1、讲授讲授 机械工程学院机械工程学院 课程内容课程内容 第一章 概论 第二章 控制系统的动态数学模型 第三章 时域瞬态响应分析 第四章 控制系统的频率特性 第五章 控制系统的稳定性分析 第六章 控制系统的误差分析和计算 第七章 控制系统的综合与校正 第八章 根轨迹法 * 第十章 计算机控制系统 学习借助学习借助MATLABMATLAB工具进行控制系统分析的方法工具进行控制系统分析的方法 第一章第一章 概论概论 1 1. .1 1 自动控制系统的基本概念自动控制系统的基本概念 1 1. .2 2 控制工程的发展控制工程的发展 1 1. .3 3 控制理论在工业中的应用控制理论在工业中的应用 1 1
2、. .4 4 课程主要内容及学时安排课程主要内容及学时安排 1 1. .1 1自动控制系统的基本概念自动控制系统的基本概念 1 1）自动控制自动控制 在没有人直接参与的情况下，利用外加的设 备或装臵（称为控制装臵或控制器），使机器、设 备或生产过程（通称被控对象）的某个工作状态或 参数（即被控量）自动地按照预定的规律运行。 如：数控机床、室内温度控制、机车、船舶 及飞机自动驾驶、导弹制导等。 2 2）人工控制工作原理人工控制工作原理 人工控制恒温箱调节过程：人工控制恒温箱调节过程： 观测恒温箱内的温度（被控制量）比如孵小鸡 的最适宜温度是37.8C (2C) 要求的温度（给定值）进行比较，得到
3、温度 偏差的大小和方向 偏差的大小和方向 根据偏差大小和方向调节调压器，控制加热电 阻丝的电流以调节温度回复到要求值。 人工控制过程的实质：检测偏差再纠正偏差。 恒温箱实际温度由热电偶转换为对应的电压u2 恒温箱期望温度由电压u1给定，并与实际温度u2 比较得到温度偏差信号uu1 u2 温度偏差信号经电压、功率放大后，用以驱动 执行电动机，并通过传动机构拖动调压器动触头。 当温度偏高时，动触头向减小电流的方向运动， 反之加大电流，直到温度达到给定值为止，此时， 偏差u=0，电机停止转动。 恒温箱自动控制系统工作原理：恒温箱自动控制系统工作原理： 从恒温箱控制系统功能框图可见从恒温箱控制系统功能
4、框图可见： 给定量位于系统的输入端，称为系统输入量。 也称为参考输入量（信号）。 被控制量位于系统的输出端，称为系统输出量。 输出量（全部或一部分）通过测量装臵返回系 统的输入端 使之与输入量进行比较，产生偏差 （给定信号与返回的输出信号之差）信号。输出 量的返回过程称为反馈。返回的全部或部分输出 信号称为反馈信号。 综上所述，控制系统的工作原理： 检测输出量（被控制量）的实际值 将输出量的实际值与给定值（输入量）进行比较 得出偏差； 用偏差值产生控制调节作用去消除偏差，使得输 出量维持期望的输出。 由于存在输出量反馈，上述系统能在存在无法 预计扰动的情况下，自动减少系统的输出量与参考 输入量
5、（或者任意变化的希望的状态）之间的偏差， 故称之为反馈控制。 显然 反馈控制建立在偏差基础上，其控制方式 是“检测偏差再纠正偏差”。 这种基于反馈原理，能对输出量与参考输入量 进行比较，并力图保持两者之间既定关系的系统， 称为反馈控制系统。反馈控制系统具备测量、比较 和执行三个基本功能。 注意：反馈控制系统中的反馈一定是负反馈。 3 3）开环控制与闭环控制）开环控制与闭环控制 实际的控制系统根据有无反馈作用可分为三类： 开环控制系统 闭环控制系统 半闭环控制系统 开环控制系统开环控制系统 特点特点：系统仅受输入量和扰动量控制；输出端和输入 端之间不存在反馈回路；输出量在整个控制过程中对 系统的
6、控制不产生任何影响。 输入输入 装置装置 控制控制 装置装置 伺服驱伺服驱 动装置动装置 工作台工作台 指令指令 系统输入系统输入 工作台位置工作台位置 系统输出系统输出 数控机床的开环控制系统框图 优点：简单、稳定、可靠。若组成系统的元 件特性和参数值比较稳定，且外界干扰较小， 开环控制能够保持一定的精度。 缺点：精度通常较低、无自动纠偏能力。 控制器控制器对象或过程对象或过程 输入量输入量输出量输出量 开环控制系统框图 闭环控制系统闭环控制系统 特点：特点：输出端和输入端之间存在反馈回路，输出量对 控制过程有直接影响。 闭环的作用：应用反馈，减少偏差。 优点：优点：精度高，对外部扰动和系统
