1、 河南省中原名校联盟河南省中原名校联盟 20202021 学年高三上学期第一次质量考评学年高三上学期第一次质量考评 数学（文）试题数学（文）试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项：注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一一、选择题（本大题共选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题
2、给出的四个选项中，只有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的）目要求的） 1已知集合223, 2, 1,0,2,4AxZxxB ，则AB（ ） A 1,0,2 B 2,0,4 C0,2 D0,4 2已知复数 z 满足(2)(1)2zii，则 z 对应复平面内的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知 2 ( )(1)lg1f xxx，则( )f x的零点个数为（ ） A1 B2 C3 D4 4已知为第二象限角，且 1 sin 4 ，则 3 cos2 2 （ ） A 7 8 B 7 8 C 15 8 D 15 8 5已知双曲线 22 22 :
3、1(0,0) xy Eab ab 的右焦点为( ,0)(0)F cc ，过 F 作直线 l，若 l 与双曲线 E 有 且只有一个交点，且 l 与 y 轴的交点为(0, 2 )Pc，则双曲线 E 的离心率为（ ） A3 B5 C6 D31 6已知等比数列 n a的公比为 q，前 n 项和为 n S，若 134 ,a S S成等差数列，则 2 qq（ ） A1 B1 C2 D2 7若从, , ,A B C D四个字母中任选一个字母，再从 1，2，3，4 四个数字中任选两个数字组成一组“代码” 则该组“代码”恰好包含两个奇数或两个偶数的概率为（ ） A 1 8 B 1 6 C 1 4 D 1 3 8
4、已知 0.2 20.40 1 log 3,log,2, lg3 abc ，则, ,a b c的大小关系正确的是（ ） Aacb Bcab Cbac Dbca 9直线:4l ykx与圆 22 :4O xy交于 1122 ,A x yB x y两点，若 1212 0 x xy y，则 2 k的值 （ ） A3 B7 C8 D13 10 已知等比数列 n a满足： * 21 nn SanN， 若2 n a 的个位数为 n b， 则数列 n b的前21项的和 （ ） A60 B80 C120 D180 11在古代，正四棱台也叫“方亭” ，竖着切去“方亭”两个边角块，把它们合在一起是“刍甍” ，图 1
5、是 上底为 a，下底为 b 的一个“方亭” ，图 2 是由图 1 中的“方亭”得到的“刍甍” ，已知“方亭”的体积为 1 V， “刍甍”的体积为 2 V，若 51 2 a b （约等于 0.618，被称为黄金分割比例，且 51 2 恰好是方程 2 10 xx 的一个实根，台体的体积公式为 1 3 Vh SSSS ，则 2 1 V V （ ） A 51 2 B 51 4 C 1 2 D 1 4 12已知抛物线 2 :2C ypx的焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于,A B两点（设点 A 在第一象限） ，分别过 ,A B作准线的垂线，垂足分别为 11 ,A B，若 1 AFA为等边三角形
6、， 1 BFB的面积为 1 S，四边形 11 AB BF的 面积为 2 S，则 1 2 S S （ ） A 1 3 B 1 4 C 1 6 D 1 7 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13已知向量(1,2)a ，若单位向量b满足2a b ，则|2 |ab_ 14已知实数 x，y 满足不等式组 1 22 1 y x yx x ，则32zxy的最大值为_ 15已知函数 2 ,02 ( ) 2 22 ,2 x x f x xx 剟 ，若( )g x为偶函数，且0 x时，( )( )g xf x，若( )g x在 ,3(3)mm
7、 上的值域为 4,0，则实数 m 的取值范围为_ （结果用区间表示） 16已知正三棱锥PABC的底面边长为 3，若外接球的表面积为16，则PA_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若2 cos2cBab （1）求角 C （2）若ABC的面积为4 3，则 22 3ac的最小值 18 （本小题满分 12 分） 随着经济环境的好转，各地陆续出台刺激消费的政策，2020 年 4 月以后，我
8、国国民消费量日益增加某地 一大型连锁酒店 4 月到 7 月的营业额，统计如下： 月份：x 4 5 6 7 销售额：y（万元） 20 50 100 150 据分析，销售收入 y（万元）与月份 x 具有线性相关关系 （1）试求 y 关于 x 的线性回归方程； （参考数据： 4 2 11 1980,126 n iii ii x yx ） （2）若该酒店的利润为0.26zy，试估计该酒店从几月份起，月利润会超过 60 万元？ （附：在线性回归方程中 ybxa， 1 22 1 , n ii i n i i x ynxxy baybx xnx ） 19 （本小题满分 12 分） 如图，S 是圆锥的顶点，A
