《信息论与编码-第16讲-信道编码-循环码.pptx

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1、第1页2024-4-149.1 循环码的多项式描述循环码的多项式描述9.2 循环码的生成多项式循环码的生成多项式9.3 系统循环码系统循环码9.4 多项式运算电路多项式运算电路9.5 循环码的编码电路循环码的编码电路9.6 循环码的译码循环码的译码Electronics Engineering Department,XXXX Xxx Xxx XxxxXxxx第2页2024-4-14(1)循环码的性质循环码的性质(2)循环码的定义循环码的定义(3)码多项式码多项式(4)举例举例第3页2024-4-14(1)循环码的性质循环码的性质循环码是线性分组码的一个重要子类;循环码是线性分组码的一个重要子类

2、;由于循环码具有由于循环码具有优良的代数结构优良的代数结构,可用简单的反馈移位,可用简单的反馈移位寄存器实现编码和伴随式计算,并可使用多种简单而有寄存器实现编码和伴随式计算,并可使用多种简单而有效的译码方法;效的译码方法;循环码是研究最循环码是研究最深入深入、理论最、理论最成熟成熟、应用最、应用最广泛广泛的一类的一类线性分组码。线性分组码。第4页2024-4-14(2)循环码的定义循环码的定义 循环码循环码:如果如果(n,k)线性分组码的任意码字:线性分组码的任意码字:C C=(cn1,cn2,c0)的的 i 次循环移位,所得矢量:次循环移位,所得矢量:C C(i)=(cn1i,cn2i,c0

3、,cn1,cni)仍是一个码字,则称此线性码为仍是一个码字,则称此线性码为(n,k)循环码。循环码。第5页2024-4-14(3)码多项式码多项式 码多项式码多项式:为了运算的方便,将码字的各分量作为多项式的系数,为了运算的方便,将码字的各分量作为多项式的系数,把码字表示成多项式,称为码多项式。其一般表示式为:把码字表示成多项式,称为码多项式。其一般表示式为:C(x)=cn1xn1+cn2xn2+c0 码多项式码多项式 i 次循环移位的表示方法次循环移位的表示方法 记码多项式记码多项式 C(x)的一次左移循环为的一次左移循环为 C(1)(x),i 次左移循环为次左移循环为 C(i)(x)121

4、210(1)12223101()()nnnnnnnnnC xcxcxccCxcxcxc xc xc L LL L()121112101()inniiinininn iCxcxcxc xc xcxc L LL L第6页2024-4-14(3)码多项式码多项式 码多项式的模码多项式的模(xn+1)运算运算q 0 和和 1 两个元素模两个元素模 2 运算下构成域。运算下构成域。q 若若 p 为素数,则整数全体在模为素数,则整数全体在模 p 运算下的剩余类全体运算下的剩余类全体 在模在模 p 下构成域。下构成域。0,1,2,3,1p L L1010001001110010 第7页2024-4-14(3

5、)码多项式码多项式 码多项式的模码多项式的模(xn+1)运算运算q 以以 p=3 为模的剩余类全体为模的剩余类全体q 模模 3 运算的规则如下:运算的规则如下:120221010000210102202112100210 第8页2024-4-14(3)码多项式码多项式 码多项式的模码多项式的模(xn+1)运算运算q 码字码字 C C 循环循环 i 次所得码字的码多项式:次所得码字的码多项式:q C(x)乘以乘以 x,再除以,再除以(xn+1),得:,得:ininininnininnnncxcxcxcxcxCcxcxcxC .)(.)(1102211)(022111)(1.1)()1(11021

6、23121 nnnnnnnnnnxxCcxcxcxcxcxccxxxC第9页2024-4-14(3)码多项式码多项式 码多项式的模码多项式的模(xn+1)运算运算q 上式表明上式表明:码字循环一次的码多项式码字循环一次的码多项式 C(1)(x)是原码多项式是原码多项式 C(x)乘以乘以 x 除以除以(xn+1)的余式。写作:的余式。写作:q C(x)的的 i 次循环移位次循环移位C(i)(x)是是C(x)乘以乘以 xi 除以除以(xn+1)的余式,即:的余式,即:q)(模模1)()()1(nxxCxxC)(模模1)()()(niixxCxxC第10页2024-4-14(4)举例:举例:(7,3