7、参数变化不敏感。 缺点：缺点：存在稳定、振荡、超调等问题，系统性能分析 和设计麻烦。 闭环控制系统框图 半闭环控制系统半闭环控制系统 特点：特点：反馈信号通过系统内部的中间信号获得。 4 4）闭环控制系统的组成）闭环控制系统的组成 （1 1）给定元件给定元件：产生给定信号或输入信号。 （2 2）反馈元件）反馈元件：测量被控制量（输出量），产生反 馈信号。 注意：在机械、液压、气动、机电等系统中可能会存 在着内在反馈，这种反馈无须专门的反馈元件，是系 统内部各参数相互作用产生的，如作用力与反作用力 之间形成的直接反馈。 （3 3）比较元件：比较元件：对给定信号和反馈信号进行比较， 产生偏差信号；
8、 （4 4）放大元件：放大元件：对偏差信号放大，使之有足够的能 量驱动执行元件实现控制功能; （5 5）执行元件：执行元件：直接对受控对象进行操纵的元件， 如电动机、液压马达等； （6 6）校正元件：校正元件：用以改善系统控制质量的装臵。 校正元件分为串联和反馈两种。 控制系统中比较元件、放大元件、执行元件和反 馈元件等共同起控制作用，统称为控制器。 实际的控制系统中，扰动总是不可避免的，扰动 分为内部扰动和外部扰动，但在控制系统中，扰动 集中表现在控制量与被控量的偏差上，因此，可以 将控制系统的扰动等效为对控制对象的干扰。 5）控制系统的基本类型）控制系统的基本类型 （1 1）按输入量的特征
9、分类按输入量的特征分类 恒值控制系统恒值控制系统 系统输入量为恒定值。控制任务是保证在任何 扰动作用下系统的输出量为恒值。如：恒温箱控制、 电网电压、频率控制等。 程序控制系统程序控制系统 输入量的变化规律预先确知，输入装臵根据输 入的变化规律，发出控制指令，使被控对象按照指 令程序的要求而运动。如数控加工系统。 随动系统随动系统（伺服系统伺服系统） 输入量的变化规律不能预先确知，其控制要求是 输出量迅速、平稳地跟随输入量的变化，并能排除各 种干扰因素的影响，准确地复现输入信号的变化规律。 如：仿形加工系统、火炮自动瞄准系统等。 （2）按系统中传递信号的性质分类按系统中传递信号的性质分类 连续
10、控制系统连续控制系统 系统中各部分传递的信号为随时间连系统中各部分传递的信号为随时间连 续变化的信号。连续控制系统通常采用续变化的信号。连续控制系统通常采用 微分方程描述。微分方程描述。 离散（数字）控制系统离散（数字）控制系统 系统中某一处或多处的信号为脉冲序系统中某一处或多处的信号为脉冲序 列或数字量传递的系统。离散控制系统列或数字量传递的系统。离散控制系统 通常采用差分方程描述。通常采用差分方程描述。 （3 3）其它分类方法其它分类方法 线性系统和非线性系统； 定常系统和时变系统； 机械、电气、机电、液压、气动、热力等控制 系统； 温度、压力、位臵等控制系统。 6 6）对控制系统的基本要
11、求对控制系统的基本要求 对控制系统性能的要求概括为三方面: 稳、准、快 （1）稳定性 控制系统运行的必要条件，不稳定的 系统是不能工作的 （2）准确性 当过渡过程结束后,被控量达到的稳态 值应与期望值一致或尽量接近,其误差 称为稳态误差 （3）快速性 系统动态响应的快速性，系统的过渡 过程越短越好 稳定性稳定性 系统动态过程的振荡倾向及其恢复平衡状态的 能力。稳定的系统当输出量偏离平衡状态时，其输 出能随时间的增长收敛并回到初始平衡状态。稳定 性是控制系统正常工作的先决条件。控制系统稳定 性由系统结构所决定，与外界因素无关。 精确性精确性 控制精度，以稳态误差来衡量。稳态误差为系 统的调整（过
12、渡）过程结束而趋于稳定状态时，系 统输出量的实际值与给定量之间的差值。 快速性快速性 输出量和输入量产生偏差时，系统消除这种偏 差的快慢程度。快速性表征系统的动态性能。 注意：注意： 不同性质的控制系统，对稳定性、精确性 和 快 速性要求各有侧重。 系统的稳定性、精确性、快速性相互制约，应 根据实际需求合理选择。 1 1. .2 2 控制工程的发展控制工程的发展 公元1788年，英国人J.Watt用离心式调速器控制蒸 汽机的速度，由此产生了第一次工业革命。 1868年：J J. . C C. . MaxwellMaxwell发表调速器， 提出 反馈控制的概念及稳定性条件。 1884年：E E.
