1、 1 曲阜市 2017-2018 学年度第一学期期中教学质量检测 高三数学试题（理） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 06|,1| 2 ? xxxxBxxA ，则（ ） A 1| ? xxBA B RBA ? C 2| ? xxBA D 12| ? xxBA 2.在复平面内，复数 1?iiz （ i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.下列说法不正确的是（ ） A若“ p 且 q ”为假，则 qp, 至少有一个是
2、假命题 B命题“ 01, 2 ? xxRx ”的否定是“ 01, 2 ? xxRx ” C“ 2? ? ”是“ )2sin( ? xy 为偶函数”的充要条件 D当 0?a 时，幂函数 axy? 在 ),0( ? 上单调递减 4.公比为 2 的等比数列 na 的各项都是正数，且 16113 ?aa ，则 ?102log a （ ） A 4 B 5 C. 6 D 7 5.在下列区间中，函数 34)( ? xexf x 的零点所在的区间为（ ） A )0,41(? B )41,0( C. )21,41( D )43,21( 6.使函数 ),0)(26s in (2 ? ? xxy 为增函数的区间是（
3、 ） A 3,0 ? B 127,12 ? C. 65,3 ? D ,65 ? 7.若非零向量 ?ba, 满足 ? ? |,322| ba 1，且 )23()( ? ? baba ，则 ?a 与 ?b 的夹角为（ ） A 4? B 2? C. 43? D ? 2 8.已知函数 )(xf 的定义域为 R 的奇函数，当 1,0?x 时， 3)( xxf ? ，且 Rx? ，)2()( xfxf ? ， 则 ?)5.2017(f （ ） A 81? B 81 C. 0 D 1 9.如图，在 ABC? 中， PNCAN ,31 ? ? 是 BN 上的一点，若 ? ? ACABmAP 92，则实数 m的
4、值为（ ） A 31 B 91 C. 1 D 3 10.已知函数 axgxxxf x ? 2)(,4)( ，若 3,21,2121 ? xx，使得 )()( 21 xfxf ? ，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1?a B 1?a C. 2?a D 2?a 11.直线 my? 分别与曲线 )1(2 ? xy ，与 xxy ln? 交于点 BA, ，则 |AB 的最小值为（ ） A 423 B 2 C. 3 D 23 12.定义在 R 上的函数 )(xf 满足： )(,0)0(),(1)( xffxfxf ? 是 )(xf 的导函数，则不等式 1)( ? xx exfe （其中 e 为自然对
5、数的底数）的解集为（ ） A ),0( ? B ),0()1,( ? C. ),1()0,( ? D ),1( ? 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.计算定积分 ? ?11 2 )sin( ?dxxx 14.已知 ),2( ? ，且 55sin ? ，则 ? )42tan( ? 15.若等差数列 na 满足 0,0 107987 ? aaaaa ，则当 ?n 时， na 的前 n3 项和最大 16.已知函数 )6910)(62s in (4)( ? ? xxxf ，若函数 3)()( ? xfxF 的所有零点依次记为 nn xxxxx
6、xxx ? ?321321 ,., ，则 ? ? nn xxxx 1321 222 ? 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 在 ABC? 中， 5 52c o s,52,4 ? CACB ? . （ 1）求 BAC?sin 的值； （ 2）设 BC 的中点为 D ，求中线 AD 的长 . 18. 设 nS 为各项不相等的等差数列 na 的前 n 项和，已知 9,3 3753 ? Saaa . （ 1）求数列 na 通项公式； （ 2）设 nT 为数列 11?nnaa的前 n 项和，求 nT . 19. 已知函数 f )0,(2
7、1c o s)c o ss in3()( ? ? Rxxxxx .若 )(xf 的最小正周期为 ?4 . （ 1）求函数 )(xf 的单调递增区间； （ 2）在 ABC? 中，角 CBA , 的对边分别为 cba, ，且满足 CbBca coscos)2( ? ，求函数 )(Af 的取值范围 . 20. 已知等差数列 na 满足 18,9 82321 ? aaaaa ，数列 nb 的前 n 项和为 nS ，且满足 22 ? nn bS . （ 1）求数列 na 和 nb 的通项公式； （ 2）数列 nc 满足nnn bac ? ，求数列 nc 的前 n 项和 nT . 21. 已知函数 xxf
8、 ln)( ? . （ 1）若曲线 1)()( ? xaxfxg 在点 )2(,2( g 处的切线与直线 012 ? yx 平行，求实数a 的值； 4 （ 2）若 0?nm ，求证 2 lnln nmnm nm ? . 22. 已知函数 1)1()1ln ()( ? xkxxf . （ 1）求函数 )(xf 的单调区间； （ 2）若 0)( ?xf 恒成立，试确定实数 k 的取值范围； （ 3）证明 *),0(4 )1(1ln5 4ln4 3ln3 2ln Nnnnnn n ? ?. 试卷答案 一、选择题 1-5:DDCBC 6-10:CABAA 11、 12： DA 二、填空题 13. 32
