1、 1 重庆市 2018 届高三数学上学期期中试题 理 数学试题共 4 页。满分 150 分。 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 一、选择题：本题 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 。 1.已知全集 ?UR，集合 ? ? ? ?2 3
2、 , 1或? ? ? ? ? ?A x x x B x x，则 ? ? ?UC A B （ ） A.? ?13?xx B.? ?23?xx C.? ?3?xx D.? 2.各项均为正数的等比数列na中，244?aa，则1 5 3?a a的值为（ ） A.5 B.3 C.6 D.8 3.函数( ) 3? ? ?xf x e x在区间 ? ?0,1 内的零点个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知1cos( )63? ?， 则c 2 3?的值为 （ ） A.229?B.79C.7D95.已知 112327 5 5, , l o g5 7 7? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3、?a b c，则 a 、 b 、 c 的大小关系是（ ） A.b ?a c B.c ?b a C.c ?a b D.b ?c a 6.函数? ? 1 lnf x xx?的图象大致是（ ） A B C D 7.已知平面向量 错误 !未找到引用源。 ， 错误 !未找到引用源。 夹角为 错误 !未找到引用源。 ，且 错误 !未找到引用源。 ， 错误 !未找到引用源。 ，则 错误 !未找到引用源。 与 错误 !未找到引2 用源。 的夹角是（ ） A 错误 !未找到引用源。 B 错误 !未找到引用源。 C 错误 !未找到引用源。 D 错误 !未找到引用源。 8.九章算术是我国古代的数学巨著，内容极为丰富
4、，其中卷六均输里有如下问题：“ 今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何。”意思是：“ 5 人分取 5 钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前 2 人所得钱数之和与后 3 人所得钱数之和相等。”（“钱”是古代的一种重量单位），则其中第二人分得的钱数是 （ ） A.65 B.1 C.67 D.34 9.定义在 R 上的函数 ()?y f x ，恒有 ( ) (2 )?f x f x成立，且 ? ?( ) 1 0? ? ? ?f x x ，对任意的 12?xx，则 12( ) ( )?f x f x 成立的充要条件是（ ） A. 211?xx B. 122?xx C. 122?xx D.
5、2112?xx10.已知 ABC? 的内角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，若 3 cos 2 cosa C c A? ， 1tan 3A? ，则角 B 的度数为（ ） A.120 B.135 C.60 D.45 11.已知定义在 R 上 的函数()fx满足( 4) ( )f x f x?，当 1,3x?时， 2(1 ) , 1 ,1 ()1 ( 2) , (1 , 3 ? ? ? ? ? ? ?t x xfxxx，则当8( ,27t?时，方程7 ( ) 2 0?f x x的不等实根的个数是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 12.已知 I 为 ?ABC 的内心， 7cos 8?A ，
6、若 ?AI xAB yAC，则 ?xy的最大值为（ ） A.34 B.12 C.56 D.45 二、填空题：本题 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知函 数 1)391ln ()( 2 ? xxxf ，则 ? )1()1( ff _。 14.设函数 ( ) c o s ( 0 , 0 )? ? ?f x A x A的部分图象如图所示， 其中 ?PQR 为等腰直角三角形， ,12? ? ?PQR PR，则 ()fx 3 的解析式 为 _。 15.若曲线 2ln)( axxxf ? 的切线斜率恒为非负数，则实数 错误 !未找到引用源。 的最小值是 _。 16.函数 1( ) s
7、i n 3 c o s ( , )3? ? ? ? ? ?f x x x x R，若 ()fx的 任意 一 个 对称 中心 的横坐标都 不属于区间 ( ,2 )?，则 ? 的取值范围 是 _。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（ 12 分） 已知向量 2( c o s , 1 ) , ( 3 s i n , c o s )2 2 2x x xmn? ? ?，设函数 ( ) 1f x m n? ? ? 。 （ 1）求函数 (
8、)fx的单调递增区间； （ 2） 若关于 x 的 方程 ()?f x a 在区间 ? ?0,? 上有实数解，求实数 a 的 取值范围。 18.（ 12 分） 已知公比为 q 的等比数列 ?na 的前 6 项和 216?S ，且221 ,23,4 aaa成等差数列。 （ 1）求 na ； （ 2）设 ?nb 是首项为 2，公差为 1a? 的等差数列，记 ?nb 前 n 项和为 nT ，求 nT 的最大值。 19.（ 12 分 ） 已知 ABC? 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 cba 、 ，满足222 3tan acb bcA ?。 （ 1）若 0,2?A，求角 A ； （ 2）若 co
9、s 3 sin? ? ?a c b C b C， 试判断 ABC? 的形状。 20.（ 12 分） 4 已知点 D 是椭圆 ? ?22: 1 0? ? ? ?xyC a bab 上一点， 12、FF分别为 C 的左、右焦点， 1 2 1 2 1 2= 2 2 , 6 0 ,? ? ?F F F D F F D F的面积为 233 。 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过点 ? ?1,0Q 的直线 l 与椭圆 C 相交于 、AB两点 ,点 ? ?4,3P ,记直线 ,PAPB 的斜率分别为 12,kk,当 12?kk最大时 ,求直线 l 的方程。 21.（ 12 分） 已知函数 ? ?2()