7、)循环码循环码可由任一个码字,比如可由任一个码字,比如(0011101)经过循环移位,得到经过循环移位,得到其它其它 6 个非个非 0 0 码字;码字;可由相应的码多项式可由相应的码多项式(x4+x3+x2+1),乘以,乘以 xi(i=1,2,6),再模,再模(x7+1)运算得到其它运算得到其它 6 个非个非 0 0 码码多项式。移位过程和相应的多项式运算如表多项式。移位过程和相应的多项式运算如表9-1所示。所示。第11页2024-4-14(4)举例:举例:(7,3)循环码循环码第12页2024-4-14(1)循环码的生成矩阵循环码的生成矩阵(2)循环码的生成多项式循环码的生成多项式(3)生成

8、多项式和码多项式的关系生成多项式和码多项式的关系(4)如何寻找一个合适的生成多项式如何寻找一个合适的生成多项式(5)循环码的监督多项式和监督矩阵循环码的监督多项式和监督矩阵第13页2024-4-14(1)循环码的生成矩阵循环码的生成矩阵循环码的循环特性循环码的循环特性:可由一个码字的循环移位得到其它:可由一个码字的循环移位得到其它的非的非 0 0 码字。在码字。在(n,k)循环码的循环码的 2k 个码字中,取前个码字中,取前 (k1)位皆为位皆为 0 的码字的码字 g(x)(次数(次数 r=nk),再经),再经 (k1)次循环移位,共得到次循环移位,共得到 k 个码字:个码字:第14页2024

9、-4-14(1)循环码的生成矩阵循环码的生成矩阵这这 k 个码字是相互独立的,可作为码生成矩阵的个码字是相互独立的,可作为码生成矩阵的 k 行,行,得到得到循环码的生成矩阵循环码的生成矩阵 G(x)。矩阵中的元素是多项式:矩阵中的元素是多项式:111102121010()()()()()knkknkknknknknkxg xgxg xg xxg xG xgxg xg xxg xgxg xgg x L LM MM MM MM ML LL L第15页2024-4-14(1)循环码的生成矩阵循环码的生成矩阵将矩阵中的多项式改写成对应的将矩阵中的多项式改写成对应的 n 重矢量形式:重矢量形式:第16页

10、2024-4-14(2)循环码的生成多项式循环码的生成多项式码的生成矩阵一旦确定,码就确定了;码的生成矩阵一旦确定,码就确定了;(n,k)循环码可由它的一个循环码可由它的一个(nk)次码多项式次码多项式 g(x)来确来确定;定;g(x)生成了生成了(n,k)循环码,循环码,称称 g(x)为码的生成多项式。为码的生成多项式。1110()n kn kn kg xxgxg xg L L第17页2024-4-14(3)生成多项式生成多项式和和码多项式码多项式的关系的关系定理定理9-1:定理定理9-2:第18页2024-4-14(3)生成多项式生成多项式和和码多项式码多项式的关系的关系定理定理9-3(定

11、理定理9-2的逆定理的逆定理):在一个在一个(n,k)线性码中,如果线性码中,如果全部码多项式都是最低次的全部码多项式都是最低次的(nk)次码多项式的倍式,则次码多项式的倍式,则此线性码为一个此线性码为一个(n,k)循环码。循环码。注注:一般说来,这种循环码仍具有把一般说来,这种循环码仍具有把(n,k)线性码码中任线性码码中任一非一非 0 0 码字循环移位必为一码字的循环特性,但从一个非码字循环移位必为一码字的循环特性,但从一个非 0 0 码字出发,进行循环移位,就未必能得到码的所有非码字出发,进行循环移位,就未必能得到码的所有非 0 0 码字了。所以称这种循环码为码字了。所以称这种循环码为。

