1、 - 1 - 湖南省娄底市 2017届高三数学上学期期末教学质量检测试题 文 第卷（选择题） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分 .在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 . 1.设集合 ? ? ? ?| 0 4 , | 1 3A x x B x N x? ? ? ? ? ? ?，则 AB? A. ? ?|1 3xx? B. ? ?|0 4xx? C. ? ?1,2,3 D.? ?0,1,2,3 2.关于 x的方程 ? ? ? ?2 4 4 0x i x a i a R? ? ? ? ? ?有实根 b，且 z a bi? ，则复数 z等于 A. 22i?
2、B.22i? C. 22i? D. 22i? 3.已知等比数列，则 1“ 0“a? 是 2017“ 0“a ? 的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列说法正确的是 A. “若 1a? ，则 2 1a? ”的否命题是“若 1a? ，则 2 1a? ” B. 在 ABC? 中，“ AB? ” 是“ 22sin sinAB? ”必要不充分条件 C. “若 tan 3? ，则 3? ”是真命题 D. ? ?0 ,0x? ? ? 使得 0034xx? 成立 5.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，异面直线 1AB与 1AD 所
3、成角的大小为 A. 30 B. 45 C. 60 D.90 6.已知实数 0 .3 0 .1 2 0 .31 .7 , 0 .9 , lo g 5 , lo g 1 .8a b c d? ? ? ?，那么它们的大小关系是 A. c a b d? ? ? B. a b c d? ? ? C. c b a d? ? ? D. c a d b? ? ? 7.函数 ? ? ? ? ?2f x x ax b? ? ?为偶函数，且在 ? ?0,? 上单调递增，则 ? ?20fx?的解集为 A. ? ?| 0 4x x x?或 B. ? ?|0 4xx? C. ? ?| 2 2x x x? ? ?或 D.
4、? ?| 2 2xx? ? ? 8.在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波 .若两个声波随时间的变化规律分别为：? ?123 2 s in 1 0 0 , 3 s in 1 0 0 4y t y t ? ? ? ?，则这两个声波合成后（即 12y y y?）的声波的振幅为 A. 62 B. 3 3 2? C. 32 D. 3 - 2 - 9.下列四个图中，可能是函数 ln 11xy x ? ? 的图象是是 10.已知 ? ? ? ?c o s 2 3 , c o s 6 7 , 2 c o s 6 8 , 2 c o s 2 2A B B C?，则 ABC? 的面积为 A. 2 B. 2 C
5、. 1 D. 22 11.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 S为 ? ?S R r l?（注：圆台侧面积公式为） A. 17 3 17? B. 20 5 17? C.22? D. 17 5 17? 12.已知 aR? ，若 ? ? xaf x x ex?在区间 ? ?0,1 上有且只有一个极值点，则 a的取值范围是 A. 0a? B. 1a? C. 1a? D. 0a? 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 . 13.已知 2 2 3c o s , ,2 3 2 2? ? ? ? ?
6、? ? ? ? ? ? ? ? ?，则 tan? . 14.已知向量 ,ab的夹角为 45 ，且 1, 2 10a a b? ? ?，则 b? . 15.设实数 ,xy满足 2 2,2 0,2,yxxyx? ? ?则 13yx? 的取值范围是 . 16. “中国剩余定理”又称“孙子定理” .1852年英国来华传教伟烈亚利将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲 .1874年，英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定 理，因而西方称之为“中国剩余定理” . “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 2至 2017这 2016个数中
7、能被 3除余 1且被 5除余 1的数按由小到 大的顺序排成一列，构成数列 ?na ，则此数列的项数- 3 - 为 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分 .解答应写出必要的文字说明或 推理、验算过程 . 17.（本题满分 10分）在锐角三角形 ABC中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知7 , 3 , 7 s in s in 2 3 .a b B A? ? ? ? （ 1）求角 A的大小； （ 2）求 ABC? 的面积 . 18.（本题满分 12分）某赛季甲、乙两名篮球 运动员每场比赛得分的原始记录如下： 甲运动员得分： 13,51,23,8,26,38,16,33,14,
8、28,39； 乙运动员得分： 49,24,12， 31,50,31,44,36,15,37,25,36,39. （ 1）用十位数为茎，在答题卡中画出原始数据的茎叶图； （ 2）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为 2,3,4的比赛中抽取一个容量为 5的样本，从该样本中随机抽取 2场，求其中恰有 1场得分大于 40分的概率 . 19.（本题满分 12分）已知数列 ?na 的各项均为正数，观察程序框图，若5, 10kk?时，分别有 5 10,.11 21SS? （ 1）试求数列 ?na 的通项公式； （ 2）令 3nnnba?，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT . 20.（本题满 分 12分
9、）如图，在直角梯形 ABCD中，90AD C BAD? ? ? ?, 1, 2,AB AD CD? ? ?平面 SAD? 平面 ABCD ,平面 SDC? 平面ABCD , 3SD? ,在线段 SA 上取一点 E（不含端点）使 EC=AC,截面 CDE交 SB于点 F. （ 1） 求证： EF/CD; （ 2）求三棱锥 S-DEF的体积 . - 4 - 21.（本题满分 12分）已知函数 ? ? ? ?2 1, 1 .f x x g x a x? ? ? ? （ 1）若关于 x的方程 ? ? ? ?f x g x? 只有一个实数解，求实数 a的取值范围； （ 2）若当 xR? 时，不等式 ?
