1、2024年九年级中考数学复习：将军饮马最值问题 刷题练习题汇编一、单选题1已知线段AB及直线l，在直线l上确定一点P，使PA+PB最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（）ABCD2如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，若CDM的周长的最小值为13，则等腰三角形ABC的面积为（）A78B39C42D303已知AOB=30，在AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若PMN的周长最小值为3，则OP的长为（）A1.5B3C33D324如图，在ABC中AB=AC，AOBC，于O，OEAB于E，以
2、点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F，若点F为OA的中点，OE=3，点P是BC边上的动点，则PE+PF的最小值为（）A33B35C42D235如图，RtABC中，C=90，AC=4，BC=3，点P为AC边上的动点，过点P作PDAB于点D，则PB+PD的最小值为（）A154B245C5D2036如图，E为正方形ABCD边AD上一点，AE=1，DE=3，P为对角线BD上一个动点，则PA+PE的最小值为（）A5B42C210D107如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点E是矩形ABCD内部一动点，且BEC=90，点P是AB边上一动点，连接PD、PE，则PD+PE的最小值为（）A8B45
3、C10D4528如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y=2x图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大值时，点P的坐标是（）A（3，0）B（72，0）C（53，0）D（52，0）二、填空题9如图，在等腰直角ABC中，ACB=90，点D，E分别为BC，AB上的动点，且BE=CD，AC=4，当AD+CE的值最小时，CD的长为 10ABC为等腰直角三角形，ACB=90，AC=BC=2， P为线段AB上一动点，D为BC边的中点，则PC+PD的最小值为 11如图，在边长为8的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，
4、则四边形BEFG周长的最小值为 12如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，点C在直线MN上，BCN=30，点P为MN上一动点，连接AP，BP当AP+BP的值最小时，CBP的度数为 度13如图，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A和B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，P为OA上一动点，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为 14如图，抛物线y=x24x+3与x轴分别交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA,MC,AC，则MAC周长的最小值是 15如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则
5、OM+ON的最小值是 16如图，正ABC的边长为2，过点B的直线lAB，且ABC与ABC关于直线l对称，D为线段BC上一动点，则AD+CD的最小值是 三、解答题17ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）(1)画出ABC关于y轴对称的A1B1C1；(2)在x轴上求作一点P，使PAB的周长最小，请画出PAB18如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，a2=13，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米，为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M（只需作图，不
6、需要证明）(2)经预算，修建水厂需30万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元19在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，求CDE的周长最小值；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.20教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容(1)问题解决：请结合图，写出例1的完整解答过程(2)问题探究：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交
7、于点O，AB4，BAD2ABC过点D作DE/AC交BC的延长线于点E如图，连结OE，则OE的长为_(3)如图，若点P是对角线BD上的一个动点，连结PC、PE，则PCPE的最小值为_21如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A1，0，B3，0两点(1)求该抛物线的解析式；(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，y0？(3)设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由第 6 页 共 22 页参考答案1解：点A，B在直线l的同侧，作B点关于l的对称点B，连接AB与l的交点为P，由对称性可知BP=BP，PA+