12、第19页2024-4-14(3)生成多项式生成多项式和和码多项式码多项式的关系的关系 码字循环关系图码字循环关系图q 单纯循环码的单纯循环码的码字循环图:码字循环图:(7,3)循环码循环码第20页2024-4-14(3)生成多项式生成多项式和和码多项式码多项式的关系的关系 码字循环关系图码字循环关系图q 推广循环码的推广循环码的 码字循环图:码字循环图:(6,3)循环码循环码(4)如何寻找一个合适的生成多项式如何寻找一个合适的生成多项式循环码的码多项式等于信息多项式乘以生成多项式:循环码的码多项式等于信息多项式乘以生成多项式:对一个循环码只要生成多项式一旦确定,码就确定了,编码对一个循环码只要

13、生成多项式一旦确定,码就确定了,编码问题就解决了。问题就解决了。作一循环码的关键,就在于寻找一个适当的生成多项式。作一循环码的关键,就在于寻找一个适当的生成多项式。1212120120()()()(,)()()()()kkkkkkkkxg xxg xC xmmmmxmxm g xxg xg x L LL LM M第21页2024-4-14第22页2024-4-14(4)如何寻找一个合适的生成多项式如何寻找一个合适的生成多项式定理定理9-4:(n,k)循环码的生成多项式循环码的生成多项式 g(x)是是(xn+1)的因式,的因式,即:即:xn+1=h(x)g(x)。欧几里德除法:设欧几里德除法:设

14、 b 是正整数,则任是正整数,则任意正整数意正整数 a b 皆皆可唯一可唯一地表示成:地表示成:a=qb+r 0r b第23页2024-4-14(4)如何寻找一个合适的生成多项式如何寻找一个合适的生成多项式定理定理9-5:若若 g(x)是一个是一个(nk)次次 多项式,且为多项式,且为(xn+1)的的因式,则因式,则 g(x)生成一个生成一个(n,k)循环码。循环码。结论:结论:第24页2024-4-14(4)如何寻找一个合适的生成多项式如何寻找一个合适的生成多项式例:例:求求(7,3)循环码的生成多项式。循环码的生成多项式。解解:v 分解多项式分解多项式 x7+1,取其,取其 4 次因式作生

15、成多项式:次因式作生成多项式:x7+1=(x+1)(x3+x2+1)(x3+x+1)v 可将一次和任一个三次因式的乘积作为生成多项式,可将一次和任一个三次因式的乘积作为生成多项式,可取:可取:g1(x)=(x+1)(x3+x2+1)=x4+x2+x+1 或或 g2(x)=(x+1)(x3+x+1)=x4+x3+x2+1第25页2024-4-14(5)循环码的监督多项式和监督矩阵循环码的监督多项式和监督矩阵 循环码的监督多项式循环码的监督多项式:设设 g(x)为为(n,k)循环码的生成多循环码的生成多项式,必为项式,必为(xn+1)的因式,则有:的因式,则有:xn+1=h(x)g(x),式中式中

16、 h(x)为为 k 次多项式,称为次多项式,称为(n,k)循环码的监督多项式。循环码的监督多项式。第26页2024-4-14(5)循环码的监督多项式和监督矩阵循环码的监督多项式和监督矩阵 循环码的监督多项式循环码的监督多项式:举例举例:(7,3)循环码:循环码:x7+1=(x3+x+1)(x4+x2+x+1)q 4 次多项式为生成多项式:次多项式为生成多项式:g(x)=x4+x2+x+1=g4x4+g3x3+g2x2+g1x+g0q 3 次多项式是监督多项式:次多项式是监督多项式:h(x)=x3+x+1=h3x3+h2x2+h1x+h0第27页2024-4-14(5)循环码的监督多项式和监督矩

17、阵循环码的监督多项式和监督矩阵 循环码的监督矩阵循环码的监督矩阵由等式由等式 x7+1=h(x)g(x)两端同次项系数相等得:两端同次项系数相等得:3302112034403122135413223642330000 xg hg hg hg hxg hg hg hg hxg hg hg hxg hg h 的的系系数数:的的系系数数:的的系系数数:的的系系数数:01223344241)(gxgxgxgxgxxxxg 01223331)(hxhxhxhxxxh 第28页2024-4-14(5)循环码的监督多项式和监督矩阵循环码的监督多项式和监督矩阵 循环码的监督矩阵循环码的监督矩阵将上面的方程组写

