1、第二讲第二讲 参数方程参数方程(),().xf tyg t（1）并且对于并且对于t的每一个允许值的每一个允许值,由方程组由方程组(1)所确定的点所确定的点M(x,y)都在这条曲线上都在这条曲线上,那么方程那么方程(1)就叫做这条曲线的就叫做这条曲线的参数方程参数方程,联系变数联系变数x,y的变数的变数t叫做参变数叫做参变数,简称参数简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。的方程叫做普通方程。关于参数几点说明：关于参数几点说明：参数是联系变数参数是联系变数x,y的桥梁的桥梁,1.参数方程中参数可以是有物理意义参数方程中参数
2、可以是有物理意义,几何意义几何意义,也可以没有明也可以没有明显意义。显意义。2.同一曲线选取参数不同同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围在实际问题中要确定参数的取值范围1、参数方程的概念：、参数方程的概念：一般地一般地,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的如果曲线上任意一点的坐标坐标x,y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数为为参参数数）(sincosryrx为为参参数数）(sincosrbyrax复习复习圆的参数方程圆的参数方程1.圆心在原点圆心在原点,半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:2
3、.圆心为圆心为(a,b),半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:yxorM(x,y)0M例、例、已知圆方程已知圆方程x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0，将它，将它化为参数方程。化为参数方程。解：解：x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程，（x+1x+1）2 2+（y-3y-3）2 2=1=1，参数方程为参数方程为sin3cos1yx(为参数为参数)12222 byax sincosbyax2,012222 aybx sincosaybx12222 byax sincosbyax2,012222 aybx
4、 sincosaybx练习练习 把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程.22149xy(1)22116yx(2)2 cos(1)3sinxycos(2)4sinxysec()tanxayb为参数2222-1(0,0)xyabab的参数方程为：30,2)22通常规定且，。22221xyab22sec1tan 抛物线的参数方程抛物线的参数方程oyx)HM(x，y)2抛物线y=2px(p0)的参数方程为:1其中参数t=(0),当=0时，t=0.tan几何意义为：,().ttRy2x=2pt为参数，2pt抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。.x即P(x,y)为抛物线上任意一
5、点,则有t=y小结小结:参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：见方法有三种：1.1.代入法：代入法：利用解方程的技巧求出参数利用解方程的技巧求出参数t,t,然后代入消然后代入消 去参数去参数2.2.三角法：三角法：利用三角恒等式消去参数利用三角恒等式消去参数3.3.整体消元法：整体消元法：根据参数方程本身的结构特征根据参数方程本身的结构特征,从从 整体上消去。整体上消去。化参数方程为普通方程为化参数方程为普通方程为F(x,yF(x,y)=0)=0：在消参过程中注：在消参过程中注意意变量变量x x、y y取值范围的一致性取值范围的一致性，必
6、须根据参数的取，必须根据参数的取值范围，确定值范围，确定f(tf(t)和和g(tg(t)值域得值域得x x、y y的取值范围。的取值范围。例4 (1)设x=3cos，为参数；2.tt(2)设y=，为参数22194xy求 椭 圆的 参 数 方 程。223 13 1222xtxtytyt （）参参数数方方程程是是或或思考：为什么思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？的参数方程？)(sin2cos3为参数yx为为参参数数）(sincosryrx为为参参数数）(sincosrbyrax复习复习圆的参数方程圆的参数方程1.圆心在原点圆心在原点,半径为半
7、径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:2.圆心为圆心为(a,b),半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:12222byax3.椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？它的参数方程是什么样的？例4 (1)设x=3cos，为参数；22194xy求 椭 圆的 参 数 方 程。)(sin2cos3为参数yx;)0(142222一个参数方程为的我们得到了椭圆由例babyax)(sincos为参数byax参数方程。轴上的椭圆的，焦点在这是中心在原点xO12222 byax sincosbyax2,012222 aybx sincosaybx练习练习 把下列普通方程化为参数方程把下列普通
