1、 - 1 - 四川省成都市 2011届高三数学上学期期中试题 理 第卷 （选择题 共 60分） 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 已知集合 | 3 | 5M x x? ? ?， 2 | 3 1 8 0N x x x? ? ? ?， 则 MN? （ ） A R B ? C | 2 6xx? ? ? D | 8xx? 2 已知 O、 N、 P 在 ABC? 所在平面内，且 | | | | | |OA OB OC?， 0NA NB NC? ? ?， P A P B P B P C P C P A? ? ? ? ?，
2、则点 O、 N、 P依次是 ABC? （ ） A重心 、 外心 、 垂心 B重心 、 外心 、 内心 C外心 、 重心 、 垂心 D外心 、 重心 、内心 3已知函数 sin , 4() 6( 1), 4xxfxf x x? ? ?，则 (5)f 的值为（ ） A 12 B 22 C 32 D 1 4若 2( ) 2f x x ax? ? 与 ()agxx? 在区间 1,2 上都是减函数，则 a的取值范围是（ ）A ( 1,0) (0,1)? B 1,0) (0,1? C (0,1) D (0,1 5数列 na 中， 23nan?，前 n项和 2 ( * )nS an bn c n N? ?
3、? ?， a、 b、 c为常数，则 a-b+c=（ ） A 3? B 4? C 5? D 6? 6 已知圆 22( 1) 2xy? ? ? 上任一点 ( , )Pxy ，其坐标均使得不等式 0x y m? ? ? 恒成立，则实数 m 的取值范围是 （ ） A 1, )? B ( ,1? C 3, )? ? D ( , 3? 7将函 数 sin(4 )3yx?的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，再向左平移 4? 个单位，得到的函数 图像 的一条对称轴方程是（ ） A 6x ? B 3x ? C 2x ? D 12x ? 8设 a 0， b 0，若 2 是 4a与 2b的等比中项，则 21ab
4、? 的最小值为（ ） - 2 - A 22 B 4 C 8 D 9 9若平面内共线的 A、 B、 P三点满足条件， 1 4015OP a OA a OB? ，其中 na 为等差数列，则a2008等于（ ） A 1 B 1? C 12 D 12? 10若函数 sin( )y A x?（ 0A? ， 0? ， |2? ） 在一个周期内的图象如图所示， M、 N 分别是这段图象的最高点和最低点，且0OM ON?，则 A?（ ） A 6? B 712? C 76? D 73? 11用长度分别为 2、 3、 4、 5、 6（单位： cm ）的 5根细木棒 围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能 够
5、得到的三角形的最大面积为（ ） A 285cm B 26 10cm C 23 55cm D 220cm 12已知 下列命题 四个命题 ： 函数 sin( 2 )4yx?的单调递增区间是 3 , ( )88k k k Z? ? ?； 若 x是第一象限的角，则 sinyx? 是增函数； , (0, )2? ， 且 cos sin? ，则 2? ； 若 1sin sin 3xy?，则 2sin cosyx? 的最大值是 43 。 其中真命题 的个数有（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 第卷 （ 非选择题 共 90分） 二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 4分，共 16分。请把答案填写在答题卷
6、的相应位置。 13 已知 3s i n c o s c o s s i n 3? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） （ ），则 cos2? 的值为 。 14 已知 ( 2 ) 1( 1)()( 1)xa x xfx ax? ? ? ? ?（ 0a? ， 1a? ）是 R 上的增函数， 则 a 的 取值范围是 。 15 在 Rt ABC 中， C=90 ， 且 角 A、 B、 C 所对的边 a、 b、 c 满足 a+b=cx，则实数 x 的- 3 - 取值范围是 。 16 歌德巴赫（ Goldbach C德 1690 1764）曾研究过 “ 所有形如11( 1)mn ?（ ,*mn N? ）
7、的分数 之和 ”的 问题 。 为了便于表述，引入记号： 1 2 3 4 2 3 4 2 3 411 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )( 1 ) 2 2 2 3 3 3 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )mnm n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?写出你对此问题的研究结论： （用数学符号表示） 。 成都外国语学校 2011届高三上期期中考试数学试题（理科） 答题卷 二、填空题（ 16 分） 13 ； 14 ； 15 ；16 。 三、解答题：本大题共 6个小题，共 74分，解答应写出文字
8、说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 12分） 解关于 x 的不等式： 1 02axx ? ? 。 - 4 - 18（本小题满分 12分） 已知向量 (2 co s( ), 1)2OP x? ? ?， ( s in ( ), c o s 2 )2O Q x x? ? ?， ()f x OP OQ?。 a 、 b 、c 是锐角三角形 ABC? 角 A 、 B 、 C 的对边，且 ( ) 1fA? ， 5 3 2bc? ? ? ， 13a? 。 （ 1）在所给坐标系下用“五点法”作出 ()y f x? （ 0, x ? ）的图像； （ 2）求角 A ； （ 3）求 ABC? 的面积。 19（
9、本小题满分 12分） - 5 - 设 nS 是数列 na 的前 n 项和，若 2 ( *)nnS nNS ? 是非零常数，则称数列 na 为“和等比数列”。 （ 1）若数列 2nb 是首项为 2 ，公比为 4的等比数列，试判断数列 nb 是否为“和等比数列”； （ 2）若数列 nc 是首项为 1c ，公差为 ( 0)dd? 的 等差数列，且数列 nc 是“和等比数列”，试探究 d 与 1c 之间的关系。 20（本小题满分 12分） - 6 - 某地区有荒山 2200亩，从 2002年开始每年年初在荒山上植树造林，第一年植树 100亩，以后每一年比上一年多植树 50亩。 （ 1）若所植树苗全部成