13、 .J J. .RouthRouth 提出劳斯稳定性判据。 1892年：A A. .MM. .LyapunovLyapunov提出李雅普诺夫稳定性 理论。 1895年：A A. .HurwitzHurwitz提出赫尔维茨稳定性判据。 1932年：H H. .NyquistNyquist提出乃奎斯特稳定性判据。 1945年：HH. .WW. .BodeBode提出反馈放大器的一般设计 方法 1948年：N.Wiener发表控制论，标志经典控 制理论基本形成；经典控制理论以传递函数为基础， 主要研究单输入单输出（SISOSISO）系统的分析和控 制问题； 控制论的奠基人 美国科学家 （Wiener
14、,N.,18941964） 1950年：W.R.Evans提出根轨迹法，进一步充实了 经典控制论； 1954 年：钱 学 森 用英文出版工程控 制论，首先把控制 论推广到工程技术领 域 工程控制论是关于工程技术领域各个系统自 动控制和自动调节的理论。维纳博士40年代提示了 控制论的基本思想后，一段时间里,不少工程师和数 学博士曾努力寻找通往这座理论顶峰的道路，但均半 途而废。工程师偏重于实践，解决具体问题，不善于 上升到理论高度；数学家则擅长于理论分析，却不善 于从一般到个别去解决实际问题。钱学森则集中两者 优势于一身，高超地将两只轮子装到一辆战车上，碾 出了工程控制论研究的一条新途径。 根据
15、自动控制理论的内容和发展的不同根据自动控制理论的内容和发展的不同 阶段，控制理论可分为“经典控制理论”阶段，控制理论可分为“经典控制理论” 和“现代控制理论”两大部分。和“现代控制理论”两大部分。 “经典控制理论”的内容是以传递“经典控制理论”的内容是以传递 函数为基础，以频率法和根轨迹法作为函数为基础，以频率法和根轨迹法作为 分析和综合系统基本方法，主要研究单分析和综合系统基本方法，主要研究单 输入，单输出这类控制系统的分析和设输入，单输出这类控制系统的分析和设 计问题。计问题。 5050年代末年代末6060年代初：现代控制理论形成；年代初：现代控制理论形成； 现代控制理论以状态空间法为基础
16、现代控制理论以状态空间法为基础，主主 要分析和研究多输入要分析和研究多输入- -多输出多输出(MIMO)(MIMO)、时时 变变、非线性等系统的最优控制非线性等系统的最优控制、最优滤最优滤 波波、系统辨识系统辨识、自适应控制自适应控制、智能控制智能控制 等问题；控制理论研究的重点开始由频等问题；控制理论研究的重点开始由频 域移到从本质上说是时域的状态空间方域移到从本质上说是时域的状态空间方 法；法； 1956年：庞特里亚金（，.）提出 极大值原理； 1957年：R. I. Bellman提出动态规划理论； 1960年：R. E. Kalman提出卡尔曼滤波理论； 19601980年：确定性系统
17、的最优控制、随机系 统的最优控制、复杂系统的自适应和自学习控制； 1980迄今：鲁棒控制、H控制、非线性控制、智 能控制等。 如今，控制工程的发展与人类社会的进步息息相关 第一颗人造卫星（苏联，19571957年） 第一颗载人飞船 （苏联，19611961年） 人类首次登上月球 （美国，19691969年） 首架航天飞机 （美国，19811981年） 首次冲出太阳系（美国，19891989年） 仿人机器人仿人机器人 （日本，（日本，20012001年）年） 神州五号载人航天成功神州五号载人航天成功（中国中国，20032003年年） 勇气号勇气号、机遇号火星探测器机遇号火星探测器（美国美国，20
18、042004年年） 坦普尔坦普尔1 1号彗星深度撞击（美国，号彗星深度撞击（美国，20052005年）年） 导弹击中卫星（中国，导弹击中卫星（中国，20072007年；美国，年；美国，20082008年）年） 神州七号飞天神州七号飞天 (2008年年9月月) 六自由度六自由度 工业机器人工业机器人 1.3 控制理论在工业中的应用控制理论在工业中的应用 感应导线式感应导线式 自动导引车自动导引车 宽带钢热连轧机宽带钢热连轧机 宽带钢宽带钢热连轧机热连轧机热轧带钢热轧带钢热轧薄板热轧薄板 宽带钢宽带钢冷连轧机冷连轧机冷轧带钢冷轧带钢冷轧薄板冷轧薄板 1 1. .4 4 课程的主要内容及学时安排课程
19、的主要内容及学时安排 控制工程基础课程主要阐述的是有关反 馈自动控制技术的基础理论。 本课程是一门非常重要的技术基础课， 是机械学院平台课程。它是适应机电一体化 的技术需要，针对机械对象的控制，结合经 典控制理论形成的一门课程。本课程主要涉 及经典控制理论的主要内容及应用, 更加突 出了机电控制的特点。 本课程在高等数学、理论力学、电工电 子学等知识的基础上，使学生掌握机电控制 系统的基本原理及必要的实用知识。值得指 出的是，尽管经典控制理论在六十年代已完 全发展成熟，但它并不过时，经典控制理论 是整个自动控制理论（包括现代控制理论） 的基础。用一个不十分贴切的比喻，尽管微 积分的基本理论在几
20、百年前已经发展成熟， 但在高等数学中至今仍然起着重大作用。 本课程的基本要求本课程的基本要求 (1) 掌握机电反馈控制系统的基本概念，其中包括机 电反馈控制系统的基本原理、机电反馈控制系统基 本组成、开环控制、闭环控制等； (2) 掌握建立机电系统动力学模型的方法； (3) 掌握机电系统的时域分析方法； (4) 掌握机电系统的频域分析方法； (5) 掌握模拟机电控制系统的分析及设计综合方法。 本课程讲授42 学时，上机和实验8学时； 本教材主要涉及经典控制理论部分，对现 代控制理论只作简单涉及，现代控制理论的 主要内容将在研究生课程中讲授。 作业，课堂小练习。 考试2学时 自动控制理论自动控制