10、 ? ? ?xf x e ax a R。 （ 1）若 ()() 1? ?fxgx x 有三个极值点 1 2 3,x x x ，求 a 的取值范围； （ 2）若 3( ) 1? ?f x ax 对任意 ? ?0,1?x 都恒成立的 a 的最大值为 ? ，证明：265 5? 。 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 （ 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 3 cos:sin ? ?xC y（ ? 为参数），直线: 6 0l x y? ? ? 。 （ 1）在曲线 C 上求一点 P
11、 ，使点 P 到直线 l 的距离最小， 并求出此最小值； （ 2）过点 ( 1,0)M? 且与直线 l 平行的直线 1l 交 C 于 A ， B 两点，求点 M 到 A ， B 两点的距离之 积。 23.选修 4-5：不等式选讲 （ 10 分） 已知函数 ( ) 2 1?f x x 。 （ 1） 若不等式 1( ) 2 1( 0 )2f x m m? ? ? ?的解集为? ? ? ?, 2 2,? ? ?，求实数m的值； 5 （ 2） 若不等式 ( ) 2 2 32? ? ? ?yyaf x x对任意的实数 ,xy R? 恒成立，求实数 a 的最小值。 2017 年重庆一中高 2018 级 高
12、三上期半期考试理科数学答案 一、选择题 1.A 2.C 3.B 4.C 5.C 6.B 7.A 8.C 9.B 10.B 11.C 12.D 二、填空题 13.2 14. xxf ?cos21)( ? 15.0 16. 1233，? ?三、解答题 17.解： （ 1） 2 3 1 1( ) 3 s i n c o s c o s 1 s i n c o s2 2 2 2 2 2x x xf x x x? ? ? ? ? ?1sin62x ? ? ?令 22 2 , 2 2 ( )2 6 2 3 3k x k k x k k Z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，
13、 所以所求 递 增区间为 2 2 , 2 ( )33k k k Z? ? ?。 （ 2） 1( ) s in62? ? ?f x x在 ? ?0,?x 的值域为 30,2?，所以实数 a 的 取值范围为30,2?。 6 18. 解：（ 1）221 ,23,4 aaa成等差数列 , 221 34 aaa ? ，即 212 aa? ， 2?q ， 2121 )21( 616 ? aS，解得 311?a，所以 32 1? nna。 （ 2）由（ 1）可知 ?nb 是首项为 2，公差为 31? 的等差数列， 3731 ? nbn， 于是 nnTn 61361 2 ?，则 nT 的最大值为 7，此时 6
14、7或?n 。 19解：（ 1）由余弦定理知： Abcacb c o s2222 ? ， 2 3sinco s2 3tan ? AAA ， 0,2?A， 3?A 。 （ 2） cos 3 sina c b C b C? ? ?，由正弦定理有： s i n s i n s i n c o s 3 s i n s i n? ? ?A C B C B C， 而 ?A B C ， s i n c o s c o s s i n s i n s i n c o s 3 s i n s i n? ? ? ? ?B C B C C B C B C， 即 c o s s i n s i n 3 s i n s
15、i n?B C C B C，而 sin 0?C ， 13 s in c o s 1 , s in 62? ? ? ? ? ?B B B， ? ?0,? ， 3?B ， 又由（ 1）知 3sin 2?A ， ? ?0,?A 及 3?B ， 3?A ，从而 3? ? ?A B C ， 因此 ABC? 为正三角形。 20. 解 ： （ 1 ） 易 知 2?c ，由1 2 1 202 1 22 3 1 3 2 3, s i n 6 03 2 4 3? ? ? ?F D F F D FS S D F D F D F D F 12 83?DF DF，由余弦定理及椭圆定义有： ? ? ? ?222 201
16、2 1 2 1 2 1 28 2 c o s 6 0 3 = 2 8? ? ? ? ? ? ?D F D F D F D F D F D F D F D F a 2 4 2,? ? ? ?aa又 2, 2? ? ?cb，从而 22:142?xyC 。 （ 2）解法一：当直线 l 的斜率为 0 时，则12 3 3 34 2 4 2 4? ? ? ?kk； 当直线 l 的斜率不为 0 时，设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y，直线 l 的方程为 1?x my ， 将 1?x my 代入 22142?xy ，整理得 ? ?222 2 3 0? ? ? ?m y m y，
17、则1 2 1 22223,22? ? ? ? ? ?my y y ymm，又 1 1 2 21, 1? ? ? ?x my x my， 所以， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 21212 21 2 1 2 1 2 1 23 3 9 3334 4 3 3 9 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?y y y y y yyykk x x m y m y m y y m y y 2222222223933 2 5 3 4 12223 4 6 4 8 1 29322? ? ? ? ? ? ? ? ? ?mm m mmmm mmmmmm， 7 令 41?t
18、m，则12 2324 2 2 5? ? ? ?tkk tt， 当 0?t 即 14?m 时，1234?kk； 当 0?t 时，12 23 2 3 2254 2 2 5 4 2? ? ? ? ? ?tkktt t t，127312 4? ? ? ?kk或123 14 ? ? ?kk。 当且仅当 5?t ，即 1?m 时， 12?kk取得最大值。 由得直线 l 的方程为 10? ? ?xy 。 解法二：当直线 l 垂直于 x 轴时，则 12 6633 5224 1 4 1 6? ? ? ?kk ； 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y，直线 l 的方程为 ? ?1?y k x ， 将