9、B是圆锥底面圆 O 的直径，点 C 在圆锥底面圆 O 上，D 为BC的中点 （1）求证：平面SOD 平面SBC； （2） 若S A B为正三角形， 且24BCAC， 设三棱锥SABC的体积为 1 V， 圆锥的体积为 2 V， 求 2 1 V V 20 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )2 ln(0,)f xmxxxxmR （1）若1m ，求证： ( )fx在(0,)上单调递增； （2）若1x ，都有( )1f x ，求实数 m 的取值范围 21 （本小题满分 12 分） 如图，直线 1: lykx与椭圆 22 22 :1 (0) xy Eab ab 交于 M，N 两点，与直线 2:
10、 20lxya交于 点 P，且椭圆 E 的离心率为 3 2 （1）若点 M 在第二象限，且|PMON的最小值为2 2（其中 O 为坐标原点） ，求椭圆 E 的方程； （2）若椭圆 E 的方程为（1）中所求方程，且 3 8 k，求 | | OP MN 的取值范围 【选考题】【选考题】 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目如果多做，则按所做的第一个题目 计分计分 22 （本小题满分 10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为 2 2cos
11、 2sincos x y （为参数） ，以原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为() 6 R （1）求直线 l 被曲线 C 截得的弦长； （2）设点 P 的直角坐标为(3, 1)，直线 l 与曲线 C 交于,A B两点，求 11 |PAPB 23 （本小题满分 10 分） 【选修 45：不等式选讲】 已知函数( ) |1|24|f xxx的最小值为 m （1）求 m 的值； （2）若0,0ab，且2abm，求证： 22 9 5 ab 中原名校中原名校 20202021 学年上期质量考评一学年上期质量考评一 高三文科数学全解全析高三文科数学全解全析 1 【答案】
12、C 【解析】由题意，得130,1,2AxZx ，故0,2AB故选 C 2 【答案】A 【解析】由(2)(1)2zii，得 22 (1)2 22(1)21 12 iii ziii i ，对复平面内的点为 (1,1)，在第一象限故选 A 3 【答案】B 【解析】由( )0f x ，可得 2 10 10 x x 或 2 11x ，解得2x ，故( )f x共有 2 个零点故选 B 4 【答案】D 【解析】由为第二象限角，且 1 sin 4 ，可得 15 cos 4 ，故 3 cos2sin2 2 11515 2sincos2 448 故选 D 5 【答案】B 【解析】由题意，得直线 l 的斜率为 2
13、 2 c c ，由 l 与双曲线 E 有且只有一个交点可知直线 l 与双曲线 E 的 一条渐近线平行，故2 b a ，即 2222 4abca，所以 22 5ac，所以双曲线 E 的离心率为5 c a 故 选 B 6 【答案】B 【解析】因为数列 n a的公比为 q，由 134 ,a S S成等差数列可得 4331 SSSa，即 423 aaa，即 2 10qq 故选 B 7 【答案】D 【解析】所有“代码”有：12A，13A，14A，23A，24A，34A，12B，13B，14B，23B，24B， 34B，12C，13C，14C，23C，24C，34C，12D，13D，14D，23D，24D
14、34D，共 24 组， 其中恰好包含两个奇数或两个偶数的“代码”有 8 组，故所求概率为 81 243 P 故选 D 8 【答案】C 【解析】由对数函数的性质可得 222 log 2log 3log 4，即12a；又 0.40.4 log0.2log0.41，故 0.2 0.4 0log0.21 ，即01b； 33 1 log 10log 92 lg3 ，即2c 故bac故选 C 9 【答案】B 【解析】由条件可得 12 0 x x ，圆 O 的圆心为(0,0)，半径为 2由 1212 0 x xy y可得 12 12 1 yy xx ，故 OAOB， 故A O B为等腰直角三角形， 做点 O
15、 到直线 l 的距离为2， 即 2 4 2 1k ， 解得 2 7k 故 选 B 10 【答案】C 【解析】 由21 nn Sa， 可得 11 21 nn Sa ， 两式相减可得 111 22 nnnnn aSSaa ， 即 1 2 nn aa ， 又 111 21aSa，所以 1 1a ，所以 n a是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以 1 2n n a ， 所以数列 1 1,2,4,8,16,32,2, n n a ，所以数列 1 2 124816322 22 ,2 ,2 ,2 2 ,2 ,2, n n n a ，所以数列 2,4,6,6,6,6,6, n b，故数列 n b的前 2