8、PB=PB+PA=AB为最小故选：C2解：如图，连接AD，交EF于点MABC是等腰三角形，D是BC边的中点，ADBC，CD=12BC=3EF是线段AC的垂直平分线，点C关于直线EF的对称点为A，AM=CM，此时CDM的周长最小，CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=13，AD=13CD=133=10，SABC=12BCAD=12610=303解：作P关于OA的对称点D，作P关于OB的对称点E，连接DE交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，则此时PMN的周长最小， 连接OD，OE，P、D关于OA对称，OD=OP，PM=DM，同理OE=OP，PN=EN，OD=OE=OP，P、D关于OA
9、对称，OAPD，OD=OP，DOA=POA，同理POB=EOB，DOE=2AOB=230=60，OD=OE，DOE是等边三角形，DE=OD=OP，PMN的周长是PM+MN+PN=DM+MN+EN=DE=3，OP=3故选：B4解：作E点关于直线BO的对称点D，连接FD，交BO于点P，连接EP，DO，ED，ED交BO于点N，过D点作DMAO，交AO的延长线于点M，如图，E点关于直线BO的对称点为点D，BO垂直平分线段DE，NE=ND=12DE，PE=PD，EO=DO，PE+PF=PD+PF，即当点D、P、F三点共线时，PD+PF最短，最短为线段DF的长，如上图所示，OE=OF，点F为OA的中点，O
10、E=OF=12AO，OEAB，在RtAEO中，OE=12AO，EAO=30，即EOA=60，在ABC中， AOBC，AOB=90，即EOB=30，DEBO，ENO=90，即NEO=60，EO=DO，EDO是等边三角形，EO=DO=DE=3，NE=ND=12DE=32，NO=EO2NE2=332，AMDM，NDNO，BOAO，四边形NDMO是矩形，ND=MO=32，NO=DM=332，FM=FO+OM=92，在RtFMD中，FD=FM2+DM2=33，故选：A5解：如下图，作点B关于AC的对称点B，过点B作BDAB于点D，交AC于点P，连接AB，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，根据对
11、称性的性质，可知：BP=BP，在RtABC中，ACB=90,AC=4,BC=3，AB=AC2+BC2=5，根据对称性的性质，可知：ABCABC，SABB=SABC+SABC=2SABC，即12ABBD=212BCAC，5BD=24，BD=245，故选：B6解：连接EC，交BD于P点四边形ABCD为正方形A点和C点关于BD对称PA=PCPA+PE=PC+PE=EC根据“两点之间线段最短”，可知PA+PE的最小值即为线段EC的长.AE=1，DE=3AD=4DC=4CE=DE2+CD2=32+42=5PA+PE的最小值为5故选：A7解：如图，设点O为BC的中点，由题意可知，点E在以BC为直径的半圆O
12、上运动，作半圆O关于AB的对称图形（半圆O），点E的对称点为E1，连接OE1,则PE=PE1，当点D、P、E1、O共线时，PD+PE的值最小，最小值为DE1的长，如图所示，在RtDCO中，CD=8，CO=6，DO=82+62=10，又OE1=2，DE1=DOOE1=8，即PD+PE的最小值为8，故选：A8思路引领：求出A、B的坐标，设直线AB的解析式是ykx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在ABP中，|APBP|AB，延长AB交x轴于P，当P在P点时，PAPBAB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可详解：把A（1，y1
13、），B（2，y2）代入反比例函数y=2x得：y12，y21，A（1，2），B（2，1），在ABP中，由三角形的三边关系定理得：|APBP|AB，延长AB交x轴于P，当P在P点时，PAPBAB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是ykx+b，把A、B的坐标代入得：k+b=22k+b=1，解得：k1，b3，直线AB的解析式是yx+3，当y0时，x3，即P（3，0）故选：A9解：过点C作CFAB，设BE=CD=x，如图所示，AC=BC=4，ACB=90，AB=42+42=42，又CFAB，AF=BF=CF=22，CE+AD=222+22x2+42+x2， 欲求CE+AD的最小值
14、，相当于在x轴上寻找一点Px,0，到点E22,22，F0,4的距离和的最小值，如图，作点F关于x轴的对称点F，当E、P、F共线时，PE+PF的值最小，此时，设直线EF的解析式为：y=kx+bk0，得，22k+b=22b=4，解得：k=1+2b=4，直线EF的解析式为y=1+2x4，当y=0时，1+2x4=0，即x=424，CE+AD的值最小，CD的值为：424，故答案为：42410解：解：如图，作C点关于AB的对称点C，连接CD交AB于P点，则PC+PD=PC+PD=CD，根据“两点之间线段最短”可知此时PC+PD的值最小，连接CB，ACB=90,AC=BC=2,ABC=45，C点与C关于AB
15、对称，CB=CB=2,CBA=CBA=45,CBC=90,BC=2, D为BC边的中点，BD=1,CD=CB2+BD2=22+12=5,PC+PD的最小值为5故答案为：511解：如图，作点G关于CD的对称点G，作点B关于AD的对称点B，连接BG、BE、FG，BE=BE，FG=FG，BE+EF+FG+BG=BE+EF+FG+BG，BE+EF+FGBG，当BE+EF+FG=BG时，四边形BEFG的周长有最小值，最小值为BG+BG，BG=CG=CG=12BC=4，AB=AB=8，BB=AB+AB=16，BG=BC+CG=8+4=12，BG=BG2+BB2=122+162=20，BG+BG=4+20=
16、24，四边形BEFG的周长的最小值为24，故答案为：2412解：如图，作B关于MN的对称点D，连接AD,BD,CD，AP+BP的值最小，则MN交AD于P，由轴对称可知：CB=CD，PB=PD，CBD=CDB,PBD=PDB,CBP=CDP，BCN=30，BCD=2BCN=60，BCD是等边三角形，AC=BC，AC=CD，CAD=CDA，ACB=90，BCD=60，CAD=CDA=12180ACBBCD=15，CBP=CDP=15，故答案为：1513解：直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A和B，当y=0，x=4，即A(4,0)；当x=0，y=4，即B(0,4)，点C、D分别为线段AB、OB的中点