21、理论 教材教材 控制工程基础（第三版）控制工程基础（第三版） 董景新董景新 清华大学出版清华大学出版 第二章第二章 控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型 2.1 控制系统的数学模型的基本概念 2.2 非线性系统数学模型的线性化 2.3 拉氏变换与拉氏反变换 2.4 传递函数 2.5 系统函数方框图及简化 2.6 信号流图及梅逊增益公式 2.7 控制系统的传递函数 小结 建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控 制系统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方 法。如果将物理系统在信号传递过程中的动态特性 用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的 数学模型。 经典控制理论采用的数学模型主
22、要以传递函数 为基础。而现代控制理论采用的数学模型主要以状 态空间方程为基础。而以物理定律及实验规律为依 据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递 函数和状态空间方程的基础。 2.1 2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 2.1.1 数学模型的基本概念 数学模型是描述系统输入 输出量以及内部各变 量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其 参数与其性能之间的内在关系的方程式。 静态数学模型： 静态条件（变量各阶导数为零） 下描述变量之间关系的代数方程。反映系统处于稳 态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。 动态数学模型动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的 微分方程，即
23、描述动态系统瞬态与过渡态特性的模 型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化 的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同 时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。 微分方程或差分方程常用作动态数学模型。 对于给定的动态系统，数学模型表达不唯一。 工程上常用的数学模型包括：微分方程，传递函数 和状态方程。对于线性系统，它们之间是等价的。 建立数学模型的方法建立数学模型的方法 解析法解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学 规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也 称为系统辨识系统
24、辨识。 数学模型的形式数学模型的形式 时间域：时间域： 微分方程 差分方程 状态方程 复数域：复数域： 传递函数 结构图 频率域：频率域： 频率特性 “三域”模型及其相互关系“三域”模型及其相互关系 微分方程微分方程 t （时域时域） 传递函数传递函数 S （复域复域） 频率响应频率响应 （频域频域） 系统系统 F 1 F L 1 L sj js 2 2. .1 1. .2 2 控制系统的运动微分方程控制系统的运动微分方程 1 1）建立数学模型的一般步骤建立数学模型的一般步骤 分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定 系统和各元件的输入、输出量； 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各
25、变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件 的动态微分方程； 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出 变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列 机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械 系统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构 件则惯性较小、柔度较大。在集中参数法中，我们 将前一类构件的弹性忽略将其视为质量块，而把后 一类构件的惯性忽略而视为无质量的弹簧。这样受 控对象的机械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统。 )()()()( )()()()( 01 1 1 1 01 1 1 1 trbtr td d btr td d btr td d b tcatc td
