1、 - 1 - 宜昌市部分示范高中教学协作体 2017年秋期中联考 高三（理科）数学 （全卷满分： 150分 考试用时： 120分钟） 第卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分） 1 ?570sin 的值是 （ ） A 21? B 21 C 32 D 23? 2.已知集合 2 | 16 0A x x? ? ?， 5,0,1B? ，则 （ ） A .AB? ? B BA? C ? ?01AB?， D AB? 3.已知 ),0( ? 且 2cos sin 2?，则 cos sin? 的值为（ ） A. 2? B 62? C 2 D 62 4.已知命题 p ： Rx? ， 03
2、 12 ?x ，命题 q ： “ 20 ?x ” 是 “ 1log2 ?x ” 的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A p? B qp? C )( qp ? D ()pq? 5 已知函数 ()fx sin(x )+1( 0， | |2)的最小正周期为 4 ，且对任意 x R，都有 ()fx ()3f? 成立，则 ()fx图象的一个对称中心的坐标是 ( ) A. 2 ,03?B. 2 ,13?C. 2 ,03?D. 2 ,13?6若等比数列 ?na 的首项为 23 ，且 44 1 (1 2 )a x dx?，则公比等于 ( ) A 3 B 2 C 3 D 2 7 函数 ( ) sin
3、( )f x x?（其中 0? 且 2? ）的 图象如图所示，为了得到 xy ?sin?的图象， 只需把 ()y f x? 的图象上所有点 ( ) - 2 - A 向右平移 6? 个单位长度 B 向右平移 3? 个单位长度 C 向左平移 6? 个单位长度 D 向左平移 3? 个单位长度 8、函数 ? ?2 7logf x x x?的零点包含于区间（ ） A ? ?1,2 B (2,3) C (3,4) D ? ?4,? 9.若 )2ln (21)( 2 ? xaxxf 在 ),1( ? 上是减函数，则 a 的取值范围是（ ） A. ? ?,1 B. ),1( ? C. ? ?1,? D. )1
4、,1(? 10.设 73)tan( ? ， 31)4tan( ? ? ，则 )4tan( ? 的值是 （ ） A 32 B 98 C 121 D. 91 11.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 11?a ， 21 ? nn Sa ，则满足1012 ?nnSS的 n 的最小值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 12已知函数? ? ? 0,ln 0,)( xx xeaxf x ，其中 e 为自然对数的底数，若关于 x 的方程0)( ?xff 有且只有一个实数解，则实数 a 的取值范围为 （ ） A )0,(? B ),1()1,0( ? C )1,0( D )1,0()0,( ?
5、 第卷 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分，请把答案填在答题卡上） 13.已知 1cossin cos2sin ? ? ? ， 则 ?tan . 14若函数 23() 21xxafx ? ?是奇函数，则 a 15.已知 ABC? 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于 _ - 3 - 16.已知数列 na 与 nb 满足 )(32 ? Nnba nn ，若 nb 的前 n 项和为 )13(23 ? nnS且? 3)3(36 ? nba nn 对一切 ?Nn 恒成立，则实数 ? 的取值范围是 . 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算过程 ） 17
6、（本小题 10分）已知命题 p ：函数 ()fx为定义在 R 上的单调递减函数，实数 m满足 不等式 ( 1) (3 2 )f m f m? ? ?. 命题 q ：当 x 0,2?时 ,方程 2sin 2 sin 1m x x? ? ? ?有解 . 求使 “ p且 q” 为真命题的实数 m的取值范围 . 18.(本小题满分 12分 ) 在 ABC? 中，角 CBA、 所对的边为 cba、 ，且满足c o s 2 c o s 2 2 c o s ( ) c o s ( )66A B A A? ? ? ?. （） 求角 B 的值； （） 若 ab ? 3 ，求 ca?2 的取值范围 19（本小题满
7、分 12 分）为了了解中学生的体能状况，某校抽取了 n 名高一学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中第二小组频数为 14 （ 1）求频率分布直方图中 a的值及抽取的学生人 数 n； （ 2）现从跳绳次数在 179.5， 199.5内的学生中随机选取 3人，记 3人中跳绳次数在 189.5，199.5内的人数为 X，求 X的分布列和数学期望 - 4 - 20. (本小题满分 12分 ) 已知正项数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且 nS 是 1与 na 的等差中项 . （）求数列 ?na 的通项公式； （）设 nT 为数列12nnaa?的前 n 项和
8、，证明： ? ?2 13nT n N ? ? ?21（本小题满分 12 分）如图，多面体 ABCDEF中，正方形 ADEF与梯形 ABCD所在平面互相垂直，已知 /AB CD ， AD CD? ， 2AB? ， 4CD? ，直线 BE与平面 ABCD所成的角的正切值等于 22 . （ 1）求证：平面 BCE平面 BDE； （ 2）求平面 BDF与平面 CDE所成锐二面角的余弦值 - 5 - 22. （本小题满分 12 分）已知函数 x xxf ln1)( ? . （ 1）求函数 )(xf 的单调区间； （ 2）若 mxxxfxg ? )()( 在区间 ,0( e 上的最大值为 3? ，求 m
9、的值； （ 3）若 1?x 时，有不等式 1)( ? xkxf 恒成立，求实数 k 的取值范围 . - 6 - 宜昌市部分示范高中教学协作体 2017年秋期中联考 高三（理科）数学 参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B C B C A C C B A D 二、填空题 13、 21 14、 3 15、 733 16、 ),1813( ? 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算过程 ） 17 解：对于命题 p:由函数 f(x)为 R 上的单调递减函数 得 1 3 2mm? ? ? 解得 23m? ? 2分 对于命题 q:当 x
10、 时 ,sin x 0,1, m=cos2x-2sin x=-sin2x-2sin x+1=-(sin x+1)2+2 -2,1, ? 6分 综上 ,要使 “ p且 q” 为真命题，只需 p真 q真， 即 232mm? ? 1解得实数 m的取值范围是 . ? ? 10分 18.（ 1）由已知 c o s 2 c o s 2 2 c o s c o s66A B A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?得 2 2 2 2312 s in 2 s in 2 c o s s in44B A A A? ? ?， 化简得 3sin 2B? 故 233B ? 或 4分 （ 2）因为 ba?
