1、 微专题 65 直线的方程与性质 一、基础知识： （一）直线的要素与方程： 1、倾斜角：若直线l与x轴相交，则以x轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l重合所 成的角称为直线l的倾斜角，通常用, , , 表示 （1）若直线与x轴平行（或重合） ，则倾斜角为0 （2）倾斜角的取值范围0, 2、斜率：设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为tank （1）当 2 时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直 线方程相联系） （4）k越大，直线越陡峭 （5
2、）斜率k的求法：已知直线上任意两点 1122 ,A x yB x y，则 21 21 yy k xx ，即直线的 斜率是确定的，与所取的点无关。 3、截距：若直线l与坐标轴分别交于 ,0 , 0,ab，则称, a b分别为直线l的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可 0（不要顾名思义 误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为 0 的直线为过原点的非水平非竖直直线 4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上 一点与直线的方向（即斜率） ，另一种是已知两点（两点确定一条直线） ，直线方程的形式与 这两种方法有关
3、 （1）一点一方向： 点斜式：已知直线l的斜率k，直线上一点 00 ,P x y，则直线l的方程为： 00 yyk xx 证明：设直线l上任意一点,Q x y，根据斜率计算公式可得： 0 0 yy k xx ，所以直线上的每 一点都应满足： 00 yyk xx，即为直线方程 斜截式：已知直线l的斜率k，纵截距b，则直线l的方程为：ykxb 证明：由纵截距为b可得直线与y轴交点为0,b，从而利用点斜式得：0ybk x 化简可得：ykxb （2）两点确定一条直线： 两点式：已知直线l上的两点 1122 ,A x yB x y，则直线l的方程为： 22 1212 yyxx yyxx 截距式：若直线l
4、的横纵截距分别为,0a b ab ，则直线l的方程为：1 xy ab 证明：从已知截距可得：直线上两点 ,0 , 0,ab，所以 0 0 bb k aa :01 bxy l ybxbxayab aab 一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由, x y的一次项与常数项构成，所以可将 直线的通式写为：0AxByC（,A B不同时为 0） ，此形式称为直线的一般式 一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果 可用于判定直线的平行垂直关系 点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式 5、五种直线形式所不能表示的直线： （1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖
5、直线） （2）截距式： 截距不全的直线：水平线，竖直线 截距为 0 的直线：过原点的直线 6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路 通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则 需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程， 然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） （二）直线位置关系： 1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直） ，重合 如果题目中提到“两条直线” ，则不存在重合的情况，如果只
6、是 12 , l l，则要考虑重合的情 况。 2、直线平行的条件 （1）斜截式方程：设直线 111222 :,:lyk xb lyk xb 121212 ,kk bbll 若直线 12 , l l的斜率存在，则 1212 llkk （2）一般式方程：设 11112222 :0,:0lAxB yClA xB yC，则 当 111 222 ABC ABC 时， 1 l 2 l 1221 ABA B，且 1221 ACAC和 1221 BCB C中至少一个成立，则 1 l 2 l（此条件适用于 所有直线） 3、直线垂直的条件： （1）斜截式方程：设直线 111222 :,:lyk xb lyk xb
7、，则 1212 1llkk （2）一般式方程：设 11112222 :0,:0lAxB yClA xB yC，则： 121212 0AABBll 4、一般式方程平行与垂直判定的规律： 可选择与一般式方程0AxByC对应的向量：,aA B，即有： 11111112222222 :0,:0,lAxB yCaA BlA xB yCaA B，从而 12 ,a a 的关系即可代表 12 , l l的关系，例如： 12211212 ABA Baall（注意验证是否会出现重合的情况） 1212121212 00AABBa aaall （三）距离问题： 1、两点间距离公式：设 1122 ,A x yB x y
