1、 - 1 - 山西省太原市 2018 届高三数学上学期期末考试试题 理 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 | 3 2 0A x x? ? ?， | ( 1)( 3) 0B x x x? ? ? ?，则 AB? （ ） A ( , 1)? B (3, )? C 2( , 1) ( , )3? ? ? ? D 2( 1, )3? 2.某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，根据下列频率分布条形图（部分）可知，该校女教师的人数为（ ） A 93
2、B 123 C 137 D 167 3.已知 a ， b 都是实数，那么“ 22ab? ”是“ 22ab? ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件 4.对于复数 z ，定义映射 :f z zi? .若复数 z 在映射 f 作用下对应复数 2+3i ，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第四象限 B第三象限 C.第二象限 D第一象限 5.等差数列 na 的前 n 项和为 nS ， 3 9S? ， 6 36S? ，则 8a? （ ） A 21 B 15 C.12 D 9 6.已知 1( ,1)2x? ， lnax? ， 2lnbx? ， 3ln
3、cx? ，那么（ ） A abc? B c a b? C.bac? D b c a? 7.已知 2sin( )33? ?，那么 cos( 2 )3? ?（ ） - 2 - A 59? B 23? C. 23 D 59 8.下图是实现秦九韶算法的一个程序框图，若输入的 5x? ， 2n? ，依次输入的 a 为 2,2,5，则输出的 s? （ ） A 10 B 12 C.60 D 65 9. 51( 1)x x? 展开式中的常数项为（ ） A 1 B 21 C.31 D 51 10.已知函数 3 1 3 9y x x? ? ? ?的最大值为 M ，最小值为 m ，则 mM 的值为（ ） A 14
4、B 12 C. 32 D 233 11.已知一个几何体是由半径为 2 的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上） .若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（ ） A 23 B 43 C.83 D 163 12.已知函数 ( ) ln( 1)f x x?， ()g x kx? （ *kN? ），若对任意的 (0, )xt? （ 0t? ），恒有- 3 - 2| ( ) ( ) |f x g x x?，那么 k 的取值集合是（ ） A 1 B 2 C.1,2 D 1,2,3 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上
5、） 13.已知函数 1() 1xfx x? ? ， 2,5x? ，则 ()fx的最大值是 14.不共线的三个平面向量 a ， b ， c 两两所成的角相等，且 | | | | 1ab?， | | 3c? ，则| |=a b c? 15.已知 2(log ) 270f x x?，那么 (0 ) (1) (6 )f f f? ? ? ? 16.已知三棱柱 1 1 1ABC ABC? 所有棱长均相等，且 11 60BAA C AA? ? ? ? ?，那么异面直线1AB 与 1BC 所成的角的余弦值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 .） 1
6、7. 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1(2 1)nnSa?， 4 16a? ， *nN? . （ 1）求 1a 及数列 na 的通项公式； （ 2）设 2n nnb a?，求数列 nb 的最大项 . 18. ABC? 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知ta n ta n 3 3 ta n ta nA B A B? ? ?. （ 1）求角 C ； （ 2）若 3c? ， ABC? 的面积为 332 ，求 ABC? 的周长 . 19. 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有 3 个红球和 7 个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中
7、摸出 3 个球 . （ 1）设 ? 表示摸出的红球的个数，求 ? 的分布列和数学期望； （ 2）为了提高同学们参与游戏的积极性，参加游戏的同学每人可摸球两次，每 次摸球后放回，若规定两次共摸出红球的个数不少于 n ，且中奖概率大于 60%时，即中奖，求 n 的最大值 . - 4 - 20. 如图，在四棱锥 P ABCD? 中， PD AB? ， PD BC? ， 233AB AD? ， 30BAD? ? ? . （ 1）证明： AD PB? ； （ 2）若 PD AD? ， BC CD? ， 60BCD? ? ? ，求二面角 A PB C?的余弦值 . 21. 已知函数 ()xmxfx e?（
8、 0m? ）有极小值 . （ 1）求实数 m 的取值范围； （ 2）若函数 2( ) (ln 1)xh x x e x a x? ? ? ?在 0x? 时有唯一零点，求实数 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，写清题号 .如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程 2 2 cos 2 sin? ? ?.以极点为原点，极轴为 x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，且在两坐标系中取相同的长度单位，直线 l 的参数方程为3,36xtyt? ?（ t 为参数） . （ 1）写出曲线 C 的参数方程和直线 l 的
9、普通方程； （ 2）过曲线 C 上任意一点 M 作与直线 l 相交的直线，该直线与直线 l 所成的锐角为 30? ，设交点为 A ，求 |MA 的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时点 M 的坐标 . 23.选修 4-5：不等式选讲 设函数 ( ) | 1 | | 2 |f x x x? ? ? ? 2( ) 5 4g x x x? ? ? ?. （ 1）求不等式 ( ) 5fx? 的解集 M ； （ 2）设不等式 ( ) 0gx? 的解集为 N ，当 x M N? 时，证明： ( ) ( ) 3f x g x?. - 5 - 试卷答案 一、选择题 1-5:BCDAB 6-10:CADD
10、B 11、 12： CA 二、填空题 13.3 14.4 15.2017 16. 66 三、解答题 17.由题得 4 4 3 18 16a S S a? ? ? ?，解得 1 2a? ， 故 122nnS ?， 则 2n? 时， 1 2nn n na S S ? ? ?，令 1n? ， 1 2a? 成立， 所以数列 na 的通项公式为 2nna? . （ 2） 22n nnb?， 2 2 21 11( 1 ) 2 12 2 2nn n n nn n n nbb? ? ? ? ? ? ? ?. 当 12n?时， 2 2 1 0nn? ? ? ? ，则 1nnbb? ? ， 当 3n? 时， 2
11、2 1 0nn? ? ? ? ，则 1nnbb? ? ， 故数列 nb 前 3 项依次递增，从第 3 项开始依次递减， 所以数列 nb 的最大项为3 98b?. 18.（ 1）由 ta n ta n 3 3 ta n ta nA B A B? ? ?得 t a n t a n 3 t a n t a n 3t a n ( ) 31 t a n t a n 1 t a n t a nA B A BAB A B A B? ? ? ? ?， 又 0 AB?，则 23AB? ，故 () 3C A B ? ? ? ?. 另解：由已知得 s in s in 3 s in s in3c o s c o s
12、c o s c o sA B A BA B A B? ? ?， 则 s in ( ) 3 c o s ( ) 0A B A B? ? ? ?，即 tan( ) 3AB? ? ?， 又 0 AB?，则 23AB? ，故 () 3C A B ? ? ? ?. - 6 - （ 2）由余弦定理及（ 1），得 2 2 2 2 co s 3c a b ab ? ? ? ，则 22 9a b ab? ? ? ， 又 1 3 3 3s in2 4 2ABCS a b C a b? ? ? ?，则 6ab? ， 则 2 2 2( ) 2 9 2 2 7a b a b a b a b a b? ? ? ? ? ?
