湖北省武汉市2021届高三上学期9月起点考数学附答案.pdf

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1、 数学试卷参考答案第页 (共4页) 选择题: 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 A 5 C 6 C 7 D 8 B 9 ABC 10 AB 11 BC 12 ABD 填空题: 13. 8 3 3 14. -2615. -2ln216. 2 3 3 解答题: 17. (10分) 解: 方案一: 选条件. Sn+1 n+1 - Sn n = a1+an+1 2 - a1+an 2 = d 2 , Sn n 构成公差为 d 2 的等差数列.5分 S1 1 + S2 2 + S7 7 =7S1+ 76 2 d 2 =7a1+ 21 2 d=21, 又a1=-3d=4,an=a1+(n-1)d=4

2、n-7. 因此, 选条件时问题中的数列存在, 此时an=4n-7.10分 方案二: 选条件. 1 anan+1 = 1 an+1-an( 1 an - 1 an+1)= 1 d ( 1 an - 1 an+1) , 1 d ( 1 a1 - 1 a2 + 1 a2 - 1 a3 + 1 a6 - 1 a7)=- 2 3 , 1 d ( 1 a1 - 1 a7)= - 2 3 , 即 6 a1a7 =-2 3 .5分 代入a1=-3得a7=3, 则d= 1 6(a7 -a1)=1. an=a1+(n-1)d=n-4, 此时a4=0不符合条件. 因此, 选条件 时问题中的数列不存在.10分 方案三

3、: 选条件. a 2 n-a 2 n+1=(an-an+1)(an+an+1)=-d(an+an+1), -d(a2+a3+a6+a7)=-48, d(S7-a1)=48, 由S7=7a1+21d,a1=-3,5分 20202021学年度 武汉市部分学校高三起点质量检测 数学试卷参考答案及评分标准 1 数学试卷参考答案第页 (共4页) 代入得d=2或d=-8 7(舍) , an=a1+(n-1)d=2n-5, 因此, 选条件时问题中的数列存在, 此时an=2n-5.10分 18. (12分) 解:(1) 设BAD=CAD=, 则ABC面积S= 1 2 ABACsin2= 1 2 ABADsin

4、+ 1 2 ACADsin, 3 2sin2=2sin , 即3sincos=2sin. 又sin0,cos= 2 3. cosBAD= 2 3. 6分 (2)cos= 2 3, sin= 5 3 , sin2=2sincos= 4 5 9 , S= 1 2 ABACsin2= 2 5 3 .12分 19. (12分) (1) 证明: 连接A1C, 在A1AC中,A1C 2 =AA 2 1+AC 2 -2AA1ACcosA1AC 即A1C 2 =1 2 +2 2 -212cos60=3,于是A1C 2 +AA 2 1=AC 2, AA1A1C, 又A1B1面ACC1A1,AA1面ACC1A1,

5、A1B1AA1, 而A1B1A1C=A1,AA1面A1B1C, 而B1C面A1B1C, AA1B1C.6分 (2) 解: 如图, 以A1为原点, A1A, A1C, A1B1的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向, 建立如图所示的空间直角 坐标系A1-xyz. 设n=(x1,y1,z1)为平面AB1C的法向量, m=(x2,y2,z2)为平面BB1C的法向量, 则A1(0,0,0),A(1,0,0),C(0, 3,0),B1(0,0,1),B(1,0,1), AB1=(-1,0,1), AC =(-1, 3,0), BB1=(-1,0,0), B1C =(0, 3,-1), 由 n AB1=0

6、n AC =0 得, -x1+z1=0 -x1+3y1=0 ,令x1=3,则y1=1,z1=3,n=( 3,1, 3), 由 m BB1=0 m B1C =0 得, -x2=0 3y2-z2=0 ,令y2=1,则z2=3,m=(0,1, 3), cosn,m= nm |n|m| = 4 7 2 = 2 7 7 , 二面角A-B1C-B的平面角的余弦值为 2 7 7 .12分 2 数学试卷参考答案第页 (共4页) 20. (12分) 解:(1) 记 “三只小球恰在同一个盒子” 为事件A, 则P(A)= 4 4 3= 1 16 .3分 (2) 记 “三只小球在三个不同盒子且每只球编号与所在盒子编号

