1、 1 2017-2018 学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1已知集合 M=x|x2+x 12 0， N=y|y=3x， x 1，则集合 x|x M且 x?N为（ ） A（ 0， 3 B 4， 3 C 4， 0） D 4， 0 2等差数列 an中， a7+a9=16， a4=1，则 a12=（ ） A 15 B 30 C 31 D 64 3已知 0 c 1， a b 1，下列不等式成立的是（ ） A ca cb B C bac abc D logac logbc 4设函数 f（ x） = ，已知曲线 y=f（ x）在点（
2、 1， f（ 1）处的切线斜率为 2，则实数 a的值为（ ） A 1或 B C D 1或 5已知函数 f（ x） =sin2x 的图象向左平移 个单位后，得到函数 y=g（ x）的图象，下列关于 y=g（ x）的说法正确的是（ ） A图象关于点（ ， 0）中心对称 B图象关于 x= 轴对称 C图象关于点（ ， 0）中心对称 D图象关于 x= 轴对称 6两个非零向量 ， b 满足 | + |=| |=2| |，则向量 + 与 夹角为（ ） A B C D 7函数 f（ x） = 的图象可能是（ ） A B 2 C D 8已知正数 x， y满足 ，则 z=（ ） x?（ ） y的最小值为（ ） A
3、 1 B C D 9在平面直角坐标系 xOy中，角 与角 均以 Ox为始边，它们的终边关于 y轴对称，若sin= ，则 cos（ ） =（ ） A 1或 B 1或 C D 10设函数 f（ x） =3cos x，若存在 f（ x）的非零极值点 x0 满足 x02+f（ x0） 4m，则实数 m的取值范围为（ ） A（ 1， 3） B（ 2 ， 2+ ） C（ 3， + ） D（ 2+ ， + ） 11已知函数 f（ x）（ x R）的图象关于点（ 1， 1）对称，若函数 y= f（ x）有四个零点 x1， x2， x3， x4，则 x1+x2+x3+x4=（ ） A 2 B 3 C 4 D 5
4、 12已知 f（ x）是定义在（ 0， + ）上的单调递减函数， f （ x）是其导函数， 若 x，则下列不等关系成立的是（ ） A f（ 2） 2f（ 1） B 3f（ 2） 2f（ 3） C ef（ e） f（ e2） D ef（ e2） f（ e3） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分） 13已知 =（ 1， 1）， =（ t， 1），若（ + ） （ ），则实数 t= 14已知 x 0， y 0，且 x+2y=2，若 + m恒成立，则实数 m的取值范围是 15已知定义在 R上的奇函数 f（ x）满足 f（ x） =f（ 2 x），且当 x 0， 1时， f（ x）
5、 =2x m，则 f（ 2107） = 16在 ABC中， ? =2 ，其面积为 ，则 sin2A+sin2B的取值范围是 三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分） 17（ 12 分）已知 m =（ sinx， cos2x）， =（ cosx， 1）， x R，设 f（ x） =m ? 3 （ 1）求 f（ x）的解析式及单调递增区间； （ 2）在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，且 a=2， f（ A） =1，求 ABC面积的最大值 18（ 12 分）设各项均为正数的数列 an的前 n项和为 Sn，满足 an+1= ， n N*，且 a2， a5， a14构成
6、等比数列 （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）若对一切正整数 n都有 + + + ，求实数 a的最小值 19（ 12 分）某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量 y（单位：千克）与销售价格 x（单位：元 /千克， 1 x 12）满足：当 1 x 4时， y=a（ x 3） 2+ ，（ a， b为常数）；当 4 x 12时， y= 100已知当销售价格为2元 /千克时，每日可售出该特产 800千克；当销售价格为 3元 /千克时，每日可售出 150千克 （ 1）求 a， b的值，并确定 y关于 x的函数 解析式； （ 2）若该商品的销售成本为 1元 /千克，试确定销售价
7、格 x的值，使店铺每日销售该特产所获利润 f（ x）最大（ 2.65） 20（ 12 分）已知函数 f（ x） =alnx+ （ a R） （ 1）若 f（ x）在 x=2 处取得极小值，求 a的值； （ 2）若 f（ x）存在单调递减区间，求 a的取值范围 21（ 12 分）已知 a为实常数，函数 f（ x） =ex ax 1（ e为自然对数的底数） （ 1）讨论函数 f（ x）的单调性； （ 2）若 a 1，函数 f（ x）有两个零点，求实数 a的取值范围 22（ 10 分）已知函数 f（ x） =|x a|+ （ a 0） （ 1）若 a=1，解关于 x的不等式 f（ x） |x 2|；
8、 （ 2）若不等式 f（ x） f（ x+m） 1恒成立，求正数 m的最大值 4 2017-2018学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（理科） 参考答案 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1 D； 2 A； 3 D； 4 B； 5 C； 6 D； 7 A； 8 D； 9 D； 10 A； 11 C； 12 C； 二、填空题： 13. 1? 14. 4m? 15.1 16.?1, 2? 三、解答题： 17.解： (1) 2( ) 3 s in c o s c o sf x x x x? ? ? -1 分 3 1 c o s 2 1s in 2 s in ( 2 )2