17、，C(2,2)，D(0,2)，如图所示，过点C关于x轴的对称点C，C(2,2)，直线CD的解析式为：y=2x+2，当y=0，x=1，即P(1,0)，故答案为：(1,0)14解：抛物线y=x24x+3与x轴分别交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，当y=0时，0=x24x+3解得x=1或x=3，即A1,0,B3,0；当x=0时，y=3，即C0,3，由二次函数对称性，A,B关于对称轴对称，即MA=MB， CMAC=CA+CM+MA=CA+CM+MB， AC=OA2+OC2=10， MAC周长的最小值就是CM+MB的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM+MB的最小值为C,M,B三点
18、共线时线段CB长， CB=OC2+OB2=32， MAC周长的最小值为CA+CB= 32+10，故答案为：32+1015解：过O作OHBC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH，OHBC，OH=MN=2，四边形OMNH是平行四边形，OM=NH，OM+ON= NH+ONO点关于BC的对称点是点K，ON=NK，OM+ON= NH+ON= NH+ NK，NH+NKHK，当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长OHBC，O点关于BC的对称点是点K，KOH=90O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，O点关于BC的对称点是点K，OK=AB=8OH= 2
19、，KOH=90，HK=OH2+OK2=217，OM+ON的最小值是21716解：如图，连接AD，正ABC的边长为2，ABC与ABC关于直线l对称，ABC=ABC=60，AB=AB=BC=2，CBC=60，CBC=ABC，BD=BD，CBDABD，CD=AD，AD+CD=AD+CD，当A、D、A三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=AB+AB=4，故答案为：417（1）解：如图（2）解：如图作B关于x轴对称点B2，连接PB2，AB=22+22=22，PB=P1B2， PAB的周长：PA+PB+22=PA+PB2+22，如图，当P、A、B2三点共线时，PA+PB2最小，此时P1A+PB2=A
20、B2， PAB的周长：PA+PB+22=AB2+22，AB2=22+62=210， PAB的周长的最小值：210+22；PAB，如图18（1）解：如图，作点A关于直线CD的对称点A，连接AB，交CD于M点，即M为所求（2）如图，连接AA交CD于H点，过点B作PBAH，由题意可知AH=AH=1km，PH=3km，AB=13km，PA=PHAH=2km，PA=PH+AH=4km在RtAPB中，BP=AB2PA2=1322=3km，在APB中，AB=AP2+PB2=42+32=5km，由对称性质可知AM=AM，即AM+BM=AM+BM=AB=5km即完成这项工程乡政府投入的资金至少为30+53+5=
21、50（万元）19（1）解：如图，作点D关于x轴的对称点D，连接CD与x轴交于点E，连接DE，由模型可知CDE的周长最小，在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，D（0，2），C（3，4），D（0，2），设直线CD为y=kxb，把C（3，4），D（0，2）代入，得3kb=4，b=2，解得k=2，b=2，直线CD为y=2x2，令y=0，得x=1，点E的坐标为（1，0）.OE=1，AE=2，利用勾股定理得CD=32+22=13，DE=12+22=5，CE=22+42=25，CDE周长的最小值为：13+5+25=13+35（2）解：如图，将点D向右平移1个单位得到D（1,2），作D关于x
22、轴的对称点D（1,2），连接CD交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，连接DF，此时四边形CDEF周长最小，理由如下：四边形CDEF的周长为CDDEEFCF，CD与EF是定值，DECF最小时，四边形CDEF周长最小，DDEF，且DD=EF，四边形DDFE为平行四边形，DE=DF，根据轴对称可知，DF=DF，DECF=DFCF=FDCF=CD，设直线CD的解析式为y=kxb，把C（3，4），D（1,2）代入，得3kb=4kb=2，解得k=3b=5，直线CD的解析式为y=3x5，令y=0，得x=53，点F坐标为53,0，点E坐标为23,020解：（1）四边形ABC
23、D是菱形，AD/BC，BAD+B=180BAD=2B，B=60四边形ABCD是菱形，AB=BCABC是等边三角形（2）四边形ABCD是菱形，AD/BC，又DE/AC，四边形ACED是平行四边形，由（1）可得，AB=AC=AD故四边形ACED是菱形；则ADE=120，DE=AD=4，BDC=30，OA=2，OD=AD2OA2=4222=23ODE=12030=90则OE=OD2+DE2=(23)2+42=27（3）如图所示，过A作BE的垂线交BE于点F，连接AE，A点关于BD的对称点为点C，则PCPE的最小值为AE；ABC为等边三角形，BAF=30，AF=23，CF=2，EF=6AE=AF2+E
24、F2=(23)2+62=43则PCPE的最小值为4321（1）解：抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A1，0，B3，0，1b+c=09+3b+c=0，解得b=2c=3，所求抛物线的解析式为y=x22x3；（2）解：观察函数图象，当x3时，y0，故答案为x3；（3）解：在抛物线对称轴上存在点Q，使QAC的周长最小AC长为定值，要使QAC的周长最小，只需QA+QC最小，点A关于对称轴直线x=b2a=1的对称点是3，0，Q是直线BC与对称轴直线x=1的交点，设过点B，C的直线的解析式y=kx3，把3，0代入，3k3=0，k=1，直线BC的解析式为y=x3，把x=1代入上式，y=2，Q点坐标为1，2第 22 页 共 22 页