7、不同” 为事件B. 其中, 三个盒子中不含4号盒子为事件B1, 含4号盒子为事件B2, 则P(B1)= 21 4 3 = 2 64 ,P(B2)= C 2 3(1+21) 4 3 = 9 64 . 事件B1,B2互斥,P(B)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)= 11 64. 7分 (3)X可能取值为1, 2, 3, 4. P(X=1)= 4 3-33 4 3 = 37 64 , P(X=2)= 3 3-23 4 3 = 19 64 , P(X=3)= 2 3-13 4 3 = 7 64 , P(X=4)= 1 4 3= 1 64 , E(X)=1 37 64 +2 19 64 +3

8、7 64 +4 1 64 = 25 16. 12分 21. (12分) 解:(1) 设椭圆焦距为2c(c0), 由 b 2 +c 2 =a 2 c a = 1 2 a 2 +b 2 =7 , 解得a=2,b=3. 椭圆E的标准方程为 x 2 4 + y 2 3 =1.4分 (2) 由题意直线AP,BP斜率存在且均不为0, 设直线AP方程为y=k(x+r),M(x1,y1),N(x2,y2), 由 y=k(x+r) x 2 4 + y 2 3 =1 得,(3+4k 2)x2 +8k 2rx+(4k2r2 -12)=0. x1+x2= -8k 2r 3+4k 2,x1x2= 4k 2r2 -12

9、3+4k 2 . 又kOM+kON= y1 x1 + y2 x2 = k(x1+r) x1 + k(x2+r) x2 = 2kx1x2+kr(x1+x2) x1x2 , 从而代入得kOM+kON= -6k k 2r2 -3 . 又APBP, 以-1 k 替代k, 以-r替代r, 同理可得kOS+kOT= 6k r 2 -3k 2, -6k k 2r2 -3 = 6k r 2 -3k 2 , (k 2 +1)(r 2 -3)=0对k0恒成立, 解得r=3或r=- 3 (舍), 经检验, 此时0, 因此存在r=3.12分 3 数学试卷参考答案第页 (共4页) 22. (12分) 解:(1)g(x)

10、=1+lnx, g(e)=2,则g(e)=e, 切线方程为y-e=2(x-e), 整理得:2x-y-e=0.4分 (2)f (x)= (x 2 -1)lnx-(x 2 +1) (xlnx) 2 = x 2 -1 (xlnx) 2(lnx- x 2 +1 x 2 -1) , 令h(x)=lnx- x 2 +1 x 2 -1,即h(x)=lnx- 2 x 2 -1 -1. 由y=lnx和y=- 2 x 2 -1 在(0,1)和(1+)上单调递增, h(x)在(0,1)和(1+)上单调递增. 又h( 1 e 2)= 3-e 4 e 4 -1 0, 存在唯一x1( 1 e 2, 1 e) , 使h(x

11、1)=0. 当0xx1时,h(x)0,f(x)单调递增. 当x1x0,f (x)0,f (x)单调递减. 又h(e)= -2 e 2 -1 0, 存在唯一x2(e,e 2) , 使h(x2)=0. 同理, 当1xx2时,h(x)0,f (x)x2时,h(x)0,f (x)0,f(x)单调递增. f(x)恰有两个极值点x1和x2. 当h(x1)=0时,lnx1- x 2 1+1 x 2 1-1 =0, 则h( 1 x1)=-lnx1 + x 2 1+1 x 2 1-1 =0, 又 1 x1 (e,e 2)且h(x 2)=0, x2= 1 x1 . f(x1)+f(x2)= x 2 1+1 x1lnx1 - x 2 1+1 x1lnx1 =0.12分 4

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