26、 d atc td d atc td d a m m m m m m n n n n n n 线性定常系统微分方程的一般形式：线性定常系统微分方程的一般形式： 电动机 减速器 工作台+工件 系统一 系统二 系统三 进给传动装臵示意图及其等效的力学模型 组合机床动力滑台及其等效的力学模型 工件 动力滑台 2 2）系统微分方程的列写系统微分方程的列写 机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素： 质量质量 2 2 ( )( ) ( ) m dy td x t ftmm dtdt 弹簧弹簧 对于弹簧，受 力相同，变形 量不同。 12 12 ( )( )( )(
27、 ) ( )( ) ( ) k t t ftk x tx tkx t kv tv t dt kv t dt 阻力阻力 12 12 ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) D ftD v tv tDv t d x tx t D dt dx t D dt 机械平移系统机械平移系统 2 0 2 0 0 ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) iDk k D d f tftftmx t dt ftkx t d ftDx t dt 2 000 2 ( )( )( )( ) i dd mx tDx tkx tf t dtdt 式中：m、D、k通常均为常数，故机械平移系统可 以由二阶常
28、系数微分方程描述。 显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数， 而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧） 的数量。 弹簧阻尼系统系统弹簧阻尼系统系统 系统运动方程为一阶常系 数微分方程。 ( )( )( ) ( )( )( ) iDk ooi f tftf t d Dx tkx tf t dt 机械旋转系统机械旋转系统 2 2 2 2 ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) kio Do okD oooi T tktt d TtDt dt d JtT tTt dt dd JtDtktkt dtdt 电气系统电气系统 电气系统三个基本元件：电阻、电容
29、和电感。 电阻电阻 电容电容 电感电感 dtdt du(t)du(t) C Ci(t)i(t) R R- -L L- -C C无源电路网络无源电路网络 1 ( )( )( )( ) 1 ( )( ) i o d u tRi tLi ti t dt dtc u ti t dt c 2 2 ( )( )( )( ) oooi dd LCu tRCu tu tu t dtdt 一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。 若L=0，则系统简化为： ( )( )( ) ooi d RCu tu tu t dt 有源电路网络有源电路网络 12 ( )0 ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
30、a i o oi u t u td Cu t i ti tRdt d RCu tu t dt 即： 电动机电动机 ( )( ) T a T tK i t 2 2 ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) a ia aam o me oo di t e tR i tLet dt dt etK dt dtdt T tDJ dtdt 基尔霍夫定律 电磁感应定律 牛顿第二定律 32 32 ( )( )( ) ()()( ) ooo aaaaTeTi dtdtdt L JL DR JR DK KK e t dtdtdt 电枢控制式直流电动机控制系统的动态数学模型： 当电枢电感较小
31、时，通常可忽略不计，系统微分方 程可简化为： 2 2 ( )( ) ()( ) oo aaTeTi dtdt R JR DK KK e t dtdt 2 2. .1 1. .3 3 相似系统相似系统 ( )( )( ) ooi d Dx tkx tf t dt ( )( )( ) ccr d RCu tu tu t dt 具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似 系统。它揭示了不同物理现象之间的相似关系。 同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同 类型的系统也可以有相同形式的数学模型。 k F(t) m D y(t) 2 2 ( )( ) ( )( ) d y tdy t mDky tF t
32、dtdt 2 2 ( )( )( )( ) cccr dd LCu tRCu tu tu t dtdt 2.2 2.2 数学模型的线性化数学模型的线性化 2 2. .2 2. .1 1 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数 是时间 t 的函数，则为线性时变系统。 线性是指系统满足叠加原理，即： 1212 1212 () () () ()( ) ()() () f xxf xf x fxf x fxxf xf x 可加性： 齐次性： 或 非线性系统 用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不 满足