8、，则 22 1212 ABxxyy 2、点到直线距离公式：设 00 , :0P x yl AxByC 则点P到直线l的距离 00 22 P l AxByC d AB 3、平行线间的距离： 1122 :0,:0lAxByClAxByC 则 12 , l l的距离为 12 22 CC d AB （四）对称问题 1、中心对称： （1）几何特点：若 , A A关于O点中心对称，则O为线段 AA的中点 （2）解析特征：设 00 ,A x y，,O a b，则与A点关于O点中心对称的点 ,A x y满足： 0 0 00 2 2 2 2 xx a xax yyyby b 2、轴对称 （1）几何特点：若若 ,
9、 A A关于直线l轴对称，则l为线段 AA的中垂线，即 AAl，且 AA 的中点在l上 （2）解析特征：设 00 ,A x y，: lykxb，则与A点关于l轴对称的点 ,A x y满足： 0 0 00 1 22 AA yy k xxk yyxx kb ，解出 ,A x y即可 （3）求轴对称的直线：设对称轴为直线l，直线 1 l关于l的对称直线为 1 l 若 1 ll，则 1 l 1 l，且 1 l到对称轴的距离与l到对称轴的距离相等 若 1 l与l相交于P ，则取 1 l上一点A，求出关于l的对称点 A，则 AP即为对称直线 1 l （五）直线系方程：满足某种特征的一类直线组成的集合称为直
10、线系，直线系的方程通常含 有参数（以参数的不同取值确定直线） 1、平行线系：集合中的直线呈两两平行关系参数不会影响斜率的取值 （1） 与直线0AxByC平行的直线系方程为：0AxBym（m为参数， 且mC） （2）与直线0AxByC垂直的直线系方程为：0BxAym（m为参数） 2、过定点的直线： （1）若参数的取值影响直线的斜率，则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转：即把含参数的 项划为一组并提取参数，只需让参数所乘的因式为 0 即可 （2）已知 11112222 :0,:0lAxB yClA xB yC（ 1 l与 2 l不重合） ，则过 12 , l l交点的直 线系方程为： 1211122
11、2 00llAxB yCA xB yC（该直线无法表示 2 l） 3、直线系方程的用途：主要是在求直线方程时可充分利用平行，垂直或过定点的条件，将直 线设为只含一个参数的方程，从而在思路上就可围绕如何求参数配置资源，寻找条件解出参 数，即可得到所求直线方程 二、典型例题： 例 1：直线sin20 xy的倾斜角的取值范围是（ ） A0, B 3 0, 44 C0, 4 D0, 42 思路：要求倾斜角（设为） ，可将直线转化为斜截式得：sin2yx ，所以 ，即tan1,1 ，结合正切的定义以及倾斜角的范围可得： 3 0, 44 答案：B 小炼有话说：一是要注意由正切值求角时，通过图像判断更为稳妥
12、，切忌只求边界角，然后 直接根据角大小写区间。二是要注意倾斜角的取值范围：0,，所以当0k 时，倾斜角为 0（而不是） 例 2：经过) 1, 0( P作直线l，若直线l与连接)3 , 2(),1 , 1(BA 的线段总有公共点，则直线l的 斜率的取值范围为 思路：直线l可视为绕) 1, 0( P进行旋转，在坐标系中作出线段AB，即可由图判断出若直线 l与线段AB有公共点，旋转过程中的第一条直线与最后一条直线分别为直线,PB PA，则 1131 2,2 1020 PAPB kk ，由图像可得： , 22,k 答案： , 22,k 小炼有话说：本题如果没有图像辅助，极易将结果写成2,2，通过观察可
13、得旋转的过程当 中，倾斜角不断变大，由锐角变为钝角。从而斜率的值应为正负值之外，而非正负值之间。 所以处理此类问题时：一定作图，作图，作图！ ！一定作图，作图，作图！ ！ 例 3： 若 12 :120,:280lxmymlmxy的图象是两条平行直线， 则m 的 值是（ ） A1m 或2m B1m C2m Dm的值不存在 思路：由平行线可得：12m m可解得：1m 或2m ，检验是否存在重合情况，将 1m 代入直线可得： 12 :210,:280lxylxy ，符合题意，将2m 代入直线 可得： 12 :40,: 2280lxylxy，则 12 ,l l重合，不符题意，所以舍去。综上可得： 1m
14、 答案：B 小炼有话说：在已知平行关系求参数取值时，尽管在求解时可仅用, x y系数关系，但解出参 数后要进行验证，看是否会导致直线重合。 例 4：已知直线013)2(01yxayax与互相垂直，则实数a等于（ ） A3或1 B1或3 C1或3 D1或3 思路：由两直线相互垂直可得：2130a a ，即 2 230aa，解得3a 或 1a 答案：A 例 5：已知直线通过点3,4M ，被直线l：30 xy反射，反射光线通过点2,6N， 则反射光线所在直线的方程是 思路：本题与物理知识相结合，可知反射光线过已知点在镜面中的虚像（即对称点） ，所以考 虑求出3,4M 的对称点 M，再利用2,6N确定
