1、 - 1 - 2016-2017 学年度 上学期高三期中考试 数学试卷（文） 第卷 一、选择题 （每题只有一个正确选项，每题 5 分共 60分） 1. 已知集合 ? ? ? ?2| 3 2 0 , | 1A x x x B x x? ? ? ? ? ? ?，则 AB?（ ） A. (1,2) B. ?2 C.( 1,2)? D.? ?1,2 2已知函数 ? ? xxf 5? ， ? ? ? ?Raxaxxg ? 2 ，若 ? ? 11 ?gf ，则 ?a （ ） A.-1 B.1 C.2 D. 3 3.角 的终边过点 P( 1,2)，则 sin 等于 ( ) A B C D 4. ABC的 内
2、角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 a ， c 2， cosA ，则 b等于 ( ) A B C 2 D 3 5.给出如下四个命题： 若“ qp? ”为假命题，则 qp, 均为假命题； 命题“若 122, b ? aba 则 ”的否命题为“若 122, a ? bba 则 ”； 命题“任意 01, 2 ? xRx ”的否定是“存在 01, 00 ? xRx ”； 函数 ?fx在 0x=x 处导数存在，若 p： ? ? 00/ ?xf ； q： x=x0是 ?fx的极值点，则 p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件；其中真命题的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3
3、D. 4 6函数 ? ? 1log221? xxf x 的零点个数为 （ ） A.1 B.2 C.3 D. 0 7.给出下列四个命题： 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若 ， ，则 ； - 2 - 设 是单位向量，若 ，且 | | 1，则 ； 的充要条件是 | | |且 . 其中假命题的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 8.已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A 1 B 4 C 1或 4 D 2或 4 9设曲线 y x2 1 在其任一点（ x， y）处切线斜率为 g（ x）， 则函数 y g（ x） cos x的部分图象可以
4、为 （ ） 10.设 a， b， c是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则 a b的一个充分条件是 ( ) A a ， b B ， a? ， b? C a c， b c D a ， b 11.若四棱锥 P ABCD的三视图如图所示则四棱锥 P ABCD的四个侧面中面积最大值是 A 3 B 52 C 6 D 8 12.定义域为 R 的函数 ?xf 对任意 x 都有 ? ? ? ?xfxf ? 11 ，且其导数 ?xf/ 满足? ? ? ? 01 / ? xfx ，则当 42 ?m 时，有 （ ） A. ? ? ? ? ? ?mfff m 2lo g22 ? B. ? ? ? ? ? ?22
5、lo g 2 ffmf m ? C. ? ? ? ? ? ?2lo g2 2 fmff m ? D. ? ? ? ? ? ?mfff m 2lo g22 ? 第卷 二、 填空题 （每题 5 分共 20 分） 13. 给出下列六个命题： 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； 若 | | | |，则 ； - 3 - 若 ，则 A， B， C， D四点构成平行四边形； 在平行四边形 ABCD 中，一定有 ； 若 ， ，则 ； 若向量 a b， b c，则 a c. 其中 错误 的命题有 _ (填序号 ) 14.已知数列 na 是等差数列，且 1 4 7 2a a a ? ? ? ，则 35ta
6、n( )aa? 的值为 _ ； 15.正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 32 ，则四面体 A B1CD1的外接球的体积为 _ ； 16.已知函数 ? ? ,2131 23 Rxaaxxaxxf ? 其中 0?a ，若函数 ?xf 在区间 ? ?0,2?内恰有两个零点，则 a 的取值范围是 _ 三、 解答题 （ 17 题 10 分 18题 -22题每题 12 分 共 70分） 17. 已知 ABC? 的三个角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，且 ,ABC 成等差数列，且 3b? 数列 ?na 是等比数列，且首项1 12a?，公比为 aAsin （ 1）求数列 ?na 的通项公式；（
7、2）若 2log nn nab a?，求数列 ?nb 的前 n 项和 nS . 18.在平面直角坐标系 xOy中，已知向量 m ， n (sinx， cosx)， x . (1)若 m n，求 tanx的值； (2)若 m 与 n 的夹角为 ，求 x的值 19. 已知函数 f(x) 7x 5x 1，数列 an满足： 2an 1 2an an 1an 0 且 an 0.数列 bn中， b1f(0)且 bn f(an 1) (1)求证：数列 ? ?1an是等差数列； (2)求数列 ? ?1?nnaa 的前 n项和 Sn； (3)求数列 |bn|的前 n项和 Tn； 20. ABC的内角 A， B，
8、 C的对边分别为 a， b， c，已知 2cosC(acosB bcosA) c. (1)求 C； (2)若 c ， ABC的面积为 ，求 ABC的周长 - 4 - 21.如图，三棱锥 PABC中， PA平面 ABC， PA 1， AB 1， AC 2， BAC 60 . (1)求三棱锥 PABC的体积； (2)证明：在线段 PC上存在点 M，使得 AC BM，并求 的值 22.已知函数 ln 1()xxfx e ?（ e 是自然对数的底数）， ( ) 1 lnh x x x x? ? ? . （ 1）求曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切 线方程； （ 2）求 ()hx 的
9、最大值； （ 3）设 ( ) ( )g x xf x? ，其中 ()fx为 ()fx的导函数 . 证明：对任意 0x? ， 2( ) 1g x e? . - 5 - 2016-2017上期中考试参考答案及评分标准（文） 一 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.B 7.C 8.C 9.A 10.A 11.C 12. D 二 13. 14. 3 15. 36 16. ? 31,017.（ 1）解 ,ABC 成等差数列 , 60B? ? ? 21sinsin ? b Ba A 12n na? 5分 （ 2） nnnn na ab 2log 2 ? ? 7 分 nn nS 22221 2 ?
