )( 2 ) 4ai a i i? ? ? ?， 则a?（ ） A ? B0C 1 D 2 3、 给出 下列 3个 命题 ，其中 正确的个数是 （ ） 若 “ 命题 pq? 为真 ” ， 则 “ 命题 pq? 为真 ” ； 命题 “ 0, ln 0x x x? ? ? ?” 的否定是 “ 0 0 00, ln 0
2、x x x? ? ? ?” ； “ tanx0”是 “sin2x0“的充要条件 . A 1个 B 2个 C. 3个 D 0个 4、 投篮测试中，每人投 3次，至少投中 2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 5、 ? ?1 21 1 ta n x x dx? ? ? ?( ) A B.2 C 1 D 1 6、 若函数 ? ? ? ?0s in 2 ? ? xxf 的图象在区间 ? 21,0上至少有两个最高点，两个最低点，则 ? 的取值范围为 （ ） A.
3、 2? B. 2? C. 3? D. 3? 7、 执行如题（ 7）图所示的程序框图，若输 出 K的值为 8，则判断框图可填入的条件是 （ ） A、 s?34B、 s?56C、 s1112D、 s1524开始 是 否 输出 k 结束 0, 0Sk? 1SSk? 2kk? 开始是否输出结束2 8、 存在函数()fx满足， 对任意xR?都有（ ） A. (sin 2 ) sinf x x?B. 2(si n 2 )f x x x?C. 2 1) 1x x? ? ?D. 2 2 ) 1x x x? ? ?9、 一条光线从点? ?2, 3?射出，经y轴反射后与圆 ? ? ?223 2 1xy? ? ?
4、?相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A.53?或35B.2?或23C.54?或45D.3?或3410、 已知正实数 ba, 满足 321 ?ba ，则 ? ? ?21 ? ba 的最小值是 （ ） A. 163 B. 950 C. 499 D. 6 11、25x x y?的展开式中，52xy的系数为 ( ) A.10 B.20 C.30 D.60 12、 已知异面直线 ,ab成 60 角， A 为空间中一点，则过 A 与 ,ab都成 45 角的平面 （ ） A有且只有一个 B有且只有两个 C有且只有三个 D有且只有四个 二 、 填空题 13、 已知某几何体的三视图（单位： cm）如 右
5、图所示，则该几何体 表面积 是 2cm。342124? 14、 已知非零向量 ,abc满足 1, 2a a b a b? ? ? ? ?，? ? ? ? 3c a c b? ? ? ?， 3 若 c 的最小值是 m, 最大值 是 M,则 Mm? 2 15、 设 F 是抛物线 C ： 2 4yx? 的焦点，过 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A ， B 两点，当 6AB? 时，以 AB 为直径的圆与 y 轴相交所得弦长是 25 16、 某 种平面分形图如下图所示 ， 一级分形图是由一点出发的三条线段 ,长度均为 1,两两夹角为120 ； 二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长
6、度为原来 13 的线段 ,且这两条线段与原线段两两夹角为 120 ；?； 依此规律得到 n级分形图 . n 级分形图中所有线段长度之和为 _ 29 9( )3 n? 三 、 解答题 17、 （本题满分 12分） 在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 错误 !未找到引用源。c o s ( c o s 3 s i n ) c o s 0C A A B? ? ? (1)求角 B的大小； (2)若 1ac?，求 b的取值范围 . 17.解（ 1）由已知得 c o s ( A B ) c o s A c o s B 3 s i n A c o s B 0? ? ? ?
7、 ?，即s i n A s i n B 3 s i n A c o s B 0?.因为 sinA 0? ，所以 sin B 3 cos B 0?,又 cosB 0? ,所以tanB 3? ,又 0B? ? ，所以 B 3? . 【 6分 】 （ 2）由余弦定理，有 2 2 2b a c 2 a c c o s B? ? ? ，因为 a c 1?， 1cosB 2? ,所以 2211b 3(a )24? ? ?，4 又因为 0 a 1?，所以 21 b14?，即 1 b12?. 【 12 分 】 18、 某银行规定，一张银行 卡若在一天内出现 3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定， 小王到银行取钱
8、时，发现自 己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1个进行尝试 .若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试 ，直至该银行卡被锁定 . ( )求当天小王的该银行卡被锁定的概率； ( )设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X，求 X的分布列和数学期望 18、 解： （ ）设 “ 当天小王的该银行卡被锁定 ” 的事件为 A， 则 ? ? 5 4 3 16 5 4 2PA ? ? ? ?【 4分 】 （ ）依题意得， X所有可能的取值是 1， 2， 3【 5分 】 ? ? 11,6PX? ? ? 5 1 12,6 5 6PX ? ?