16、1 项的和为246 19120 故选 C 11 【答案】D 【解析】设“方亭”的高为 h，则 22 1 1 3 Vh aabb， 222 21 11 22 226 ba VVa hhahbaab ， 2 22 2 2 22 1 1 2 2 1 6 1 2 1 3 aa hbaab Vbb V aa h aabb bb 设 51 2 m ，则 2 10mm ，即 2 1mm， 2 2 2 1 2 11211 212214 mm V Vmm 故选 D 12 【答案】D 【解析】由条件可得 11 60AFxAFAAFO ， 11 30BFBOFB ，直线AB的方程为 3 2 p yx ，与 2 2y
17、px联立，消去 y，整理得 2 2 3 350 4 p xpx，解得 6 p x 或 3 2 p x ，故 33 , 3, 263 ppp ApB ，则 1| 2 | | 623 ppp BFBB，则 1 BFB的面积为 2 1 133 26239 pppp S ，四边形 11 AB BF的面积为 2 2 313 3 923 p Sppp 2 7 3 9 p ，故 2 1 2 2 3 1 9 77 3 9 p S Sp 故选 D 13 【答案】17 【解析】由条件可得|5a ，故 222 |2 |44|54( 2)417abaa bb ，故 |2 |17ab故答案为：17 14 【答案】17
18、【解析】不等式组 1 22 1 yx yx x 表示的平面区域如下图的阴影部分所示，平移直线320 xy可知， 32zxy在点 A 处取得最大值由 22 1 yx yx ，可得(3,4)A，故32zxy的最大值为 3 32 417 故答案为：17 15 【答案】 3,0 【解析】由题意， 可以画出函数( )g x的大致图象如下由(0)0,( 3)(3)4ggg ，结合图象可知， 30m 故答案为： 3,0 16 【答案】2 3或 2 【解析】由外接球的表面积为16，可得其半径为 2，设ABC的中心为 1 O，则外接球的球心一定在 1 PO 上，由正三棱锥PABC的底面边长为 3，得 1 3AO
19、 ，在 1 Rt AOO中，由勾股定理可得 2 22 1 2( 3)2PO ，解得 1 3PO 或 1 1PO 又 222 11 PAPOAO，故932 3PA或 132PA，故答案为：2 3或 2 17 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）由2 cos2cBab及正弦定理可得2sincos2sinsinCBAB， 2sincos2sin()sinCBBCB， （3 分） 即2sincossin0BCB， 又sin0B，故 1 cos 2 C ，故 2 3 C （6 分） （2）因为ABC的面积为4 3，所以 1 sin4 3 2 abC ，即 13 4 3 22 ab，故16ab， 由
20、余弦定理可得 2222222 1 2cos2 1616 2 cababCabab ， 所以 2222222 331641641680acaababab， 当且仅当24 2ab时等号成立，故 22 3ac的最小值为 80 （12 分） 18 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）由题中数据可得 4567 5.5 4 x ， 2050100150 80 4 y ， （2 分） 1 2 2 2 1 198045.5 80220 44 12645.55 n ii i n i i x ynxy b xnx ， （4 分） 80445.5162aybx ， （6 分） y 关于 x 的线性回归方程为4
21、4162yx （8 分） （2）由（1）可得0.2(44162)68.838.4zxx， 令8.838.460 x，解得 98.4123 11.2 8.811 x ， （10 分） 故估计该平台从 12 月份起，月利润会超过 60 万元 （12 分） 19 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）由圆锥的性质可知，SO 底面圆 O， BC在底面圆 O 上，BCSO， 点 C 在圆 O 上，ACBC， （2 分） 又点 O，D 分别为,ABBC的中点，/ /ODAC，ODBC， 又ODSOO，且,ODSO 平面SOD，BC 平面SOD， 又BC 平面SBC，平面SOD 平面SBC （6 分）
22、（2）24BCAC4， 2222 422 5ABACBC， SAB是边长为2 5的正三角形， 3 2 515 2 SO ， 1 1114 241515 3323 ABC VSSO ， 2 2 15 15 ( 5)15 33 V ， （9 分） 2 1 5 15 5 3 4 4 15 3 V V （12 分） 20 （本小题满分 12 分） 【解析】解法一： （1）由题意得0 x ，且( )22ln2(0)fxmxxx ， 令( )22ln2(0)xmxxx，则 22(1) ( )2 mx xm xx ， （3 分） 1m ， 令( )0 x 可得 1 0 x m ，令( )0 x可得 1 x