9、 14. 71? 15. 8 16. ?445 三、解答题 17.解：（ 1）因为 552cos ?C ，且 C 是三角形的内角， 所以 55co s1s in 2 ? CC . 所以)s in ()(s in s in CBCBBAC ? ? CBCB si nco sco ssi n?55225 5222 ? 10103? . （ 2）在 ABC? 中，由正弦定理，得 BACBACBC sinsin ? ， 所以 6101032252s ins in ? BACBACBC ， 于是 321 ? BCCD . 5 在 ABC? 中， 5 52co s,52 ? CAC ，所以由余弦定理得CC
10、DACCDACAD c o s222 ? 55 523522920 ? . 即中线 AD 的长度为 5 . 18.解：（ 1）设 na 的公差为 d ，则由题意知? ? ? ,92233 ),6(3)4)(2(1111dadadada 解得? ? ,3,01ad （舍去）或? ? ,2,11ad 11)1(2 ? nna n . （ 2）2111)2)(1( 11 1 ? nnnnaa nn?， )2(22121)2111()5131()3121(111 13221 ? ? n nnnnaaaaaaT nnn ?. 19.解：（ 1） 21c o sc o ss in3)( 2 ? xxxxf
11、 ? )62s in (2c o s212s in23 ? ? xxx . 41,422 ? ?T? ，由 Zkkxk ? ,226222 ? ，得Zkkxk ? ,324344 ? . )(xf? 的单调递增区间为 Zkkk ? ,324,344 ? . （ 2）由正弦定理得， )s i n (c o ss i n2,c o ss i nc o s)s i ns i n2( CBBACBBCA ? ， 21c o s,0s in)s in ( ? BACB? 或21c o s,c o sc o sc o s2,c o sc o s)2( ? BaBcCbBaCbBca . 又 320,3,0
12、 ? ? ABB ， 6 )1,21()(,2626 ? AfA ? . 20.解：（ 1）设等差数列 na 的公差为 d ， 93,9 2321 ? aaaa? ，即 32?a ， 182,18 582 ? aaa? ，即 95?a ， 6393 25 ? aad ，即 2?d ， 12321 ? daa ， 12)1(21)1(1 ? nndnaa n . 22,22 11 ? ? nnnn bSbS? 两式相减，得 nnnnn bbSSb 22 111 ? ? . 即 nn bb 21? . 又 2,22 111 ? bbb ， ?数列 nb 是首项和公比均为 2 的等比数列， nnnb
13、 222 1 ? ? . ?数列 na 和 nb 的通项公式分别为 nnn bna 2,12 ? . （ 2）由（ 1）知nnnn nbac 2 12 ?， nn nT 2 122321 2 ? ?， 132 2 12232121 ? nn nT ?， 两式相减，得132 2 122222222121 ? nnn nT ?11123223212211)2 11(212121? ? nnnn nnT ， nn nT 2 323 ?. 21.解：（ 1） 1ln)( ? xaxxg 的导数为21)( xaxxg ?， 7 可得在点 )2(,2( g 处的切线斜率为 421)2( ag ? ， 由在
14、点 )2(,2( g 处的切线与直线 012 ? yx 平行， 可得 21421 ?a ，解得 4?a . （ 2）证明：若 0?nm ，要证 2 lnln nmnm nm ? ， 只需证2ln11 nmnmnm? ，即证nmnmnmln1)1(2? ， 令 1 )1(2ln)(),1( ? tttthttnm ， 0)1( )1()1( 41)( 222 ? tt tttth ， 可得 )(th 在 ),1(? 递增，则有 0)1()( ?hth ， 即为 )1(1 )1(2ln ? tttt ， 可得 0?nm 时， 2 lnln nmnm nm ? . 22.解：（ 1）函数 )(xf
15、的定义域为 ),1(? ， kxxf ? 11)( ， 当 0?k 时， 011)( ? kxxf ，函数 )(xf 的递增区间为 ),1(? ， 当 0?k 时， 1 )1(1 11 )1(111)( ? ? ? ? x kkxkx kkxx xkkxxf ， 当 kkx 11 ? 时， 0)( ?xf ，当 kkx 1? 时， 0)( ?xf ， 所以函数 )(xf 的递增区间为 )1,1( kk? ，函数 )(xf 的递减区间为 ),11( ?k . （ 2）由 0)( ?xf 得 1 1)1ln( ? ? xxk ， 令 1 1)1ln( ? ? xxy ，则2)1( )1ln(? ? x xy， 当 21 ?x 时， 0?y ，当 2?x 时， 0?y ，所以 1 1)1ln( ? ? xxy 的最大值为 1)2( ?y ，故 1?k . （ 3）由（ 2）知 1ln ?xx 在 ),1(? 上恒成立，令 2nx? ， 8 则 2 11ln,1ln 2 ? nn nnn ， 所以 2 11ln,232 145 4ln,222 134 3ln,212 123 2ln ? nn n?， )1(4 )1(2 )11)(1(212 12322211ln5 4ln4 3ln3 2ln ? nnnnnnn n ?.