8、方程化为参数方程.22149xy(1)22116yx(2)2 cos(1)3sinxycos(2)4sinxy直线的参数方程直线的参数方程(标准式）标准式）)(sinyycosxx00为参数为参数直线的参数方程直线的参数方程ttt 思考：（1）直线的参数方程中哪些是常量？哪些是变量？（2）参数t的取值范围是什么？（3）该参数方程形式上有什么特点？为为参参数数）(sincosrbyrax2.圆心为圆心为(a,b),半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:0,M Mtelt 由你能得到直线 的参数方程中参数 的几何意义吗？|t|=|M0M|xyOM0Me解解:0M Mte 0M Mte 1ee
9、又是单位向量，0M Mt e t所以所以,直线参数方程中参直线参数方程中参数数t t的绝对值等于直线上的绝对值等于直线上动点动点M M到定点到定点M M0 0的距离的距离.这就是这就是t的几何的几何意义意义,要牢记要牢记注意向量工具的使用注意向量工具的使用.此时此时,若若t0,则则 的方向向上的方向向上;若若t0)的参数方程为:1其中参数t=(0),当=0时，t=0.tan几何意义为：,().ttRy2x=2pt为参数，2pt抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。.x即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=y2121212121212121,1,)(221ttDttCttBttA
10、MMttMMtptyptx、所在直线的斜率是则弦所对应的参数分别是，两点上异于原点的不同为参数、若曲线()c2122212122222121121212112222)2,2(),2,2(,1ttptptptptkptptMptptMMMttMMMM的坐标分别为和，则可得点和别是两点对应的参数方程分解：由于214922 yx 例例1、已知椭圆、已知椭圆 上点上点M(x,y)，(2)求求2x+3y的最大值和最小值；的最大值和最小值；例例2、如图，在椭圆如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点上求一点P，使，使P到直线到直线 l：x-y+4=0的距离最小的距离最小.xyOP分析分析1：),y,y(288
11、P设设2882|4yy|d则则分析分析2：),sin,cos(P 22设设222|4sincos|d则则分析分析3：平移直线平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求至首次与椭圆相切，切点即为所求.yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX22110064xy 例例3、已知椭圆、已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面积。的最大面积。练习练习 已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴正与坐标轴正半轴的两个交点半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边使四边形形OAPB的面积最大的面积最大.)sincos(baA，)20(
12、abab22sin2 224ba 22max4baL )0(12222 babyax sincos4|4baEAFAS 4 a，abS2max sin4cos4|)|(|4baEAFAL 116922 yx，cos8211021cos1221121 BAxxx3sin4211921sin621121 BAyyy13614422 yx21 MBAM sin6cos12，3sin4cos8 yx116)3(6422 yx)0(12222 babyax)sincos(ba，aabkAP cos0sin，cossinabkOP 1cos0sincossin aabab 0coscos)(22222 b
13、aba 222cosbab 1cos 1cos1 11222 bab11122 ee212 e122 eB设中点设中点M(x,y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin29y422 x练习练习:1 取一切实数时，连接取一切实数时，连接 A(4sin,6cos)和和B(-4cos,6sin)两点的线段两点的线段的中点轨迹是的中点轨迹是 .A.圆圆 B.椭圆椭圆 C.直线直线 D.线段线段_?_)(,0cos3sin2cos42222通方程为通方程为，那么圆心的轨迹的普，那么圆心的轨迹的普为参数为参数、已知圆的方程为、已知圆的方程为 yxyx1)sin()cos2(22 yx化为化为)(si
14、ncos2为参数为参数 yx1422 yx化为普通方程是化为普通方程是中点轨迹方程。中点轨迹方程。上各点连线的上各点连线的为参数为参数和椭圆和椭圆、求定点、求定点)(sincos)0,2(3 byaxa 144)(2222 byaax得得上述的方程消去参数，上述的方程消去参数，),(yxM点连线的中点为点连线的中点为解：设定点与椭圆上的解：设定点与椭圆上的)(2sin2cos2为参数为参数则则 byaax 的坐标为的坐标为，则点，则点的倾斜角为的倾斜角为为原点为原点，上一点，且在第一象限上一点，且在第一象限为参数为参数是椭圆是椭圆、POOPyxP3)()(sin32cos44 )1554,55
