1、1 三角函数与解三角形每日一题 10 题参考答案：1【答案】BCD【详解】由题意可知()f x的最大值为 1，最小值为3，所以有13,11,AA=解得2A=，因为()02sin10f=，2，所以6=，又2632T=+=，所以T=，2=，所以函数的解析式为()2sin 216fxx=+，即()f x的最大值为 1，故 A 项错误；令()2Z6xkk+=，解得()Z122kxk=+，所以当0k=时，()f x的图象关于点,112对称，故 B 项正确；设切点为00,2sin 216xx+，由()2sin 216fxx=+，可得()4cos 26fxx=+，切线方程为()0002sin 214cos
2、266yxxxx+=+，所以可得00004cos 22 364cos 22sin 213266xxxx+=+=，所以02x=，满足题意；此时切点为,22，切线为2 3320 xy+=，故 C 项正确；令()0fx=，得1sin 262x+=，此时()Zxkk=或()Z3xkk=+，由函数()f x周期为T=，且一个周期内有两个零点，所以可得2023 110112nm=，故 D 项正确故选：BCD 2（1）根据辅助角公式，化简()2()1sinf xax=+因为对称轴是x=6，所以代入()f x得213122aa+=+，解得3a=，所以()()2sinsin3cosg xxxx=+22sin2
3、3sin cosxxx=+2s1icnos22sin2163xxx=+=，最大值为 3（2）由题意得22222()()0,42fabababba=+=+=5()2 sin(),2 sin(2)2 sin4f xbxybxbx=+=+=,y 最大值为2b，2 2 sin(2)2 sinbxbx=3()4yfx=的图像关于直线x=对称，选 A 3()3sin2cos2f xxx=+.对于，因为3sincos3422f=+=，3sincos3422f=+=，不满足 44ff=，所以该函数不是偶函数，不正确；对于，x,4 6 时，2x,2 3 ，cos20 x,所以()3sin2cos22sin 2x
4、6f xxx=+=+,2x,63 2+，满足函数单增，所以正确；对于，易知y3sin2x=的最小正周期为，ycos2x=的最小正周期为2，所以()3sin2cos2f xxx=+的最小正周期为，正确；对于，()777313sincos2?00 1163322ff=+=+=+=，由于()7006ff+，所以该函数的图像不会关于点7,012对称，不正确；对于，有3sincos31422f=+=,不正确.故答案为：.4（）由图可知：51,2632TA=，即T=，()()2,sin 2f xx=+又由图可知：,03是五点作图法中的第三点，23+=，即()3,sin 23f xx=+（）因为23f xs
5、inx=+（）（）的周期为，23f xsinx=+（）（）在02，内恰有2个周期.当32a0 时，方程23sinxa+=（）在0,2内有4个实根，设为12xx、34xx、，结合图像知1276xx+=34196xx+=，故所有实数根之和为133；3 当3=2a时，方程23sinxa+=（）在0,2内有5个实根为70266，故所有实数根之和为133；当312a 时，方程23sinxa+=（）在0,2内有4个实根，设为12xx、34xx、，结合图像知126xx+=34136xx+=，故所有实数根之和为73；综上：当32a 0时，方程23sinxa+=（）所有实数根之和为133；当312a 时，方程2
6、3sinxa+=（）所有实数根之和为73；（）213g xsin x=+（）（），函数|yg x=（）的图象如图所示：则当|yg x=（）图象伸长为原来的5倍以上时符合题意，所以105k 5【答案】692【详解】因为函数()()()6cos0,0f xx=+，对x R都有()6f xf，且6x=是()f x的一个零点，则()11226,62kk kk+=+=+Z，解得()()12121242,332kkk kkk+=+=+Z,因为函数()6yf x=在,15 6上有且只有一个零点，则方程()cos10 x+=在,15 6上有且只有一个根，因为()1cos1x+，所以，存在唯一的0,15 6x，
7、使得函数()f x取到最大值，且()01fx=，则4261510T=，解得040，令1212kkkkkk=+=，则()214,632kk kk+=Z，且22kkk=，所以，k、k的奇偶性相同，由40可得63402k，解得836k，即13k，当13k=时，752=，k为奇数，则34=，4 所以，()7532cos24f xx=+，由,15 6x可得75313,7244x+，此时，当753424x+=或6时，函数()f x取最大值，不合乎题意；当12k=时，692=，k为偶数，4=，即()696cos24f xx=+，由,15 6x可得6951,62420 x+，此时，当69424x+=时，函数(
8、)f x取最大值，合乎题意.综上所述，的最大值为692.故答案为：692.6【答案】2【详解】由题知，当0,4x时，,66 46x，因为最大值为，所以04603，解得233.当0462时，即2833，()max3sin46=fx解的个数，转化为方程28sin46333xxx=解的个数，且2122sin0436339=，8188sin1436339=，由图可知有且只有一个能够满足.当833时，724612，此时函数最大值为 3，即3=，显然满足条件，综上，满足条件的有 2 个.7【答案】332，解：由coscos32ACacac+=结合余弦定理得2222223222bcaabcbcabacac+
9、=，化简得32b=，由正弦定理，得ABC的外接圆直径21sinbRB=，则2sinsinsinsin3sin36acACAAA+=+=+=+，又ABC为锐角三角形，则有0,220,32ACA=解得62A，故2363A+，所以33sin362acA+=+，.故答案为：3,32 8 若选因为()2coscoscosA bCcBa+=，由正弦定理得：5 ()2cossincossincossinABCCBA+=，即()2cossinsinABCA+=，1cos2A=，因为0A，所以3A=.由余弦定理得：2222cosabcbcA=+，所以2272bcbcbc+=，化简得：2230c+c=，所以3c=
