1、 1 2016 2017 学年度第一学期期末质量检测 高三数学（理科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 全卷满分 150分，考试时间 120分钟。 注意： 1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。 3. 填空题和解答题用 0.5毫米黑色墨 水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试题卷上无效。 第 卷（选择题 共 60分） 一、选 择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中
2、，只有一项是符合题目要求的。把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。 1已知集合 2 | 2 3 0A x x x? ? ? ?， | 2 2B x x? ? ? ?，则 AB? A -2， -1 B -1， 2 C -1， 1 D 1， 2 2. 设 i为虚数单位， z 表示复数 z 的共轭复数，若 1iz? ，则 iizz? 等于 A -2 B -2i C 2 D 2i 3 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ()fx 满 足 ： 对 于 任 意 的 12, ( ,0xx? ? 12()xx? ，有2 1 2 1( ) ( ) ( ) 0x x f x f x? ? ?，则当
3、n ?N 时，有 A ( ) ( 1) ( 1)f n f n f n? ? ? ? ? B ( 1) ( ) ( 1)f n f n f n? ? ? ? ? C ( 1) ( ) ( 1)f n f n f n? ? ? ? ? D ( 1) ( 1) ( )f n f n f n? ? ? ? ? 4 已知 F为双曲线 22: 1( 0)33xyCaa ? ? ?的一个焦点，则点 F到 C的一条渐近线的距离为 A 3 B 3 C 3a D 3a 5高考后， 4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，则甲、乙两所大学都有考生参观的概率为 2 A 18B 38C 58D 786 已知图甲是
4、函数 ()y f x? 的图象，图乙由图甲变换所得，则图乙中的图象对应的函数可能是 A (| |)y f x? B | ( )|y f x? C ( | |)y f x? D ( | |)y f x? ? 7如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 A 34 B 55 C 78 D 89 8已知 1tan( )42?， 且 02? ? ? ?， 则 22sin sin 2cos( )4?等于 A 255?B 3510?C 31010?D 2559若实数 x， y满足不等式组 3 3 02 3 010xyxyx my? ? ? ? ? ? ?，且 xy? 的最大值为 9，则实数 m等于 A
5、-2 B -1 C 1 D 2 10已知直线 1 : 4 3 6 0l x y? ? ? 和直线 2:1lx? ，抛物线 2 4yx? 上一点 P到直线 12ll和 的距离之和的最小值是 A 355B 2 C 115D 3 11一只蚂蚁从正方体 1 1 1 1ABCD ABC D? 的顶点 A处出发，经过正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点 1C 的位置，则下列图中可以表示正方体及蚂 蚁最短爬行路线的正视图是 3 A B C D 12 定义在 (0, )2?上的函数 ()fx， ()fx? 是它的导函数，且恒有 ( ) tan ( ) 0f x x f x?成立，则 A 2 ( ) ( )34
6、ff?B 3 ( ) 2 ( )46ff?C ( ) 3 ( )36ff?D 3 ( ) ( )36ff?第 卷（非选择题 共 90分） 二、填空题：本大题 共 4小题，每小题 5分，共 20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。 13已知 5(1 )(1 )ax x?的展开式中 2x 的系数为 5，则 a? 14分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦 B曼德尔布罗特 (Benoit B. Mandelbrot)在 20 世 纪 70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路如图是按照分形的规律生长成的一个树形图，则第 10行的空
7、心圆的个数是 15平面向量 (1,2)?a ， (4,2)?b ， ()mm? ? ?Rc a b ，且 与ca的夹角等于 与cb的夹角，则 m 等于 16设 G 是 ABC 的重心，且 7 s i n 3 s i n 3 7 s i n 0G A A G B B G C C? ? ?，则角 B 的大小为 三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第 17 21 题为必做题，第 22 24 为选做题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。 17（本题满分 12分）在含有 3件次品的 100件 产品中，任取 2件 ，求： （）取到的次品数 X 的分
8、布列（分布列中的概率值用分数表示，不能含组合符号）； （）至少取到 1件次品的概率 . 4 18.（本题满分 12分）已知函数 ()xf x a? 的图象过点 1(1, )2 ，且点2( 1, )( )nannn ?N在函数 ()xf x a?的图象上 （）求数列 na 的通项公式； （）令1 12n n nb a a?，若数列 nb 的前 n项和为 nS ，求证 5nS? . 19.（本题满分 12分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 90BAC? ? ? ， 2AB AC?， 1 4AA? ， 1A 在底面 ABC的射影为 BC的中点， D是 11BC 的中点 . （ ）