9、? ? ? 5 4 2316 5 3PX ? ? ? ? ?【 8分 】 所以 X的分布列为 X 1 2 3 P 16 16 23 所以1 1 2 5E ( X ) 1 2 36 6 3 2= ? ? ? 【 12分 】 19、（本题满分 12 分） 如图，四棱锥 P ABCD? 中，侧面 PDC 是边长为 2的正三角形，底面 ABCD是菱形， 60ADC?,点 P在 底面 ABCD 上的射影为 ACD的重心，点 M为线段 PB 上的 点 （ 1）当点 M为 PB的中点时， 求证： PD/平面 ACM； （ 2）当 平面 CDM与平面 CBM 所成锐二面 角的余弦值 为 32 时，求 BMBP
10、 的值 MPBD CA【 10 分 】 5 xzyOCDA BPxyzOCDA BP6 MPBD CAzxyO CDABP19、 解：（ 1）设 AC、 BD的交点为 I，连结 MI， 因为 I、 M分别为 BD、 BP的中点， 所以 PD/MI，又 MI在平面 ACM内， 所以 PD/平面 ACM； 【 4分 】 （ 2）设 CD的中点为 O，分别以 OA、 OC为 x轴、 y轴， 过 O 点垂直平面 ABCD 的直线为 z 轴建立空间 直角坐标系 ，则 )0,0,3(A , )0,2,3(B ， )0,1,0(C ，7 )0,1,0( ?D ， )362,0,33(P ， 【 5分 】 设
11、 )10( ? ? BPBM 【 6分 】 则 2 3 2 63 , 1 2 ,33C M C B B M C B B P? ? ? ? ? ? ? ? ? ?)0,2,0(?DC ， )0,1,3( ?BC 设平面 CDM 法向量 为 ? ?1 1 1,m x y z? ， 则 m CM? 且 m CD? ? ?1 1 112 3 2 63 1 2 03321x y zy? ? ? ? ? ? ? ? ?令 1 1x? 则 3 2 2 21, 0 ,4m ? ?【 8分 】 设平面 CBM的法向量为 2 2 2( , , )n x y z? ，则 CMn? 且 CBn? ， 2 2 2222
12、 3 2 6( 3 ) ( 1 2 ) 03330x y zxy? ? ? ? ? ? ? ? ?令 2 1,x? 则 (1, 3, 2 )n ? ? ? 【 10分 】 所以324182424623|,c o s|2 ?nmnmnm 1344? ?解 得 或 ， 1344BMBP?或 【 12分 】 20、 （本题满分 12分） 设椭圆 1C ： 22143xy?， 12,FF 分别是椭圆的左右 焦点，过椭圆右焦点 2F 的直线 l 与椭圆 1C 交于 ,MN两点 （ I） 是否存在直线 l ，使得 2OM ON? ? ，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由； （ II） 若 A
13、B 是椭圆 1C 经过原 点 O 的弦， 且 /MN AB ，2|ABMN 是否 为定值 ？ 若是 ， 请求出，若不是，说明理由 20、解： （ I） 由题可知 ， 直线 l 与椭圆必相交 8 当直线斜率不存在时，经检验不合题意 设存在直线 l 为 ( 1)( 0)y k x k? ? ?，且 11( , )Mx y ， 22( , )Nx y . 由 22143( 1)xyy k x? ? ?得 2 2 2 2( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x k x k? ? ? ? ?， 212 2834kxx k?， 212 24 1234kxx k?， 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2
14、 ( ) 1 O M O N x x y y x x k x x x x? ? ? ? ? ? ? ? = 2 2 2 222 2 2 24 1 2 4 1 2 8 5 1 2( 1 ) 23 4 3 4 3 4 3 4k k k kkk k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以 2k? ，故直线 l 的方程为 2( 1)yx?或 2( 1)yx? ? 【 6分 】 （ II） 设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y, 3 3 4 4( , ), ( , )A x y B x y 由 （ II） 可得： |MN|= 2 2 21 2 1 2 1 2
15、1 | | (1 ) ( ) 4 k x x k x x x x? ? ? ? ? ? = 2 2 2222 2 28 4 1 2 1 2 ( 1 )( 1 ) ( ) 4 ( ) 3 4 3 4 3 4k k kk k k k? ? ? ? ? 由 22143xyy kx? ? ?消去 y，并整理得： 221234x k? ?， |AB|= 2234 23 (1 )1 | | 4 34 kk x x k? ? ? ?， 22 2224 8 (1 )| 34 41 2 ( 1)|34kAB kkMNk?为定值 【 12分 】 21、 设函数? ? ? ? ? ?2ln 1f x x a x x
16、? ? ? ?，其中aR?. （）讨论函数?fx极值点的个数，并说明理由； （）若? ?0, 0x f x? ? ?成立，求a的取值范围 . 21、 解： 函数? ? ? ? ? ?2ln 1f x x a x x? ? ? ?的定义域为 ? ?1,? ? ? ? 21 2 1211a x a x af x a x axx ? ? ? ? ? ? ? 9 令 ? ? ? ?22 1 , 1 ,g x a x a x a x? ? ? ? ? ? ? ? （ 1） 当 0a? 时 ， ? ? 10gx? ， ? ? 0fx? ? 在 ? ?1,? ? 上 恒成立 所以 ，函数 ?fx在 ? ?1
17、,? ? 上单调递增 无极值； （ 2）当0时， ? ? ? ?2 8 1 9 8a a a a a? ? ? ? ? ?当89a?时，0?，? ? 0?所以，?，函数?在? ?1,?上单调递增无极值； xyx =-14y =2 a x2+ ax - a +1o当89a?时，0?设方程22 1 0ax ax a? ? ? ?的两根为1 2 1 2, ( ),x x x x?因为1212xx? ?所以，11,44? ? ? ?由? ?1 1 0g ? ? ?可得：1 14x? ? ?所以，当?11,?时，? ?0, 0g f x?，函数?fx单调递增； 当? ?12,x x x?时，? ? ,x f ?，函数 单调递减； 当?2,?时，? ?x，函数?单调递增； 因此函数?fx有两个极值点 10 xyx =-14y =2 a x2+ ax - a +1-1 x2x1o( - 1 ,1)（ 3）当0a?时，0?由? ?1 1 0g ? ? ?可得：1 1,x?xyx =-14y =2 a x2+ ax - a +1-1x 2o( - 1 ,1)当? ?21,xx?时，? ? ?0, 0g x f x?，函数?fx单调递增； 当?2,? ?时，? ?，函数 单调递减； 因此函数?fx有一个极值点