33、叠加原理。 实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定 的工作范围内成立。 为分析方便通常在合理的条件下，将非线性系 统简化为线性系统处理。 2 2. .2 2. .2 2 线性系统微分方程的一般形式线性系统微分方程的一般形式 1 110 1 1 110 1 ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) nn nonooo nn mm mimiii mm ddd ax tax tax ta x t dtdtdt ddd bx tbx tbx tb x t dtdtdt 式中： 012012 nm aaaabbbb， ， ，和 ， ， ， 为由系统结构参数决定的实常数，mn。 2 2. .2
34、 2. .3 3 线性化问题的提出及线性化线性化问题的提出及线性化 1 1）线性化问题的提出线性化问题的提出 非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻尼力 与速度的平方有关；齿轮啮合系统由于间隙的存在 导致的非线性传输特性；具有铁芯的电感，电流与 电压的非线性关系等。 线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系统工 作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进 行处理。 线性化的提出线性化的提出 线性系统是有条件存在的，只在一定的工作范围内 具有线性特性； 非线性系统的分析和综合是非常复杂的； 对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性化模 型近似代替非线性模型进行处理，能够满足实际需 要。 2）非线
35、性系统数学模型的线性化 泰勒级数展开法 函数 在其平衡点 附近的泰勒 级数展开式为： ( )yf x 00 ()xy， 0 00 0 23 23 00 23 ( ) ( )()() 1( )1( ) ()() 2!3! o x x x xx x df x yf xf xxx dx d f xd f x xxxx dxdx 略去含有高一次的增量 的项，则： 0 xxx 0 0 ( ) ( )()() o x x df x yf xf xxx dx 0 0 ( ) x x df x yyyk xk dx 或：，其中： 上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。 称为系统的静态方程；由于反馈 系
36、统不允许出现大的偏差，因此，这种线性化方法 对于闭环控制系统具有实际意义。 00 ()yf x 增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。 对多变量系统，如： ，同样可 采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程。 12 ( ,)yf x x 110110 220220 1212 12 12 ( ,)( ,) , xxxx xxxx f x xf x x kk dxdx 其中： 01122 yyykx kx +增量方程： 01020 (,)yf xx静态方程： 110 220 110
37、 220 12 12110 1 12 220 2 (,) (,)() (,) () + oo xx xx xx xx f x x yf xxxx x f x x xx x 滑动线性化切线法 线性化增量方程为： yyx tg 切线法是泰勒级数法 的特例。 3 3）系统线性化微分方程的建立系统线性化微分方程的建立 步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微 分方程； 线性化处理的注意事项 线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关； 线性化是有条件的，必须注意线性化方程适用 的工作范围； 某些典型的本质非线性，如继电器特性
38、、间隙、 死区、摩擦等，由于存在不连续点，不能通过泰 勒展开进行线性化，只有当它们对系统影响很小 时才能忽略不计，否则只能作为非线性问题处理。 2.3 2.3 拉氏变换与拉氏反变换拉氏变换与拉氏反变换 拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅 氏变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换 建立了时域和复频域间的联系。 拉氏变换的优点：拉氏变换的优点： 1）求解简化； 2）把微分、积分方程转化为代数方程； 3）将复杂函数转化为简单的初等函数； 4）将卷积转化为乘法运算。 预备知识预备知识 *傅立叶变换简介傅立叶变换简介 周期函数的傅里叶级数为 （4.1） 根据欧拉公式，有 （4.2） 令 defF