10、? ? ?f x g x? 恒成立，求实数 a的取值范围 . 22.（本题满分 12分）已知 aR? ，函数 ? ? ln 1.f x x ax? ? ? （ 1）讨论函数 ?fx的单调性； （ 2）若函数 ?fx有两个不同的零点 ? ?1 2 1 2,x x x x? ，求实数 a的取值范围； （ 3）在（ 2）的条件下，求证： 122.xx? - 5 - 一、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C C C A A D C D D A 二、 13. 14. 15. 16. 134 17.解：（ ）锐角 ABC 中，由条件利用正弦定理可得 = ， sin
11、B=3sinA， 再根据 sinB+sinA=2 ，求得 sinA= ， 角 A= ?（ 5分） （ ） 锐角 ABC 中，由条件利用余弦定理可得 a2=7=c2+9 6c?cos ，解得 c=1 或 c=2 当 c=1时， cosB= = 0，故 B为钝角，这与已知 ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件当 c=2 时， ABC 的面积为 bc?sinA= ?3?2? = （ 10分） 18.解：（ ）由题意得茎叶图如图：?（ 5 分） （ ）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为 2、 3、 4 的比赛中抽取一个容量为 5的样本， 则得分十位数为 2、 3、别应该抽取 1， 3， 1场，
12、所抽取的赛场记为 A， B1， B2， B3， C， 从中随机抽取 2场的基本事件有： （ A， B1），（ A， B2），（ A， B3），（ A， C）， （ B1， B2），（ B1， B3），（ B1， C），（ B2， B3）， （ B2， C），（ B3， C）共 10 个， 记“其中恰有 1场的得分大于 4”为事 件 A， 则 事件 A中包含的基本事件有： （ A， C），（ B1， C），（ B2， C），（ B3， C）共 4个， ?（ 12 分） 答：其中恰有 1场的得分大于 4的概率为 - 6 - 19.解： 解得： 或 （舍去），则 .6分 （ 2） 则 .12分 20
13、. 证明：（ 1） CD/AB CD/平面 SAB 又 平面 CDEF平面 SAB=EF CD/EF?（ 6分） （ 2） CD AD，平面 SAD 平面 ABCD CD 平面 SAD CD SD，同理 AD SD 由（ 1）知 EF/CD EF 平面 SAD EC=AC， ， ED=AD 在 中 AD=1， SD= 又 ED=AD=1 E 为 SA 中点， 的面积为 三棱锥 S-DEF的体积 ?（ 12分） 21.解：（ ）方程 |f（ x） |=g（ x），即 |x2 1|=a|x 1|，变形得 |x 1|（ |x+1| a） =0， 显然， x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，
14、即要求方程 |x+1|=a有且仅有一个等于 1的解或无解， a 0? 6分 （ ）当 x R时，不等式 f（ x） g（ x）恒成立，即（ x2 1） a|x 1|（ *）对 x R恒成立， 当 x=1时，（ *）显然成立，此时 a R； - 7 - 当 x 1时，（ *）可变 形为 a ，令（ x） = = 因为当 x 1时， （ x） 2，当 x 1时，（ x） 2，所以（ x） 2，故此时 a2 综合 ，得所求实数 a的取值范围是 a 2? 12分 22.解： （ ） f（ x）的定义域为（ 0， +），其导数 f（ x） = a 当 a 0时， f（ x） 0，函数在（ 0， +）上是
15、增函数； 当 a 0时，在区间（ 0， ）上， f（ x） 0；在区间（ ， +）上， f（ x） 0 f（ x）在（ 0， ）是增函数，在（ ， +）是减函数? 4分 （ ）由（ ）知，当 a 0时，函数 f（ x）在（ 0， +）上是 增函数，不可能有两个零点， 当 a 0时， f（ x）在（ 0， ）上是增函数，在（ ， +）上是减函数，此时 f（ ）为函数 f（ x）的最大值， 当 f（ ） 0时， f（ x）最多有一个零点， f（ ） =ln 0，解得 0 a 1， 此时， ，且 f（ ） = 1 +1= 0， f（ ） =2 2lna +1=3 2lna （ 0 a 1）， 令 F
16、（ a） =3 2lna ，则 F（ x） = = 0， F（ a） 在（ 0， 1）上单调递增， F（ a） F（ 1） =3 e2 0，即 f（ ） 0， a的取值范围是（ 0， 1）? 8分 （ ）由（ ）可知函数 f（ x）在（ 0， ）是增函数，在（ ， +）是减函数分析： 0 ， 只要证明： f（ ） 0就可以得出结论 - 8 - 下面给出证明：构造函数： g（ x） =f（ x） f（ x） =ln（ x） a（ x）（ lnx ax）（ 0 x ），则 g（ x） = +2a= ， 函数 g（ x）在区间（ 0， 上为减函数 0 x1 ，则 g（ x1） g（ ） =0，又 f（ x1） =0， 于是 f（ ） =ln（ ） a（ ） +1 f（ x1） =g（ x1） 0又 f（ x2） =0， 由（ 1）可知 ，即 ? 12分