15、4(、B)3,4(、D()B),3,2(、A),3,32(、C5154sin32,554cos4 yx33tan3 OPkOP的倾斜角为的倾斜角为解：解：3cos4sin32 xykOP又又 cos2sin 在第一象限在第一象限且点且点又又P,1cossin22 552sin,55cos )(sin2cos3为参数为参数 yx9322331tan 6 sin2cos3yx)1,233(双曲线的参数方程双曲线的参数方程)0,0(12222 babyax,1上上在圆在圆因为点因为点CA ,sin,cos baA的坐标为的坐标为 ,sin,cos baOA 所所以以 sin,cosaaxAA ,AA
16、OA 因因为为从从而而所所以以,0 AAOA .0sincoscos2 aaxa记记解解得得.cos ax .sec,seccos1 ax 则则,的终边上的终边上在角在角因为点因为点 B.tan,tan byby 即即由由三三角角函函数数定定义义有有的轨迹的参数方程为的轨迹的参数方程为点点所以所以M,1cossincos1222 因为因为,1tansec22 即即,的的轨轨迹迹的的普普通通方方程程为为后后得得到到点点从从消消去去参参数数所所以以M,这是中心在原点这是中心在原点.轴轴上上的的双双曲曲线线焦焦点点在在x .23,2,2,0 且且的的范范围围为为通通常常规规定定参参数数 由圆的参数方
17、程得点由圆的参数方程得点.tan,sec byax 为参数为参数 baoxy)MBABAOBBy在中，(,)M x y设|tanBBOBtan.bOAAx在中，|cosOAOAcosasec,asec()tanxaMyb所以的轨迹方程是为参数所以的轨迹方程是为参数2a22222 2xyxy消去参数后，得-=1,消去参数后，得-=1,b b这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。1.已知参数方程11xttytt(t 是参数是参数,t 0)化为普通方程化为普通方程,画出方程的曲线画出方程的曲线.2.参数方程sectanxayb(,)22是 参 数表示什么曲线表示
18、什么曲线?画出图形画出图形.练习练习:的两个焦点坐标。的两个焦点坐标。、求双曲线、求双曲线 tan34sec323 yx(2 15,0)13yx 3sec2()_tanxy、双曲线为参数 的渐近线方程为4?,.,0,122222以以发发现现什什么么结结论论由由此此可可的的面面积积探探求求平平行行四四边边形形两两点点近近线线交交于于分分别别与与两两渐渐行行线线作作双双曲曲线线两两渐渐近近线线的的平平过过点点为为原原点点上上任任意意一一点点为为双双曲曲线线，设设如如图图例例MAOBBAMObabyaxM AMBOxyAMBOxy.xaby 双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为解解 ,tan,s
19、ec ba)sec(tan axabby 代代入入把把xaby )tan(sec2 axA)tan(sec2 axBB点点横横坐坐标标同同理理 aAOx 设设ab tan 2sin|OBOASMAOB 平行四边形平行四边形 2sincoscos BAxx 2sincos4tansec2222 a.22tan222ababaa sec()tanxayb为参数2222-1(0,0)xyabab的参数方程为：30,2)22通常规定且，。22221xyab22sec1tan 222222minmin(sec,tan)sec(tan2)tan1tan4tan42(tan1)35tan1,34431QOQ
20、OQPQ 解：设双曲线上点的坐标为先求圆心到双曲线上点的最小距离当即或时22221:(2)11OxyPxyQPQ例、已知圆上一点与双曲线上一点，求、两点距离的最小值例例3),tan,sec(aaB)tan,sec(aaA 则则222ayx ,sectan,sectan22aaakaaakBAAA 122 BAAAkk)0,0(12222 babyax)0,(0 xabax220|)tan,sec(ba)tan,sec(ba)tan(tan2 b)sec(sec2(a )sec(sec2)tan(tan)sec(sec)tan(tan2 axbaby)0(,0 xP)sec(sec2220 ab
21、axabax220|2|secsec|222222223004.(,),Pb xa ya b abPabPR例例 设设 是是双双曲曲线线上上任任意意一一点点过过点点 作作双双曲曲线线两两渐渐近近线线的的平平行行线线,分分别别与与两两渐渐近近线线相相交交于于点点Q Q和和R,R,求求证证:PQ:PQ)10000(215001002gttgtytx 为参数，且为参数，且pxy22)2,2(tan xypxy22 tan2tan22pypx tan1 t),0()0,(t ptyptx222 tan2tan22pypx),(t ptyptx2222121212121212121,1,)(,)(221