18、成矩阵形式:将上面的方程组写成矩阵形式:Tggggghhhhhhhhhhhhhhhh0 0 01234321032103210321000000000000000第29页2024-4-14(5)循环码的监督多项式和监督矩阵循环码的监督多项式和监督矩阵循环码的监督矩阵循环码的监督矩阵上式中,列阵的元素是生成多项式上式中,列阵的元素是生成多项式 g(x)的系数,是一个码的系数,是一个码字,那么第一个矩阵则为字,那么第一个矩阵则为(7,3)循环码的循环码的监督矩阵,监督矩阵,即:即:01230123(7,3)01230123000000(9 18)000000hhhhhhhhhhhhhhhh HH0

19、1223331)(hxhxhxhxxxh 第30页2024-4-14(5)循环码的监督多项式和监督矩阵循环码的监督多项式和监督矩阵循环码监督矩阵的构成循环码监督矩阵的构成由式由式(9-18)可见,监督矩阵的第一行是码的监督多项式可见,监督矩阵的第一行是码的监督多项式 h(x)的系数的的系数的反序排列,反序排列,第二、三、四行是第一行的移第二、三、四行是第一行的移位;位;01223331)(hxhxhxhxxxh 第31页2024-4-14(5)循环码的监督多项式和监督矩阵循环码的监督多项式和监督矩阵循环码监督矩阵的构成循环码监督矩阵的构成可用监督多项式的系数来构成监督矩阵:可用监督多项式的系数

20、来构成监督矩阵:其中其中h*(x)表示表示 h(x)的反多项式的反多项式*(7,3)2*3*0001101()0011010()(9 19)0110100()1101000()h xxh xx h xx h x HH第32页2024-4-14(5)循环码的监督多项式和监督矩阵循环码的监督多项式和监督矩阵循环码监督矩阵的构成循环码监督矩阵的构成(n,k)循环码的监督矩阵:循环码的监督矩阵:HH*11*11(,)111*110011()0110()11100()kkn kkn kkhhh xhhxh xhhhhxh x L LL LL LL LM M L LL LL LM MM ML LL L第3

21、3页2024-4-14(5)循环码的监督多项式和监督矩阵循环码的监督多项式和监督矩阵对偶问题对偶问题如果如果 xn+1=h(x)g(x),其中,其中 g(x)为为(nk)次多项式,以次多项式,以 g(x)为生成多项式,则生成一个为生成多项式,则生成一个(n,k)循环码;循环码;这两个循环码互为对偶码。这两个循环码互为对偶码。第34页2024-4-14(1)系统循环码构成系统循环码构成信息向量信息向量:mm=(mk1,mk2,m0)信息多项式信息多项式:m(x)=mk1xk1+mk2 xk2+m0 码多项式码多项式的高次幂部分等于的高次幂部分等于 m(x),即:,即:C(x)=cn1xn1+cn

22、kxnk+cnk1xnk1+c1x+c0 =xnk m(x)+q(x)(q(x)的次数的次数nk)监督位多项式监督位多项式:q(x)第35页2024-4-14(1)系统循环码构成系统循环码构成由于码多项式是生成多项式的倍式,所以:由于码多项式是生成多项式的倍式,所以:C(x)=xnkm(x)+q(x)=a(x)g(x)0(mod g(x))q(x)=C(x)+xnkm(x)xnkm(x)(mod g(x))第36页2024-4-14(1)系统循环码构成系统循环码构成 循环码的系统码形式为循环码的系统码形式为:C(x)=xnkm(x)+(xnkm(x)mod g(x)q 信息多项式乘信息多项式乘

23、 xnk:xnkm(x)q 对对 xnkm(x)求余式求余式:q(x)xnkm(x)(mod g(x)q 求码多项式求码多项式:C(x)=xnkm(x)+(xnkm(x)mod g(x)=xnkm(x)+q(x)第37页2024-4-14(2)举例举例例例9-5:在由:在由 g(x)=x4+x3+x2+1生成的生成的(7,3)循环码中,求循环码中,求信息码组信息码组 mm=(101)的对应码多项式。的对应码多项式。于于是是码码多多项项式式为为:1)()()(464 xxxxrxmxxC7 34264()(1)xm xxxxx()()1g xr xx除除以以得得到到余余式式:第38页2024-4