15、反射光线即可。 解：设M的对称点 00 ,Mx y，则有 MMl，且 MM的中点 00 34 , 22 xy 在l上 0 00 0 00 00 4 1 10 3 10 34 30 22 y xy x xy xy 1, 0M 6 M N k :61M Nyx即660 xy 答案：660 xy 例 6：直线220mn xmn ymn （,m nR 且,m n不同时为 0）经过定点 _ 思路：直线过定点，则意味着定点坐标使得参数“失去作用”即无论参数取何值，不会 影响表达式的值，能够达到此功效的只有让参数与“0”相乘，所以考虑将已知直线进行变形， 将含m的项与含n的项分别归为一组， 可得：2120m
16、 xyn xy， 若要让,m n “失去作用” ，则 210 20 xy xy ，解得 1 1 x y ，即定点为1,1 答案：1,1 小炼有话说：含参数的直线方程要么是一组平行线（斜率为常数） ，要么考虑过定点，而定点 的求解可参照例 6 的求法。寻找定点是一种意识，即遇到含参数的直线时，便可考虑能否找 到定点，从而抓住此类直线的特征（绕定点旋转） ，有助于解题。 例 7：已知直线:30l xmym上存在点M满足与两点1,0 ,1,0AB连线的斜率 MA k与 MB k之积为3，则实数m的取值范围是_ 思路：设直线上的点 00 ,M x y，则M需同时满足两个条件：一是符合直线方程，二是保证
17、 斜率乘积为 3.对于条件一，即 00 30 xmym，对于条件二，按照斜率计算公式可得 00 00 , 11 MAMB yy kk xx ，所以 00 00 3 11 yy xx 即 22 00 31yx。所以存在满足条件的 M，等价于方程组 2222 22 30 316 3930 33 xmym mym ym yx 有解，所以 判别式 2 222 6 34 31 930mmm ，可解得 22 , 22 m 答案： 22 , 22 m 例 8：若不全为零的实数, ,a b c成等差数列，点(1,2)A在动直线:0l axbyc上的射影为 P，点Q在直线 1:3 4120lxy上，则线段PQ长
18、度的最小值是_ 思路：从, ,a b c成等差数列可得： 2 ac b ，所以:0 2 ac l axyc ，方程含参进而考 虑寻找定点。 11 010 222 ac axyca xycy ，所以有 1 0 2 1 10 2 xy y ， 解得定点为1, 2，即l为绕1, 2旋转的动直线，对于任意点P，PQ的最小值为点P到 34120 xy的距离，而P的所有位置中，只有l过(1,2)A点时，PQ最短，即 11min min22 3 14 2127 5 34 P lA l PQdd 答案： 7 5 小炼有话说： （1）本题的突破口在于对含参直线:0 2 ac l axyc 的分析，首先对于含 参
19、直线要分析出属于平行线系（斜率为定值） ，还是过定点系（斜率因参数变化而变化） ，其 次对于多参数方程也能够找到定点。 （2）本题的,P Q均为动点，双动点求最值时，通常固定一个点，分析此点固定时，达到最值 时另一个点位置的特征（例如本题中固定P，分析出P到 1 l的距离为PQ最小） ，然后再让 该点动起来，在动的过程中找到“最值”中的最值。 例 9： 已知ABC的两条高所在直线方程为0,2310 xyxy ， 若( 1 ,2 )A， 求直线BC 的方程 思路：本题并没有说明高线是否过A，但可以将(1,2)A带入方程进行验证，可得两条高线均 不过A，从而寻找确定BC直线的要素，可连接AH，由三
20、角形“三条高线交于一点”的性 质可得AHBC，且H点可由两条高线解得，从而得到 BC k，只需再求得一点即可，观察 到C为三条直线,BC CD AC的公共点，CD已知，而AC可求。进而解得C的坐标，然后 通过C和 BC k求出BC的方程 解：设:0,:2310CD xyBExy 1 0 5 : 23101 5 x xy H xy y ，所以 1 1 , 5 5 H 1 2 3 5 12 1 5 AH k 由“三条高线交于一点”可得：AHBC 2 3 BC k ACBE 设:320ACxym，代入(1,2)A解得：7m :3270ACxy 32707 : 07 xyx C xyy 7, 7C 2
21、 :77 3 BCyx 整理后可得：2370 xy 答案：2370 xy 例 10：已知点A在直线210 xy 上，点B在直线230 xy上，线段AB的中点为 00 ,P x y，且满足 00 2yx，则 0 0 y x 的取值范围为（ ） A. 11 , 25 B. 1 , 5 C. 11 , 25 D. 1 ,0 2 思路：观察发现所给直线为两条平行线，所以P点的轨迹为夹在两条直线之间的平行线，即 210 xy ，所以 0 000 1 210 2 x xyy ，代入所求 00 00 1 2 yx xx ，下面确定 0 x的范围，将 0 0 1 2 x y 代入 00 2yx可得： 0 0
22、1 2 2 x x 解得： 0 5 3 x 所以： 00 000 11111 , 22225 yx xxx 答案：A 小炼有话说： （1）本题P的轨迹可通过图像观察到，也可进行代数分析：设 1122 ,A x yB x y，则有 11 22 12 0 12 0 210 230 2 2 xy xy xx x yy y ，可得： 1212 220 xxyy 即 00 210 xy ，所以点P的轨迹为210 xy （2） 本题对于求 0 0 y x 的范围可以有两个角度考虑： 一个角度是利用 00 210 xy 进行消元， 从而转为一元表达式利用函数求范围。另一个角度可考虑 0 0 y x 的几何意义，即OP的斜率，从 而通过 00 00 210 2 xy yx 作出可行域，数形结合处理。