22、ttDttCttBttAMMttMMtptyptx 、，、所在直线的斜率是所在直线的斜率是则弦则弦所对应的参数分别是所对应的参数分别是，上异于原点的不同两点上异于原点的不同两点为参数为参数、若曲线、若曲线212221212122221ttptptptptkMM 的轨迹方程。的轨迹方程。的中点，求点的中点，求点为线段为线段点点，上的动点，给定点上的动点，给定点为抛物线为抛物线、设、设PMMPMxyM002)0,1(22 C练习练习，和和别是别是两点对应的参数方程分两点对应的参数方程分解：由于解：由于2121,ttMM的坐标分别为的坐标分别为和和则可得点则可得点21MM，)2,2(),2,2(22
23、221211ptptMptptM)0(22 ppxy1,0)2()2(21212221 ttttptpt所以所以即即),(,yxBAM的坐标分别为的坐标分别为解：设点解：设点)0,)(2,2(),2,2(2121222121 ttttptptptpt且且)2,2(),2,2(),(222121ptptOBptptOAyxOM 则则)(2),(2(122122ttpttpAB ,0,OBOAOBOA所以所以因为因为三点共线，三点共线，且且BMAyptxptMB,)2,2(222 ,0,OBOMABOM所所以以由由0)(2)(2122122 ttpyttpx,0)(21 yttx)0(21 xxy
24、tt即即),2,2(121ptyptxAM 的轨迹方程的轨迹方程这就是点这就是点即即Mxpxyx)0(0222 )2)(2()2)(2(122221ptyxptyptptx 02)(2121 xtpttty化简，得化简，得02)(xpxyy.42pAOB的面积最小，最小值为的面积最小，最小值为 12)2()2(21121221 ttpptptOA12)2()2(22222222 ttpptptOB)1()1(22221212 ttttpSAOB2222212 ttp4)(22212 ttp24p 轴对称时，轴对称时，关于关于，即当点，即当点当且仅当当且仅当xBAtt,21 ）点）点）为半径的圆
25、（除去（为半径的圆（除去（为圆心，为圆心，）的轨迹方程是以（的轨迹方程是以（另一个交点另一个交点的两根，的两根，为方程为方程即即为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为以以为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为则以则以（）设）设（法（法0,00,)0(0212)(022,022022)2,2(),2,22222221222212222212122222121ppQxpxyxpxyxttyxpytpxtttyptxptyxOByptxptyxOAptptBptptA 练习练习 已知椭圆已知椭圆C1:及抛物及抛物线线C2:y2=6(x-3/2)；若；若C1C2，求，求m的取值范围。的取值范围。)(sin
26、3cos2为参数为参数 ymx代入得代入得 cos2+4cos+2m-1=0所以所以 t2+4t+2m-1=0 在在-1,1内有解；内有解；。平平分分线线段段所所以以抛抛物物线线的的顶顶点点的的中中点点为为原原点点因因为为DEODE),0,0(),2,2)(2,2(,222121ptptptptBA的坐标分别为的坐标分别为证明：设点证明：设点)2,2(222ptptC 的坐标为的坐标为则点则点)2(1221211ptxttptyAB 的方程为的方程为直线直线)0,2(21tptD 的坐标为的坐标为所以点所以点)2(1221211ptxttptyAC 的方程为的方程为直线直线)0,2(21tpt
27、E的坐标为的坐标为所以所以练习练习 4 经过抛物线经过抛物线y2=2px(p0)的顶点的顶点O任作两条互相任作两条互相垂直的线段垂直的线段OA和和OB，以直线，以直线OA的斜率的斜率k为参数，求线为参数，求线段段AB的中点的中点M的参数方程。的参数方程。解：直线解：直线OA的方程为的方程为y=kx，直线，直线OB的方程为的方程为xky1-由由y2=2px和和y=kx，得，得A点坐标为点坐标为)2,2(2kpkp同理同理B点坐标点坐标(2pk2,-2pk)(22为为参参数数kpkkpypkkpx 则则的坐标为的坐标为设点设点),(yxM,2222222pkkppkkpx pkkppkkpy 22
28、2的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是的中点的中点所以，线段所以，线段MAB12222 byax1 kxy),0(sincos5为参数为参数 mmyx)5,1()5,0(,55,1 ,1A B C D)1,0(1 m1 m的意义是什么？方程中参数数的意义，椭圆的参数类比圆的参数方程中参思考：如图如图,以原点为圆心以原点为圆心,分别以分别以a,b(ab0)为半径作两个圆为半径作两个圆,点点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点与小圆的交点,过点过点A作作x,垂足为垂足为N,过点过点B作作y,BMAN,垂足为垂足为M,)(sincos为参数为参数的参数方程为的参数方程为 byaxM0,2)OAMxyNB椭圆的标准方程椭圆的标准方程:1bya2222 x椭圆的参数方程中参数椭圆的参数方程中参数的几何意义的几何意义:)(sinbycosa为为参参数数 xxyO圆的标准方程圆的标准方程:圆的参数方程圆的参数方程:x2+y2=r2)(sinycos为为参参数数 rrx的几何意义是的几何意义是AOP=PA椭圆的参数方程椭圆的参数方程:是是AOX=,不是不是MOX=.