11、 ，所以 3B ? ， 6分 由正弦定理 3 2s in s in s in 32a c bA C B? ? ? ?，得 a=2sinA,c=2sinC， 8分 22 4 s i n 2 s i n 4 s i n 2 s i n ( )3a c A C A A? ? ? ? ? ? 3 s in 3 c o s 2 3 s in ( )6A A A ? ? ? ? 10分 - 7 - 因为 ba? ，所 以 2 ,3 3 6 6 2AA? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 )32,32 ?ca 12 分 19 （ ）由直方图知， ( 0 .0 0 8 0 .0 4 0 .0 1 6 0
12、 .0 0 8 ) 1 0 1a? ? ? ? ? ?， 0.028a? ， 所以抽取的学生人数为 14 500.028 10n ?(人 ） 4分 （ ）跳绳次数在 179.5 199.5， 内 的学生人数有 5 0 (0 .0 1 6 0 .0 0 8) 1 0 1 2? ? ? ?(人 ） ， 其中跳绳次数在 189.5 199.5， 内的学生 人数有 50 0.008 10=4?(人 ） 6分 由题意， X的取值可为 0 1 2 3， ， ， 38312C 14( 0) C 55PX ? ? ?， 1248312CC 28( 1) C 55PX ? ? ?， 2148312CC 12(
13、2) C 55PX ? ? ?， 34312C 1( 3) C 55PX ? ? ? 所以随机变量 X的分布列为 X 0 1 2 3 P 14552855 1255 155 10 分 随机变量 X的数学期望为 1 4 2 8 1 2 1( ) 0 1 2 3 15 5 5 5 5 5 5 5EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分 20. （ 1） 1n? 时 ， 1 1a? 1分 2n? 时， 2114 ( 1)nnSa?，又 24 ( 1)nnSa?， 两式相减得 11( )( 2 ) 0n n n na a a a? ? ? ? 102n n na a a ? ? ? ?， ，
14、 ?na 为是以 1为首项， 2为公差的等差数列 ， 即 21nan?. ? 6分 （ 2）12 2 1 1( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1 2 1nna a n n n n? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) 13 3 5 2 1 2 1 2 1nT n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， - 8 - 10 分 1,nT? 又 111230, nnn Taa T? ?， 综上 2 13nT?成立 . 12分 21 （ 1） 证明： 平面 ADEF? 平面 ABCD， 平面 ADEF 平面 ABCD AD? ， ED AD? ， E
15、D ADEF?平 面 ， ED? 平面 ABCD， 又 BC? 平面 ABCD， BC ED? ED? 平面 ABCD， EBD? 为 BE与平面 ABCD所成的角， 设 EDa? ，则 24AD a DB a? ? ?， ， 在 Rt EDB 中，22ta n 24E D aEBD DB a? ? ? ?， 2a? ， 在直角梯形 ABCD中， 22( ) 2 2B C A D C D A B? ? ? ?， 在 DBC 中， 2 2 2 2 4B D B C C D? ? ?， ， 2 2 2BD BC CD? ， BC BD? ， 又 BD ED D? ， BC 平面 BDE， 又 BC
16、 BCE?平 面 ， 平面 BCE 平面 BDE 6分 （ 2）解：由题 知， DA， DC， DE两两垂直，如图，以 D为原点， DA， DC， DE 所在直线分别为 x轴 、 y轴 、 z轴，建立空间直角坐标系 D xyz? ， 则 ( 0 0 0 ) (2 , 0 , 0 ) , (2 2 0 ) (2 0 2 ) ( 0 4 0 ) ( 0 0 2 )D A B F C E， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 取平面 CDE的一个法向量 (2 0 0)DA? ， ， ， 设平面 BDF的一个法向量 ()x y z? ， ，n ， 则 00DBDF? ? ，nn即 00xyxz? ? ，令 1x? ，则 1yz? ? ， 所以 (1 1 1)? ? ?， ，n - 9 - 设平面 BDF与平面 CDE 所成锐二面角的大小为 ? ， 则 13c o s | c o s |33DA? ? ? ? ? ?， n， 所以平面 BDF与平面 CDE所成锐二面角的余弦值是 33 12分 22.（ 1）易知 )(xf 定义域为 ),0( ? ，2ln)(&