10、?； 2 132 22)1(2221 ? nnn nnS ? 2 1 1 1(1 2 ) 2 2 2 2 2 2 2n n n nnS n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1( 1)2 2nnSn ? ? ? 10 分 18.解 (1)因为 m ， n (sinx， cosx)， m n. 所以 m n 0，即 sinx cosx 0，所以 sinx cosx，所以 tanx 1.-6分 (2)因为 |m| |n| 1，所以 m n cos ， 即 sinx cosx ，所以 sin ， 因为 20 ?x ，所以 444 ? ? x ，所以 x ，即 x .-12分 19.(1)
11、证明 由 2an 1 2an an 1an 0得 1an 1 1an 12，所以数列 ? ?1an是等差数列 -4 (2) 解 而 b1 f(0) 5，所以 7(a1 1) 5a1 1 1 5， 7a1 2 5a1，所以 a1 1， 1an 1 (n 1)12，所以 an2n 1 ; ? ? 2111422121 nnnnaa nn ? ?22212142111413131214 ? ? ? n nnnnS n -8 - 6 - (3) 解 因为 an 2n 1.所以 bn 7an 2an 7 (n 1) 6 n. 当 n 6时， Tn n2(5 6 n) n(11 n)2 ； 当 n 7时，
12、 Tn 15 n 62 (1 n 6) n2 11n 602 . 所以， Tn? n(11 n)2 ， n 6，n2 11n 602 ， n 7.-12 20.解 (1)由已知及正弦定理得， 2cosC(sinAcosB sinBcosA) sinC,2cosCsin(A B) sinC，故 2sinCcosC sinC可得 cosC ，所以 C .-6分 (2)由已知， absinC ，又 C ，所以 ab 6，由已知及余弦定理得， a2 b2 2abcosC 7，故 a2 b2 13，从而 (a b)2 25. 所以 ABC的周长为 5 .-12分 21.(1)解 由题设 AB 1， AC
13、 2， BAC 60， 可得 S ABC AB AC sin 60 . 由 PA平面 ABC，可知 PA是三棱锥 PABC的高，又 PA 1. 所以三棱锥 PABC的体积 V S ABC PA .-6分 (2)证明 在平面 ABC 内，过点 B 作 BN AC，垂足为 N，在平面 PAC 内，过点 N 作 MN PA 交PC 于点 M，连接 BM.由 PA平面 ABC 知 PA AC，所以 MN AC.由于 BN MN N，故 AC平面MBN，又 BM?平面 MBN，所以 AC BM. - 7 - 在 Rt BAN中， AN AB cos BAC ，从而 NC AC AN ， 由 MN PA，
14、得 .-12 分 22.解： (1)由 ln 1()xxfx e ?，得 1(1)f e? ， 1分 1 ln( ) xx x xfx xe? ，所以 (1) 0kf?， ? 3分 所以曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线方程为 1y e? . ? 4 分 （ 2 ( ) 1 lnh x x x x? ? ? (0, )x? ? .所以 ( ) ln 2h x x? ?. ? 5分 令 ( ) 0hx? 得， 2xe? .因此当 2(0, )xe? 时， ( ) 0hx? ， ()hx 单调递增；当 2( , )xe? ?时， ( ) 0hx? ， ()hx 单调递减 .
15、? 7分 所以 ()hx 在 2xe? 处 取 得 极 大 值 ， 也 是 最 大 值 . ()hx 的最大值为22( ) 1h e e? . ? 8分 (3)证明：因为 ( ) ( )g x xf x? ，所以 1 ln()xx x xgx e?,0x? ， 2( ) 1g x e? 等价于 21 ln (1 )xx x x e e ? ? ? ?. 9分 由（）知 ()hx 的最大值为 22( ) 1h e e? ，故 21 ln 1 .x x x e? ? ? ? 只需证明 0x? 时， 1xe? 成立，这显然成立 . 10 分 所以 221 ln 1 (1 )xx x x e e e? ? ? ? ? ?，因此对任意 0x? ， 2( ) 1g x e? . ?12分