23、m ， 函数( )x在 1 0, m 上单调递减，在 1 , m 上递增， ( )x（的最小值为 11 22ln22ln0m mm ，即( )0fx ， ( )f x在(0,)上单调递增 （6 分） 解法二： 1,0mx ( )2(ln1)2(ln1)fxmxxxx 令( )ln1g xxx 11 ( )1 x g x xx （3 分） ( )g x在(0,1)递减在(1,)递增 ( )(1)0g xg ( )0fx ( )f x在(0,)单调递增（6 分） （2）当1x 时，由( )1f x 可得 2 2 ln1mxxx，即 2 2 ln1xx m x ， 设 2 2 ln1 ( )(1)
24、xx g xx x ， 则 222 443 (2ln2)2 (2 ln1)2ln222(ln1) ( )(1) xxxxxxxxxxxx g xx xxx ， 令( )ln1(1)h xxxxx ，则( )ln1 1ln0(1)h xxxx ， ( )h x在1,)上单调递减， （9 分） 又(1)0h，当1x 时，( )(1)0h xh，所以函数( )g x在1,)上单调递减， 函数( )g x的最大值为(1)1g， 1m ，即实数 m 的取值范围是(1,) （12 分） 21 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）设椭圆 E 的焦距为2c，由题意得 3 2 c a ， 2222 344
25、4acab， 22 4ba，2ab， （2 分） 由椭圆的对称性可得| |OMON，故| | |PMONPMOMOP， |OP的最小值为点 O 到直线 2: 20lxya的距离， 2 2 2 2 a ，故2a ，1b ，椭圆 E 的方程为 2 2 1 4 x y （4 分） （2）由 2 2 1 4 ykx x y ，消去 y，整理得 22 414kx，即 2 2 41 x k ， 2 2 222 2241 = 1 414141 k MNk kkk ， （6 分） 由（1）知2a ， 2: 40lxy， 联立 40 ykx xy ，解得 4 1 4 1 x k k y k ，即 44 , 11
26、 k P kk ， 22 2 2 4441 | 11 (1) kk OP kk k ， 2 2 22 222 2 2 41 42183 (1)|4183 4 |2121(1) 41 41 k kkk kOPkk MNkkkkk k k （9 分） 令83kt ，得 3 8 t k ，由 3 8 k 得0t ， 222 8364 (1)1025 3 1 8 ktt ktt t ， 当0t 时， 2 64 0 1025 t tt ，此时， | 402 | OP MN ； 当0t 时， 2 6464 25 1025 10 t tt t t ， 25 102 25100t t ，当且仅当5t 时等号成
27、立， 64 (0,) 25 10t t ， 此时 | (2,) | OP MN 综上可知， | | OP MN 的取值范围是2,) （12 分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 【解析】 （1）由 2 2cos 2sincos x y ，得 1cos2 sin2 x y ， 故曲线 C 的普通方程为 22 (1)1xy， 因为直线 l 的极坐标方程为() 6 R ， 所以直线 l 的直角坐标方程为30 xy， 所以圆心 C 到直线 l 的距离为 |10|1 213 ， 所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 1 2 13 2 （5 分） （2）易知点(3, 1)P
28、 在直线 l 上，直线 l 的参数方程为 3 3 2 1 1 2 xt yt （t 为参数） ， 代入曲线 C 可得 2 2 31 3111 22 tt ， 即 2 ( 34)2 340tt， 设,A B对应的参数分别为 12 ,t t，则 12 34tt， 1 2 2 34tt ， 11|3452 3 | |22 34 PAPB PAPBPAPB （10 分） 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 【解析】 （1）由题意，得 33,2 ( ) |1|24|5, 21 33,1 xx f xxxxx xx ， ( )f x在区间(, 2) 上单调递减，在区间 2,)上单调递增， ( )f x的最小值( 2)253mf （5 分） （2） （解法一）由柯西不等式可得 22222 21(2)abab， 由（1）得3m，23ab， 22 59ab， 22 9 5 ab，当且仅当 2 a b且23ab，即 6 5 3 5 a b 时等号成立 （10 分） （解法二）由（1）得3m，23ab， 两边平方，得 22 449abab， 22 42(2 )4ababab ， 222222 9445ababab， 22 9 5 ab，当且仅当 2 a b且23ab，即 6 5 3 5 a b 时等号成立 （10 分）