9、证明： 11AD ABC?平 面 ； （ ）求二面角 11A BD B?的平面角的余弦值 . 20.（本题满分 12分） 已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的离心率 22e?，短轴长为 22. （ ）求椭圆 C的标准方程； （ ）如图，椭圆左顶点为 A，过原点 O的直线（与坐标 轴不重合）与椭圆 C交于 P、 Q两点 .试问以 MN 为 直径的圆是否经过定点？请证明你的结论 . 5 21.（本题满分 12分） 已知函数 ( ) sin cosf x ax x x?，且 ()fx在4x ?处的切线斜率为 28?. （ ）求 a的值，并讨论 ()fx在 , ? 上的单调
10、性 ； （ ）设函数 1( ) ln ( 1 ) , 01 xg x m x xx? ? ? ?，其中 0m? ，若对任意的 1 0, )x? ? 总存在2 0, 2x ?，使得 12( ) ( )g x f x? 成立，求 m的取值范围 . 请考生在 22， 23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时，请用 2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑。 22（本题满分 10分）【选修 4 4 坐标系统与参数方程】 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 cos (sinxy ? ? ? 为 参 数 ），曲线 C2的参数方程为c o s
11、( 0 ,s inxa abyb ? ? ? ? 为 参 数 ），在以 O为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:l? 与 C1， C2各有一个交点，当 0? 时，这两个交点间的距离为 2，当 2? 时，这两个交点重合 . () 分别说明 C1， C2是什么曲线，并求 a与 b的值； () 设当 4? 时， l 与 C1， C2的交点分别为 A1， B1，当 4? 时， l 与 C1， C2的交点分别为 A2，B2，求直线 A1 A2 、 B1B2的极坐标方程 . 23（本题满分 10分）【选修 4 5 不等式选讲】 设函数 ( ) , 0f x x a a? ? ?. () 证明 1
12、( ) ( ) 2f x f x? ? ?； () 若不等式 1( ) (2 ) 2f x f x?的解集是非空集，求 a的范围 6 天门、仙桃、潜江 2016 2017学年度第一学期期末考试 高三数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题： 1 5 ACCAD 6 10 CBACB 11 12 CD 二、填空题： 13 a? -1 14 21 15 2 16 3? 三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第 17 21 题为必做题，第 22 24为选做题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。 17（本题满分 12分） 【解析】：（）因为从
13、100 件产品中任取 2 件的结果数为 2100C ，从 100 件产品中任取 2 件其中恰有k 件次品的结果数为 23 97kkCC? ，所以从 100 件产品中任取 2 件，其中恰 有 k 件次品的概率为23 9 72100( ) , k 0 , 1 , 2 .kkCCP X kC? ? ?-4分 X 0 1 2 P 776825 971650 11650 -8分 （）根据随机变量 X的分布列，可得至少取到 1件次品的概率为 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )P X P X P X? ? ? ? ? 9 7 1 4 91 6 5 0 1 6 5 0 8 2 5? ? ?-12 分 18.（
14、本题满分 12分） 【解析】 （ ） 函数 ()xf x a? 的图象过点 1(1, )2 ， 11, ( ) ( )22xa f x? 2分 又点2( 1, )( )nannn ?N在函数 ()xf x a? 的图象上 从而2112n nan ?，即 212n nna ? 6分 （ ） 证明：由 22( 1 ) 2 12 2 2n n n nn n nb ? ? ?7 得23 5 2 12 2 2n nnS ? ? ? ? 8分 则2 3 11 3 5 2 1 2 12 2 2 2 2n nnnnS ? ? ? ? ?两式相减得， 2 3 11 3 1 1 1 2 12 ( )2 2 2 2
15、 2 2n nn nS ? ? ? ? ? ? 255 2n nnS ? 11 分 5nS? 12 分 19.（本题满分 12分） 【解析】 （ ） 设 E为 BC的中点，连接 1 , , ,AE AE DE 由题意得 1AE ABC?平 面 所以 1AE AE? 因为 AB AC? ，所以 AE BC? 故 1AE ABC?平 面 3分 由 D， E分别为 11BC ， BC的中点， 得 11/DE B B DE B B?且 ，从 而 11/DE A A DE A A?, ， 所以四边形 1AAED 为平行四边形 故 1 /AD AE ,又因为 1AE ABC?平 面 所以 11AD ABC
16、?平 面 6分 （ ） （解法一）作 11A F BD A F BD F?且 ，连接 1BF 由 112 , 9 0A E E B A E A A E B? ? ? ? ? ? ?，得 4AB AA? 由 1 1 1 1,A D B D A B B B?，得 11ADB BDB?与 全等 由 1AF BD? ，得 1BF BD? ， 因此 11AFB? 为 二面角 11A BD B?的平面角 9分 由 1 1 12 , 4 , 9 0A D A B D A B? ? ? ? ?，得 11 43 2 , 3BD A F B F? ? ?8 由余弦定理得11 1cos 8AFB? ? 12分 （解法二）以 CB 的中点 E为原点，分别以射线 EA， EB为 x， y轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Exyz， 如图所示 7分 由题意知各点坐标如下： 1 (0 , 0 , 1 4 ), (0 ,