39、j )()( dtdtf(t)f(t)即即 2 2. .3 3. .1 1 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 设函数 f(t) 满足: t z,p,k=tf2zp(num,den) z = -5 4 p = -3.0000 -2.0000 -1.0000 -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i k = 2 G=zpk(sys1) Zero/pole/gain: 2 (s+5) (s-4) - (s+3) (s+2) (s+1)3 1.用用MATLAB求解拉氏变换和逆变换求解拉氏变换和逆变换 1）拉氏变换）拉氏变换 可以用可以用laplace()函数求时域函数的拉氏变
40、换，用函数求时域函数的拉氏变换，用 simple()函数可以得到符号表达式的最简形式。在使用这两个函数函数可以得到符号表达式的最简形式。在使用这两个函数 之前，首先要利用函数之前，首先要利用函数syms建立符号对象。建立符号对象。 例如例如 ,求求 的拉氏变换的拉氏变换 MATLAB 程序如下（可以按句输入，也可以先编辑成程序如下（可以按句输入，也可以先编辑成M文件）：文件）： syms t y; %声明声明t，y为变量为变量 y=laplace(exp(-6*t)*(cos(8*t)+0.25*sin(8*t); Y=simple(y) 运行结果：运行结果：Y = (s+8)/(s2+12*
41、s+100) 2）拉氏逆变换）拉氏逆变换 有两种方法，第一种是用部分分式展开的方法，利有两种方法，第一种是用部分分式展开的方法，利 用函数用函数residue()将多项式分解后，再对照拉式变换表，求得其对应将多项式分解后，再对照拉式变换表，求得其对应 时域函数形式时域函数形式,约定的自变量是约定的自变量是t； 第二种是直接用第二种是直接用F=ilaplace(L)将多项式函数将多项式函数L变换为时域函数，变换为时域函数， F默认为关于变量默认为关于变量t的函数。的函数。 )8sin25. 08(cos 6 ttey t 然后再将然后再将s的部分分式拉氏逆变换成时域函数。的部分分式拉氏逆变换成时
42、域函数。 ) 0()(5 . 035 . 2)( 234 tteeeetf tttt 对于包含有多重极点的有理分式，仍以例对于包含有多重极点的有理分式，仍以例2-1为例，要注意为例，要注意 多重极点的顺序是由低到高，极点和留数位置要一一对应。多重极点的顺序是由低到高，极点和留数位置要一一对应。 展成部分分式例 ) 133)(65( 4022 )(:12 232 2 sssss ss sG num=2,2,-40; den=conv(1,5,6,1,3,3,1); r,p,k=residue(num,den) r = -3.5000 36.0000 -32.5000 29.0000 -20.00
43、00 p = -3.0000 -2.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 k = 32 ) 1( 20 ) 1( 29 1 32 2 36 3 5 . 3 )( sssss sG 2）直接用直接用F=ilaplace(L)将多项式函数将多项式函数L变换为时域函数变换为时域函数 syms s; %声明s为变量 y=ilaplace(s4+11*s3+39*s2+52*s+26)/(s4+10*s 3+35*s2+50*s+24); 运行结果为运行结果为 dirac(t)+5/2*exp(-3*t)-3*exp(-2*t)+1/2*exp(-t)+exp(-4*t) 与前例用第
44、一种方法的结果相同与前例用第一种方法的结果相同, 其中其中dirac(t)函数为脉冲函数函数为脉冲函数. num,den=residue(r,p,k) num = -0.0000 -0.0000 2.0000 2.0000 - 40.0000 den = 1.0000 8.0000 24.0000 34.0000 23.0000 6.0000 2 2. .3 3. .5 5 应用拉氏变换求解微分方程应用拉氏变换求解微分方程 ( )(1) 10 () 0 ( )( ) ( ) ( ),(0() nn nn m m n a yt Y s ayta b ftb yFfsttt 设微分方程（ 阶系 求
45、解方法： 统的输入输出） ，且 1( ) 1( ) 1 ( 0 0 ) 1 ( ) (0( )( ),0,1, ( )( ),0 ) (0 ),1, iipp jjqj p j q i i q ssyytY si ftF smsfjs 则 ( )y t方程两边取拉氏变换整理得的象函数 zzsi y(t)y (tt +)=y) 再取逆变换得解 11 11 0000 0 0 ) 00 ( ) (0 )( ( 0 ) ( ) ) ) )( ( jnim m ipjjq j ij j ipjq j nnn iii iii ii zs p z i q i F y Y asb ssfb s Y s asasas s Yss 22 22 (0 )(0 )3 (0 )26 ( )( ) 3232 272(3)1 3232 syyys Y sF s ssss ss sssss 整理得 2 2753 ( ) 32