10、活，则到哪一年年 初植树后可以将荒山全部绿化？ （ 2）若每亩所植树苗 木材量为 2立方米，每年树木木材量自然增长率为 20%，求全部绿化后的那一年年底该山林的木材总量（精确到 1立方米， 81.2 4.3? ）。 21（本小题满分 12分） 已知函数 ()fx对任意的实数 ,xy都有： ( ) ( ) ( ) 1f x y f x f y? ? ? ?，且 0x? 时，( ) 1fx? 。 （ 1）求证： ()fx是 R 上的增函数； （ 2）若关于 x 的不等式 2( 5 ) 2f x ax a? ? ?的解集是 | 3 2xx? ? ? ，求 (2010)f 的值； （ 3）在（ 2）的
11、条件下，设 | ( ) 1 4 | ( * )na f n n N? ? ?，问：是否存在 ( *)kk N? ，使 得数列 na 从第 k 项开始的连续 20项之和等于 102。若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。 - 7 - 22（本小题满分 14分） 已知函数 3()f x x x?， 2 1( ) ln ( 1 ) 1ax axg x x x? ? ? ? ，其中 516a? 。 （ 1）若曲线 ()y f x? 的切线过点 (1,2) ，求其切线方程； （ 2）若对任意的 1 1,3x? ，存在 2 1,3x? ，使得 12( ) ( )f x g x? 成立，求 a 的取
12、值范围； （ 3）是否存在实数 a ，对 任意的 12, 1,3xx? 都有 12( ) ( )f x g x? 成立？若存在，求出 a的取值范围；若不存在，请说明理由。 数学试题（理科）参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C D D A A A D C C B A 二、填空题 13 13 ； 14 3 ,2)2 ； 15 (1, 2 ； 16111 1 1( 1)mnm n? ?。 17解：原不等式等价于 ( 1)( 2) 0ax x? ? ?（ *） （ 1） 0a? 时， 2x? （ 2） 0a? 时，（ *）式化为 1( )( 2
13、) 0xxa? ? ? 10 2a? 时， 12 x a? ； 12a? 时，无解； 12a? 时， 1 2xa? 。 （ 3） 0a? 时，（ *）式化为 11( ) ( 2 ) 0 2x x x xaa? ? ? ? ? ?或 ?当 0a? 时，原不等式的解集为 1 | 2x x xa?,或 ； 当 0a? 时，原不等式的解集为 | 2xx? ； 当 10 2a? 时，原不等式的解集为 1 | 2 xxa? ； 当 12a? 时，原不等式的解集为 ? ； 当 12a? 时，原不等式的解集为 1 | 2xxa? 。 - 8 - 18解：（ 1）由已知 ( ) 2 s i n ( 2 )4f
14、x O P O Q x ? ? ? ? 列表如下： 作出图像为： （ 2） ( ) 2 s in ( 2 ) 14f A A ? ? ? 2sin (2 )42A ? ? ?， 2 44A ? 或 32 44A ? 4A ?或 2A? （舍去， ABC? 为锐角三角形）。 4A ?。 x 0 8? 38? 58? 78? ? 2 4x ? 4? 0 2? ? 32? 74? ()fx 1? 0 2 0 2? 1? - 9 - （ 3）在 ABC? 中，由 余弦定理得：2 2 21 3 2 c o sa b c bc A? ? ? ? 21 3 ( ) 2 2b c bc bc? ? ? ? ?
15、 15 2bc? 1 1 2 1 5s i n 1 5 22 2 2 2ABCS b c A? ? ? ? ? ?。 19解：（ 1）数列 2nb 是首项为 2 ，公比为 4的等比数列，所以 1 2 12 2 4 2nb nn? ? ? ， 21nbn?。 设数列 nb 的前 n 项和为 nT ，则 2nTn? ， 22 4nTn? ，所以 2 4nnTT? ，因此 nb 为“和等比数列”。 （ 2）设数列 nc 的前 n 项和为 nR ，且 2nnR kR ? （ k 为常数，且 0k? ）。 因为数列 nc 是等差数列，所以1 ( 1)2n nnR nc d?，21 2 ( 2 1)2 2
16、n nnR nc d?1212 ( 2 1 )22( 1 )2nnnnn c dRknnRn c d?对于 *nN? 都成立，得 1( 4 ) ( 2 ) ( 2 ) 0k dn k c d? ? ? ? ?，所以1( 4) 0( 2)(2 ) 0kdk c d? ? ? ? 。由 0d? 得 4k? ， 12dc? ，所求 d 与 1c 之间的关系为 12dc? 。 20解：（ 1）设植树 n 年后可将荒山全部绿化，记第 n 年初 植树量为 na ，由题意数列 na 是首项为 1 100a? ，公差 50d? 的等差数列，所以 ( 1)1 0 0 5 0 2 2 0 02nnn ? ? ?2
17、 3 88 0nn? ? ? ?，( 11)( 8) 0nn? ? ?。 *nN? 8n?。到 2009年年初植树后可以将荒山全部绿化。 （ 2）设 2002年初木材存量为 312am ，到 2009年底木材 存量增加为 8312 1.2am? ， 2003年初木材存量为 322am ，到 2009 年底木材存量增加为 7322 1.2am? ， ， 2009年初木材存量为 382am ，到 2009年底木材存量增加为 382 1.2am? 则到 2009年底木材总量为 8 7 61 2 3 82 1 . 2 2 1 . 2 2 1 . 2 2 1 . 2S a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 6 7 89 0 0 1 . 2 8 0 0 1 . 2 4 0 0 1 . 2 3 0 0 1 . 2 2 0 0 1 . 2S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 7 8 91 . 2 9 0 0 1 . 2 8 0 0 1 . 2 4 0 0 1 . 2 3 0 0 1 .