10、（舍去）或者1c=，从而3b=.设BC边上的高是h，所以11sin22bcAah=，所以3 2114h=；若选由题设及正弦定理，sinsinsinsin2BCCAC+=，因为sin0C，所以sinsin2BCA+=，由180ABC+=，可得sincos22BCA+=，故cos2sincos222AAA=，因为cos02A，故1sin22A=，因此3A=，下同选；若选由已知得222sinsinsinsinsinBCABC+=，故由正弦定理得222bcabc+=.由余弦定理得2221cos22bcaAbc+=.因为0A，所以3A=，下同选.故答案为3 2114.9由三角形面积公式1sin2SbcA
11、=结合()1 cosSbcA=，可知1sin1 cos2AA=，即()sin2 1cosAA=，又由平方关系22sincos1AA+=，所以()224 1 coscos1AA+=，即25cos8cos30AA+=，解得3cos54sin5AA=或cos1sin0AA=（舍去），由余弦定理有2222cosabcbcA=+，所以222c62cos52osabcbccAbcbccbbbAcbc=+=+，令=btc，所以 261655abctbccbt=+=+，故只需求出t的范围即可，由正弦定理边化角得()()sin sinsinsinsinsinACACbBtcCCC+=sincoscossinsi
12、n43cossintan5tan5ACACAACCC+=+=+，注意到在锐角ABC中，有2+AC，简单说明如下：若2AC+，则()22BAC=+=，即B不是锐角，但这与ABC是锐角三角形矛盾，所以在锐角ABC中，有2+AC，有022AC，因为正切函数tanyx=在0,2上单调递增，所以3sincos325tantan42sin4cos52AACAAA=，从而343435355tan55354tC=+=，6 而函数()2165atf tbct=+=在3,15单调递减，在51,3单调递增，所以()()43516 16161max,max,55315 1515ff tff=.综上：2abc的取值范围
13、为4 16,5 15.10（1）如下图所示：因为AD平分BAC，所以1sin3212sin2ABDACDAB ADBADSABSACAC ADCAD=，又因为D在BC上，所以1212ABDACDBD hSBDSCDCD h=，因此32BDCD=，又3BC=，所以65CD=在ABC中，3,2ABBCAC=，可得2222223231cos22 3 23CACBBACCA CB+=在ACD中，由余弦定理可得22222661962cos22 255325ADACCDAC CDC=+=+=，故4 65AD=（2）如下图所示：因为AD平分BAC，DACBAD=，又60ADC=，所以60,120BC=，在A
14、BC中，由正弦定理可得()()sin 120sin 60ABAC=，又3,2ABAC=，所以()()3sin 602sin 120=，展开并整理得3 33cossin3cossin22=+，解得3tan5=11（1）在ABD中，由正弦定理得sinsinBBDAD=，则sinsinBDBd=，在ACD中，由正弦定理得sinsinCCDAD=，则sinsinCDCd=，因为2sin2sin3acabbc+=，所以sinsin32bca+=，而sinsinsinsinaBDBCDCbcbdcd+=+=()11sinsin1222BDCDaBDACDAadadadadd+=所以1322da=，即3ad
15、=（2）由2CDBD=，得23aCD=，3aBD=，在ABD中，由余弦定理得22222229cos22BDdABacADBBD da+=，在ACD中，由余弦定理得22222259cos24CDdACabADCCD da+=，由180ADBADC+=，coscosADBADC=，即222222295924acabaa=，整理得，2222abc=，在ABC中，由余弦定理得222cos2bcaAbc+=23222ccbcb=，3=cb，故2226abb=，即7 7=ab，所以22222222222224593591399cos42428149aabADDCACabbbADCaAD DCab+=.12
16、222sinsinsin2 3sinsinsinABCABC+=，由正弦定理得2222 3sinabcbcA+=，由余弦定理得2222cosabcbcA=+，代入上式中，22222cos2 3sinbcbcAbcA+=，整理可得cos3sin2sin6bcAAAcb+=+=+，又22bcb ccbc b+=，当且仅当bccb=，即bc=时，等号成立，故2sin26A+，由于2sin26A+，所以2sin26A+=，因为()0,A，所以3A=，又此时bc=，故ABC为等边三角形，设,BDCBCD=，那么由余弦定理得 2222cos4 162 2 4cos20 16cosBCBDCDBD CDBD
17、C=+=+=，即20 16cosBC=，故20 16cosCABC=，在BCD中，由正弦定理得sinsinBCBDBDCBCD=，即20 16cos2sinsin=，整理得sinsin54cos=，因为BDCD，所以为锐角，那么2coscos54cos=，则132cos3sincoscossin3222 58cos+=，在ACD中，由余弦定理可得2222cos3DACDACAC CD=+，所以22cos3sin1620 16cos8 20 16cos2 58cosDA=+()236 16cos8 2cos3sin20 16sin366DA=+，当且仅当23=时，等号成立，所以DA的最大值为 6.故答案为：6