24、-14(1)多项式加法电路多项式加法电路(2)多项式乘法电路多项式乘法电路(3)多项式除法电路多项式除法电路第39页2024-4-14(1)多项式加法电路多项式加法电路多项式多项式 a(x)=anxn+an1xn1+a1x+a0 表示的是时间序列表示的是时间序列 a a=(an,an1,a1,a0),因此多项式的计算表现为对时间序列的,因此多项式的计算表现为对时间序列的操作;操作;对二进制多项式系数的基对二进制多项式系数的基本操作为模本操作为模 2 加和模加和模 2 乘;乘;电路图运算符号的意义:电路图运算符号的意义:第40页2024-4-14(1)多项式加法电路多项式加法电路 a(x)与与

25、b(x)的相加电路的相加电路第41页2024-4-14(2)多项式乘法电路多项式乘法电路多项式多项式乘法电路:乘法电路:第42页2024-4-14(3)多项式除法电路多项式除法电路一般的多项式模一般的多项式模 g(x)=grxr+gr1xr1+g1x+g0 的运算电路如图的运算电路如图所示。所示。移位寄存器初态全为移位寄存器初态全为0;当当 a(x)输入完后,移位寄存器内容输入完后,移位寄存器内容(qr1,q1,q0)就是余式:就是余式:q(x)=qr1xr1+qr2xr2+q1x+q0 a(x)(mod g(x)(3)多项式除法电路多项式除法电路 多项式除法电路举例多项式除法电路举例q(x5

26、+x2)(x4+x3+x+1)运算电路工作过程:运算电路工作过程:第43页2024-4-14第44页2024-4-14(3)多项式除法电路多项式除法电路 多项式除法电路举例多项式除法电路举例第45页2024-4-14系统码编码电路系统码编码电路(1)系统码编码的基本原理系统码编码的基本原理(2)用用(nk)级移位寄存器实现的编码电路级移位寄存器实现的编码电路第46页2024-4-14(1)系统码编码的基本原理系统码编码的基本原理 求生成多项式求生成多项式 g(x):分解多项式分解多项式(xn+1),取,取(nk)次次 因式作生因式作生成多项式成多项式 g(x),一般可通过查表完成。,一般可通过

27、查表完成。利用利用 g(x)实现编码:实现编码:q 设设信息多项式信息多项式为:为:m(x)=mk1xk1+mk2 xk2+m0q 设设监督多项式监督多项式为:为:q(x)=qr1xr1+qr2 xr2+q0q(n,k)循环码的循环码的码多项式码多项式为:为:C(x)=cn1xn1+cn2xn2+cnkxnk +cnk1xnk1+c1x+c0前前 k 项系数为信息位,后项系数为信息位,后 r=nk 项为监督位。项为监督位。第47页2024-4-14(1)系统码编码的基本原理系统码编码的基本原理 求生成多项式求生成多项式 g(x):分解多项式分解多项式(xn+1),取,取(nk)次次 因式作生因

28、式作生成多项式成多项式 g(x),一般可通过查表完成。,一般可通过查表完成。利用利用 g(x)实现编码实现编码所以:所以:cn1xn1+cnkxnk=xnk(mk1xk1+m0)=xnkm(x)cnk1xnk1+c0=qr1xr1+q0=q(x)第48页2024-4-14(2)用用(nk)级移位寄存器实现的编码电路级移位寄存器实现的编码电路 循环码编码电路结构和工作原理循环码编码电路结构和工作原理q 工作原理工作原理:二元二元(n,k)循环码的编码是将信息多项式循环码的编码是将信息多项式m(x)乘乘xnk 后再除以生成多项式后再除以生成多项式 g(x)求出它的余式,即为监督位多项求出它的余式,