13、 ? ?，即 33ab? ， 所以 ABC? 的周长为 3 33? . 19. 0,1,2,3,? ? 37310 7( 0) 24CP C? ? ? ?， 1237310 21( 1) 40CCP C? ? ? ?， 2137310 7( 2) 40CCP C? ? ? ?， 33310 1( 3) 120CP C? ? ? ?， 则 ? 的分布列为 ? 0 1 2 3 P 724 2140 740 1120 ? 的数学期望为 7 2 1 7 1 9( ) 0 1 2 32 4 4 0 4 0 1 2 0 1 0E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. （ 2）设两次共摸出红球的个数为
14、? ，则 0,1,2,3,4,5,6? ? 1( 6) 120 120P ? ? ?， 42( 5) 120 120P ? ? ?， 567( 4) 120 120P ? ? ?，2716( 3) 120 120P ? ? ?， 5439( 3) 120 120P ? ? ?， 4410( 1) 120 120P ? ? ?， 1225( 0) 120 120P ? ? ?， 则有 1 4 2 5 6 7 2 7 1 6 5 4 3 9( 2 ) 6 0 .8 %1 2 0 1 2 0P ? ? ? ? ? ? ?， 则 2n? . 20.（ 1）由 PD AB? ， PD BC? ， AB
15、BC B? ，得 PD? 平面 ABCD ， 从而 PD AD? . 又在 ABD? 中，又余弦定理得 2 2 2 212 c o s 3 0 3B D A D A B A D A B A D? ? ? ? ?， 则有 2 2 2AD BD AB?，所以 90ADB? ? ? ，即 AD DB? ， 又 PD DB D? ， 则有 AD DB D?， - 7 - 则有 AD? 平面 PDB ，故 AD PB? . （ 2）以 D 为原点建立如图所示空间直角坐标系 D xyz? ， 设 3AD? ，则 ( 3,0,0)A ， (0,0, 3)P ， (0,1,0)B ， 31( , ,0)22C
16、 ? ， 设平面 APB 的一个法向量为 ( , , )m x y z? ，则 3 0,3 0,m A B x ym B P y z? ? ? ? ? ? ? ?令 1x? ， 则 3y? ， 1z? ，故 (1, 3,1)m? ， 设平面 PBC 的一个法向量为 ( , , )n x y z? ，则有 31 0,223 0 ,n B C x yn B P y z? ? ? ? ? ? ? ?令 1x? ， 则有 3y? ， 1z? ，故 (1, 3, 1)n? ? ? ， 所以 33c o s ,| | | | 555mnmn mn ? ? ? ? ? ?， 由图知，二面角 A PB C?的
17、余弦值为 35? . 21.（ 1）函数定义域为 R ， ( 1)( )xmxfx e?，令 ( ) 0fx? ，得 1x? ， 当 0m? 时，若 1x? ，则 ( ) 0fx? ；若 1x? ，则 ( ) 0fx? ，故 ( ) 0fx? 在 1x? 处取得极小值， 当 0m? 时，若 1x? ，则 ( ) 0fx? ；若 1x? ，则 ( ) 0fx? ，故 ( ) 0fx? 在 1x? 处取得极大值 . 所以实数 m 的取值范围是 (0, )? . （ 2）函数 2( ) (ln 1)xh x x e x a x? ? ? ?在 0x? 时有唯一零点，即方程 ln 1xxx aex?
18、? ?在0x? 时有唯一实根， 由（ 1）知函数 ()xxpx e?在 1x? 处取得最小值 1e? ， 设 ln 1() xg x ax?，2ln( ) xgx x?，令 ( ) 0gx? ，有 1x? ， 列表如下 - 8 - x (0,1) 1 (1, )? ()gx 正 0 负 ()gx 增函数 极大值 减函数 故 1x? 时， m ax( ) (1) 1g x g a? ? ?， 又 0x? 时， ()gx? ； x? 时， ( ) 0px? ， ()g x a? ， 所以方程 ln 1xxx aex? ? ?有唯一实根， 1 1 ae? ? ? 或 0a?，此时 a 的取值范围为1 | 1aa e? 或 0a? . 22.（ 1）曲线 C 的直角坐标方程为 22 2 2 2 0x y x y? ? ? ?， 表示圆心为 ( 2,1)C ，半径为 3r? 的圆， 化为参数方程为 2 3 cos1 3 sinxy? ?（ ? 为参数） 直线 l 的普通方程为 2 3 0xy? ? ? . （ 2）由题知点