9、 2 6 2xxx ? ? ? ? ?-3分 令 2 2 22 6 2k x k? ? ? ? ? ? ? ? -4分 得 , ( )36k x k k Z? ? ? ? ? ? ()fx? 的单调递增区间为 , , ( )36k k k Z? ? ? ? -6分 （ 2）由 1( ) sin (2 ) 162f A A ? ? ? ?, 得 1sin(2 )62A ? -7分 又 13(0 , ), 2 ( , )6 6 6AA ? ? ? ? ? ? -8 分所以52 66A ? 所以 3A ? -9分 2 2 2 2 c o sa b c b c A? ? ? 2242b c b c b
10、 c b c b c? ? ? ? ? ? ? -11分 1 sin 32ABCS bc A? 5 ABC 面积 的最大值为 3 . -12分 18.解：（ 1）当 2n? 时，满足 2 14 4 1,nns a n n N ? ? ? ?， 且 214 4 ( 1 ) 1,nns a n n N ? ? ? ? ? ? 22114 4 4 4n n n n na s s a a? ? ? ? ?， -1分 2 2 21 = + 4 4 ( 2 )n n n na a a a? ? ? ?， 0na? ， 1 2nnaa? ?， -2分 当 2n? 时， na 是公差 为 2d? 的等差数 列
11、 -3分 2a ， 5a ， 14a 构成等比数列， 25 2 14a a a? ， 22 2 2+ 6 + 2 4a a a?（ ） （ ）， 解得 2=3a ， -4分 又由已知， 当 1n? 时， 214 4 1aa? ? ?， 1=1a -5分 21- =3-1=2aa ， na 是首项 1=1a ，公差 2d? 的等差数列 数列 na 的通项公式 21nan? -6分 （ 2）由（ 1）可得式 11 1 1 1 1=-2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1nna a n n n n? ? ? ? ? ?（ ）（ -8分 1 2 2 3 11 1 1 1 1 1+ + + =
12、+ + +1 3 3 5 2 1 ) ( 2 1 )nna a a a a a n n? ? ? ? ?（ 1 1 1 1 1 1 1 11 - + - + - + + )2 3 3 5 5 7 2 1 2 1nn? ? ? ?（ ） （ ） （ ） （1 1 1(1 )2 2 1 2n? ? ? -10 分 1728a? 解得 47a? 6 a? 的最小值为 47 -12分 19.解：（ 1）由 题意： 2x? 时 800y? ， 800ab? ， 又 3x? 时 150y? ， 300b? ,可得 500a? , -2分 2 3005 0 0 ( 3 ) , 1 412800 1 0 0
13、, 4 1 2xxxxxy? ? ? ? ? ? ? -4分 （ 2）由题意： 25 0 0 ( 3 ) ( 1 ) 3 0 0 , 1 42800( 1 0 0 ) ( 1 ) , 4 1 2( ) ( 1 ) x x xxxxf x y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -5分 当 14x?时， 2 3 2( ) 5 0 0 ( 3 ) ( 1 ) 3 0 0 5 0 0 3 5 0 0 7 5 0 0 4 2 0 0f x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?， ( ) 500(3 5)( 3)f x x x? ? ? ?， 由 ( ) 0fx? ? 得 51
14、3x? 或 34x? 由 ( ) 0fx? ? 得 5 33 x? 所以 ()fx在 5(1, ),(3,4)3 上是增函数，在 5( ,3)3 上是减函数 -7分 因为 5 8 0 0 0( ) 4 5 0 ( 4 ) 1 8 0 039ff? ? ? ? 所以 4x? 时， ()fx的最大值为 1800 -9分 当 14 12x? 时， 2 8 0 0 2 8 0 0( ) ( 1 0 0 ) ( 1 ) 2 9 0 0 (1 0 0 ) 2 9 0 0 4 0 0 7 1 8 4 0f x x xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? -10分 7 当且仅当 2800100x x? ，即
15、 2 7 5.3x?时取等号， 5.3x? 时有最大值 1840 -11 分 1800 1840? ， 当 5.3x? 时 ()fx有最大值 1840， 即当销售价格为 5.3 元的值，使店铺所获利润最大 -12分 20.解：（ 1） 1( ) ln 21f x a x x? ? ?，定义域为 ),0( ? -1分 因为2221 ( 2 1 )() ( 1 ) ( 1 )a a x a x afx x x x x? ? ? ? ? -3分 因为 )(xf 在 2x? 处取得极小值 所以 (2) 0f ? 即 4 4 2 0a a a? ? ? ?解得 29a? -4分 经检验 29a? 时， )(xf 在 2x? 处取得极小值 -5分 （ 2）解法一 :因为2221 ( 2 1 )() ( 1 ) ( 1 )a a x a x afx x x x x? ? ? ? ? 因为若 ()fx存在单调递减区间，所以 ( ) 0fx? 有正数解 . -6分 即 2( 2 1)a x x x? ? ?有 0x? 的解 -7分 即 2 21xa xx? ?有 0x?