29、即为监督位多项式式 q(x)。C(x)=xnkm(x)+(xnkm(x)mod g(x))q 二元二元(n,k)循环码的编码电路就是以循环码的编码电路就是以 g(x)为除式的除法电路,为除式的除法电路,而输入的被除式为而输入的被除式为 xnkm(x)。第49页2024-4-14(2)用用(nk)级移位寄存器实现的编码电路级移位寄存器实现的编码电路 循环码编码电路结构和工作原理循环码编码电路结构和工作原理q 实际的编码电路如图实际的编码电路如图 9-11 所示:所示:其级数等于其级数等于 g(x)的次数的次数(nk);反馈连接决定于反馈连接决定于 g(x)的系数的系数v 当当 gi=0 时时(i

30、=0,1,2,nk),反馈断开;,反馈断开;v 当当 gi=1 时,对应级加入反馈。时,对应级加入反馈。第50页2024-4-14(2)用用(nk)级移位寄存器实现的编码电路级移位寄存器实现的编码电路 循环码编码电路结构和工作原理循环码编码电路结构和工作原理q 由于被除式中含有因子由于被除式中含有因子 xnk,使被除式各项的次数都,使被除式各项的次数都 g(x)的次的次数,所以被除式输入端可由第一级移到末级之后,使移位次数减少数,所以被除式输入端可由第一级移到末级之后,使移位次数减少(nk)次。这样编一个码字求监督位所需的移位次数只要次。这样编一个码字求监督位所需的移位次数只要 k 次。次。第

31、51页2024-4-14(2)用用(nk)级移位寄存器实现的编码电路级移位寄存器实现的编码电路 工作过程工作过程q 各级移位寄存器清各级移位寄存器清“0”,控制门开,开关,控制门开,开关K设置为设置为位置位置1;q k 位信息位位信息位 mk1,mk2,m1,m0 依次从末端输入编码电路;依次从末端输入编码电路;同时送入信道,同时送入信道,在每加入一位信息位时,各级移位寄存器移位在每加入一位信息位时,各级移位寄存器移位一次一次。当。当 k 位信息位都输入移位寄存器后,移位寄存器中位信息位都输入移位寄存器后,移位寄存器中(nk)位数字即为监督位;位数字即为监督位;q 控制门关,断开反馈,开关控制

32、门关,断开反馈,开关 K 由由位置位置 1转到转到位置位置 2,寄存器,寄存器中的存数(监督位)依次移出,送入信道。中的存数(监督位)依次移出,送入信道。k 位信息位和位信息位和(nk)位监督位组成一个码字。位监督位组成一个码字。第52页2024-4-14(2)用用(nk)级移位寄存器实现的编码电路级移位寄存器实现的编码电路 举例举例q 由由 g(x)=(x3+x+1)作生成多项式所生成的作生成多项式所生成的(7,4)循环码的编码循环码的编码电路如图电路如图9-12所示。所示。q 它包括它包括 3 级寄存器级寄存器g1=1,第一级反馈接通;,第一级反馈接通;g2=0,到第二级的反馈,到第二级的

33、反馈 断开。断开。第53页2024-4-14(2)用用(nk)级移位寄存器实现的编码电路级移位寄存器实现的编码电路 举例举例q 由由 g(x)=(x3+x+1)作生成多项式所生成的作生成多项式所生成的(7,4)循环码的编码循环码的编码电路如图电路如图9-12所示。所示。q 每经每经4次移位,输入一个次移位,输入一个4位信息组;寄存器中的内位信息组;寄存器中的内容即为监督位;容即为监督位;q 监督位跟在信息位之后,监督位跟在信息位之后,便构成一个码字。便构成一个码字。第54页2024-4-14(1)循环码的译码器的组成(梅吉特译码法)循环码的译码器的组成(梅吉特译码法)循环码的译码基本上按循环码的译码基本上按线性分组码的译码步骤线性分组码的译码步骤进行,不过由于码的循进行,不过由于码的循环移位特性使译码电路环移位特性使译码电路大为简化。大为简化。通用的循环码译码器如通用的循环码译码器如图所示。图所示。第55页2024-4-14P.2039-1 9-2(1)、(2)9-4(1)、(2)、(3)

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